Riassunti analisi 2
R
di
interr .
→
CAP HAN IR
fn
1 I '
-
:
7
fn
fa fnlx
successione fa
DI di funzioni
SUCCESSIONI dipenda
denotata
FUNZIONI ha doppia
una che
è
→ ) una
. ,
, .
,
variabile
dalla XEIR dall' IN
indice
e ne . limite
funzione
→
of
di fn
data funzioni f
def IR
AEI A
CONVERGENZA PUNTUALE I puntualmente
data
in
fn dice in
si se
→
sua
o i
una :
- e -
. .
ttxe ftp.gfncxiefcx
A 34 IN
ttxe te
A finta
Ifnlxt
tn
equivale
che o E
¥
:
e
>
a
, > -
, ,
!
fissa
si si
x muove n
e fisf
data f-ndef.in AEI
funzioni IR
f-
data A
uniformemente
di I dice che
CONVERGENZA UNIFORME -0 in
si se
o
e
sua :
una : -
.
V' ftp.Nitnsk/fnlH-fHltEin%ea#asoe-aeeasiue
E o
>
In tu Al
V' finta
IN fin
Un
basta
questo equivalentemente
verificare E
E
che 4
>
:
o
>
caso e o
-
V. tu tnsyg.ee
EN fin lfnlxi.tw/eo
E o : quindi
> fa
gia
, )
si
( può muovere
n la
quando c' è
× non
Piroettato
Quindi fissa figo
IN della numerica
il successione
si si
considera
si sup poi
ne e cerca
e .
tfixi.fm/E#f/ffxi-flxi/
quella
Questa txe il !
A
implica puntuale vale contrario
convergenza : non
ma
,
fncx fn-sfuniform.in
IR
f
Sia I
CONTINUITÀ IER
di def
funzioni
TEO I
sia
continue
LIMITE in :
→
→ e :
sua
) una . . ,
f
allora )
fn (
f I
continua Quindi allora f in è
è usato
unif I. più
continua così
in
è conv
non
se non a
.
. .
,
( intervallo
l' ?
diventare quell'
questo restringere facendo intervallo
continua
devo f in
in caso
Sia fnlx fn-sfunif.in fnlxi
III
IEIR
def lN
f IR tre
I I
TEO fuma in
INVERSIONE LIMITI di sia
) :
sua
→ una → se :
:
e
. .
finte
Allora fille )
file Eni "
TEO PASSAGGIO LIMITE
AL fnlx
Sia of
fn
fumz
di Iefa
def unif Allora
I
f
in I
b)
continue in
) sua o :
INTEGRALE una
sono → :
segno e
di -
-
. . .
,
.
bfcxsdx
aIIa a)
fine )
( brutta
f- fn
integrare
fa
si da
dx è
se no
e
= .
limite
f-
dato
Dimostrazione che ferma b)
-0 fa
unif integrabile
di continuo
continue
è quindi
in
è .
, ,
. .
tnzqlaffnlxidx.at /
Noi vogliamo V' yen
7 fcxidx
dimostrare che LE
E :
o
> . )
/
Dato fn-sfuniftcisoty.HN trey
che fast
ha lfnixi '
si ± gn
# E
: °
s →
%
g. = -
. » Stai /
dxt
/ If d'
Quindi fa '
"
fissato dato
ttnzu linearità
ottengo che
la integro
degli
scelgo '
E per
E e e e
e
> o ,
,
! atfcxidxt East
!
/ Itefg
timida dato
fin
allora idx allora
che che feg
# affoga e se
e
-
- b
ajlfnixi-fcxildxefsya.bg/fnki-flN/dx=feya%1fnixi-fixillb-
Jaessupa allora
quindi a) a)
gnlb
= -
a ( )
def fa
' allora dato c'
' che
E g.nl
per E
a)
e (
b- a)
<
g. e
<
E b-
< . D
C. V .
.
PASSAGGIO LIMITE
AL
TEO fnlx )
è
Sia (
DERIVATA classe
alla
sotto di derivi
segno continue
deriv
fuma appartiene
) di
→ sua e con
una . .
.
b)
[
def sf
Sia fn puntualmente
f I
in IR I
I. in
e a. :
→
: - .
.
fi
la
Inoltre nuit
og
sua -
. . '
Ènlxtef
Ig
f-
fn-sfvnif.in fig
Allora fèderiv
I ovvero .
, . ,
CAP 2
SERIE FUNZIONI
DI : fnlxi
sn exit
i
- Il
E funzioni
di
EI Snlxi
tt la
A successione detta
supponiamo che
convergenza puntuale → xe sua .
parziali
delle limite
ammetta finito scxi-fi.sn
Scx
somme ' "
ovvero
) , .
