Analisi matematica I - derivate

Scheda Riassuntiva

• Il rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto x_o e all’incremento h è dato dall’espressione:

Δy / Δx = [f(x_o + h) – f(x_o)] / h

• Calcolando il limite per h → 0 del rapporto incrementale si ottiene la derivata della funzione f(x) nel punto x_o:

f'(x_o) = lim(h→0) [f(x_o + h) – f(x_o)] / h

• Se questo limite esiste finito, si dice che f(x) è derivabile in x_o; quando il limite non è finito oppure non esiste, si dice che f(x) non è derivabile in x_o.Una funzione non derivabile in x_o può però essere derivabile da sinistra o da destra di tale punto a seconda che esista finito il limite per h → 0^- oppure per h → 0⁺ del rapporto incrementale.

• Per calcolare la derivata di una funzione si devono conoscere le regole di derivazione delle funzioni elementari:

D[k] = 0

D[x^a] = ax^a-1

D[sin x] = cos x

D[cos x] = –sin x

D[log_a x] = 1 / x ln a

D[ln x] = 1 / x

D[a^x] = a^x ln a

D[e^x] = e^x

• ed i seguenti teoremi:
• derivata della somma: D[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
• derivata del prodotto: D[f(x) · g(x)] = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)in particolare D[k · f(x)] = k · f'(x)   con k ∈ ℝ
• derivata del quoziente: D[f(x) / g(x)] = [f'(x) · g(x) – f(x) · g'(x)] / [g(x)]²in particolare D[1 / g(x)] = –g'(x) / [g(x)]²
• derivata della funzione composta: D[g(f(x))] = g'(f(x)) · f'(x)

In particolare se   y = [f(x)]^g(x) allora   y' = [f(x)]^g(x) · [g'(x) ln f(x) + g(x) · f'(x) / f(x)]

• Dalla regola di derivazione delle funzioni inverse si ha poi che:
• D[arcsin x] = 1 / √(1 – x²)
• D[arccos x] = –1 / √(1 – x²)
• D[arctan x] = 1 / 1 + x²
• D[arc cotan x] = –1 / 1 + x²

Dal punto di vista geometrico f'(x_o), cioè la derivata calcolata nel punto x_o, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto. Se la funzione è derivabile, l’equazione della retta tangente in P(x_o, f(x_o)) è quindi:

y – f(x_o) = f'(x_o) / m – (x – x_o)

S cheda R iassuntiva

• Il rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto x₀ e all'incremento h è dato dall'espressione:

  Δy/Δx = (f(x₀ + h) − f(x₀))/h

• Calcolando il limite per h → 0 del rapporto incrementale si ottiene la derivata della funzione f(x) nel punto x₀:

  f′(x₀) = lim_h→0 (f(x₀ + h) − f(x₀))/h

Se questo limite esiste finito, si dice che f(x) è derivabile in x₀; quando il limite non è finito oppure non esiste, si dice che f(x) non è derivabile in x₀.

Una funzione non derivabile in x₀ può però essere derivabile da sinistra o da destra di tale punto a seconda che esista finito il limite per h → 0⁻ oppure per h → 0⁺ del rapporto incrementale.

• Per calcolare la derivata di una funzione si devono conoscere le regole di derivazione delle funzioni elementari:

  D[k] = 0

  D[x^α] = αx^α−1

  D[sin x] = cos x

  D[cos x] = −sin x

  D[log_a x] = 1/(x ln a)

  D[ln x] = 1/x

  D[α^x] = α^x ln α

  D[e^x] = e^x

ed i seguenti teoremi:

• derivata della somma: D[f(x) ± g(x)] = f′(x) ± g′(x)
• derivata del prodotto: D[f(x) ⋅ g(x)] = f′(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g′(x)
• in particolare D[k ⋅ f(x)] = k ⋅ f′(x) con k ∈ ℝ
• derivata del quoziente:
• D[f(x)/g(x)] = (f′(x) ⋅ g(x) − f(x) ⋅ g′(x))/(g(x))²
• in particolare D[1/g(x)] = −g′(x)/(g(x))²
• derivata della funzione composta: D[g(f(x))] = g′(f(x)) ⋅ f′(x)
• In particolare se y = f(x)^g(x) allora y′ = f(x)^g(x) ⋅ (g′(x) ln f(x) + g(x) ⋅ f′(x)/f(x))

Dalla regola di derivazione delle funzioni inverse si ha poi che:

• D[arcsin x] = 1/√(1 − x²)
• D[arccos x] = −1/√(1 − x²)
• D[arctan x] = 1/(1 + x²)
• D[arcotan x] = −1/(1 + x²)

• Dal punto di vista geometrico f′(x₀), cioè la derivata calcolata nel punto x₀, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto. Se la funzione è derivabile, l'equazione della retta tangente in P(x₀, f(x₀)) è quindi:

  y − f(x₀) = f′(x₀)/m − (x − x₀)

Quando la funzione non è derivabile, si possono presentare i seguenti casi particolari:

• f'(x)_→∞, allora la retta tangente è parallela all’asse y
• la derivata sinistra e quella destra sono finite ma sono diverse, oppure una di esse è finita e l’altra infinita: allora a sinistra del punto P vi è una tangente e a destra ce n’è un’altra e si dice che P è un punto angoloso
• la derivata sinistra e quella destra sono infinite di segno opposto: allora la tangente in P è parallela all’asse y e si dice che P è una cuspide.

■ Il differenziale di una funzione f(x) in un punto x è il prodotto della derivata della funzione per l’incremento Δx:

df(x) = f'(x) ⋅ Δx ed essendo Δx = dx df(x)_, = f'(x) ⋅ dx

Dal punto di vista geometrico il differenziale rappresenta l’incremento della variabile dipendente y calcolato sulla retta tangente anziché sulla funzione.

4. Derivate Elementari

5. Regole di Derivazione

D(λf(x) + μg(x)) = λf'(x) + μg'(x)

D(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

D(f(x)/g(x)) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))²

D(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)

lim_x→0 ^αx-1/_x = log α

lim_x→0 ^ex-1/_x = 1

lim_x→0 sen x/x = 1 (x in radianti)

lim_x→0 ^{1-cos x}/_x² = ¹/₂ (x in radianti)

Derivate

Derivata di una funzione in un punto

Sia f una funzione definita in un punto c, il limite f '(c) = lim_h→0 ^{f(c + h) - f(c)}/_h quando esiste si chiama derivata della funzione nel punto c.

Significato geometrico della derivata

f '(c) = m_t t retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa c

f '