RIPASSO CRITERIO LIEBNIZ : La funzioni
di fncx
serie
tant Scx A
successione in
puntualmente
converge
) e
con )
a
:
def
20
Un
1) . È
la
o
+ se
→ S'
in ffnx
della
)
o )
-
2) serie
an ) ×
è somma ovvero =
, .
def
3) anni an
e
, È A l'
.tv puntuale
di
Allora insieme
converge
an è convergenza
: .
serie geom
I È
"
ÌX [ "
esempi ' 1
'
puntual '
×
divergesse ×
iii. =
converge Kiss '
: ssa xzs xe i
sse
e - ,
,
. .
, È
" "
E
è
È puntuale co
×
l ;
l 1 e
converge sse xao =
→ , It
È
#
" "
CORTI Zlsenx ×
Izu
punt
' ) )
" .
" × lsenxki Et
# =
#
E
× ssa × ×
→ ×
come ,
.
, . . V' Ifnlxil
E
fnlx A XEA
la serie in la serie
ASSOLUTAMENTE
CONVERGE
CONVERGENZA se
ASSOLUTA )
-0 converge
e
× .
puntuale
la assoluta implica la viceversa
conv non
ma .
. ,
¥
" Ix
¥ ) Liebnitz Ifnlxif E
crit
ti E punt
esempio Quindi
converge serie
la
per se
converge
: ×
se ; >
× s
o
>
. . .
, )
eta
puntualmente in (
1 1
> #
×
Comu converge asso
se
amo non
ma
e ,
. .
. •
È £ ad
unif la
A
SH
) funz
n' di
in unif
× )
Comu Sncx
CONVERGENZA se
UNIFORME → sua ) Comu
. .
. . .
A delle
nel
Sca in successioni
) senso
a .
La puntuale
unif impicca la viceversa
conv ma non .
.
. ,
la A
fncx ZMN
totalmente tale
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CONVERGENZA TOTALE → in
) che
se
converge E
× sua nun .
.
È
Ifnlxsl ttxe N
tre
A
Mn risulta
E convergente
la serie Min
numerica
se
e .
La le
implica tutte
totale altre
convergenza . Ì
È
È
È le fa
/ fa la
totalmente IR convergente
cosi serie
nn
esempio coscnx )
in poiché è
e
converge non
: .
.
, ,
Quindi assolutamente puntualmente
la IR
serie uniformemente in
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,
CONTINUITÀ
TEO SULLA SOMMA
DELLA Sia
→ fnlx funzioni S
continue IR
def
di I
successione
) IEIR
UNA
DI serie in
una : >
e -
.
È Fn Suppongo
la inoltre
della sui ' fnlxi
"
serie che
somma converga
=
ovvero a
.
, Allora
Scx uniformemente sai continua
e-
) .
.
INTEGRAZIONE
TEO TERMINE A fnlx
Sia funzioni
di IR
IEIR
def I
S
in
continue
) sia
TERMINE →
sua :
una
→ e
. .
È fnixi
fnixi Supponiamo uniforme
che SLX )
scx ) converga
=
con a
. .
.
}
tfncx
}
È )
Allora dx
dx cxi
) =
TEO DERIVAZIONE TERMINE '
fncx ( )
funzioni classe C
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di iv. continua
→ IER
der def
A ) deriv in
sua e con
. . .
È
È .fi
.tn Supponiamo
S tale '"
sui
R
sia la
I che serie '"
che
e o =
: - . È film
c' s'
Allora
unif classe vale
di
S
converga è e = .
. .
AP
( 3 centrata nell'
potente
POTENZE
SERIE serie tipo
→ di
DI questo
di origine è
una :
È
Èra azxlt #
of t
x t
aot at
# a. t
=
) K
= .
.
. .
.
. tipo
questo
punto
centrata di
potenze e-
di in Xo #
serie o :
un
una Taft "
"
¥0 ) LX
( )
ask Xo tazlx
) t
Xo Xo
X t
aot a
da = - - -
- # .
. . .
. .
L' siora La
punt vuoto
può
) serie
in
insieme (
di ICP essere
non comu
⇐ o →
Comu : . .
. . raggio
avente nullo
ICP generalizzato infinito
RAGGIO intorno finito
0
di
CONVERGENZA
DI → è p
un o
, .
Quindi IR Ipso serie
ttxe
serie lxkp
in e
conv
o
converge o o :
o ⇐
una .
diverge lxlsp
per . È akxk }
fxeltl
definire X
Possiamo X converge
:
sup =
p = ,
Quindi ho
X } XHR
Inoltre to
20 sse ssa
sempre
p o ;
p p
=
= =
.
ha
TEOREMA finito
di
potenze
La di lxlsp
serie
-0 lxlcp
raggio Comu
p essa per
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sse e non
. .
.
Se in
)
inoltre assoluti intervallo
( unif
total
lxlcp quindi ogni
come
o
p essa per
cono
> .
.
, .
.
. dire sulla
E- fp
] in
nulla
Non
limitato )
chiuso può
si ±
a. c p
a converg
p
e + =
, . .
.
L
oca cp !
{
{
KÈ
la Allora
¥¥ò
Il
CRITERIO DI
RICERCA CONVERGENZA HADAMARD
DI
RAGGIO CAUCHY f-
→ 0
se = A
:
-
)
« radice
rit . fatto
U %
§
fil / ?
!
Il
D'
CRITERIO Allora
ALEMBERT
DI
→ aria se
con
: = p = .
)
rapporto
cit
( . fatto
La derivata
serie termine
derivando
ottenuta
DERIVATA
SERIE E SERIE serie
INTEGRATA la
è
- 0 a
" asizaaxt.tkq.FI
termine la di
serie potenze Kay
: = .
.
ottenuta
la serie
La termine termine
integrata integrando
serie
→ la
è a
LÌ II #
È '
' ¥+4
È
potenze
serie di +
aoxt +
=
: .
. .
.
.
lo
ha stesso
serie
TEO di della
potenze
di
→ raggio
una
: convergenza
della
derivata
serie integrata
sua serie
sua
e .
TEO DERIVAZIONE INTEGRAZIONE
DI
E
DI fai
Se la di potenze la
ha
serie raggio di è
→
POTENZE #
DELLE SERIE DI sua
0
comu p e se
.
È "
fai ttx
×
ak
somma lxlep
ovvero o
= p >
:
, ,
'
Allora f È ' ttx http
cx ) Kate :
= " '
ÈI ttx lxicp
dt ×
A) :
= "
È
data potenze arlx
di xD
CRITERIO ABEL serie
DI patto
o a
con
-
una
o
- tale "
È
la
serie in serie
se akp
converge
xotp
e- se
converge ovvero )
(
ftp.E.xotp ]
Allora la unif
pot
serie tipo
int del
in analogo
di occcp
converge xop
per #
.
. . ,
Invece la totale ]
lxo-p.IE
int
solo del
garantita tipo
comv è per ocecp
xotp E
-
.
. , ,
CAP 4
Serie Taylor
di Data ( b)
f chiediamo
:( Z
b) serie
IR ci
d e
x. a. se
una →
a. e una
di potenze di iniziale flx
in b)
punto ( )
xo a. verso
Comu . .
"
tazlx-xof-t.tt tot
[
f- K
E xD am
aotaslx klx
Xo d'
)
( errore
)
× -
con
- - ⇐
f
tal iniziale
sviluppabile
in pot
serie
si dice che in di punto
di
è
caso .
in b)
la
Xo , .
Teo unicità dello
di sviluppo "
È
la
Data pt
serie di aklx la
→ fin
XD
in di
potenze
serie sia
di raggio p
- con sua
» somma
comu :
. .
f- È ' tt
IN xD
aklx ix. xd lp
= ×
- :
Allora derivata
f- navale
tm
allora la
P )
(
infiniti deriv mesi
xolcp
ix.
è
la per :
.
.
ÈIIÌÈMKIK lk-mtitaklx-x.fm ' f
quindi
D sviluppabile
° è
e
con
- a =
*
. . . ÌÌ -
£
' "
"
" or
" "
* "
nella È
f-
forma tt
serie Ix
in la ) tap
a) x.
xo ×
= :
- - .
,
-
(
SERIE )
TAYLOR SERIE
DI MAC
X. DI
O LAURIN
-0
=
applico termine termine
deriv
DIMOSTRAZIONE volte teo
il
: di
ma a
.
È
' te '
f-
serie
le xD
Karl
di potente × 2
a)
i
ma
per =
nn
;
-
: = ,
XKÈ
" klk-harlx-xof.ro
f- ( ecc .
, .
2 CXÉÈMKCK
' m' FI
f-
dimostrare D
Per la tramutar
parte scrivo
seconda : - -
0
m' am
-
o amlx-xot.IT?In+,klr-D--lk-mtDarlx-xoF
"
)
(
) ml nati
(
m
= mi -
-
. É
te
' '
f- da cui
Kbar
rimane
ponendo Xo are
× →
= = !
K
È
f- ¥ ' ? di
( v.
c.
xD
= x .
.
Condizione suff svilnp
per '" / ME
ff
fai funzione E
,
. ttxe
7 b)
E (
b)
la Leo
costanti M
→
di
in in
serie :
Taylor in a.
e ,
,
ttxoelaib) f- èsvilnp Taylor punto in
in là
iniziale
di b)
di
serie x. .
,
.
In particolare le f
basta che derive di equiliwitate b)
siano Ca
in , .
¥ "
È geometrica)
serie
(
Sviluppi ×
Lauria 1×1
Mac 1
a
=
→ ,
È
Io
loghi )
( × 1×1<1 integrato
" )
=
) ( ho
)
ti la serie
* geom
o
= , . ?Ì!ÈÌ )
E
Zotti II
arctglx integrato
) la
( xp
IN ho di
es
= geom argo -
,
IÌ Fi )
è È
(
Io R e =
× e
= ,
ÉTÉ xena
AT
sinx = " ,
Zotti R
xe
cosi = ,
I
-1
2h
× IR
È
senhx
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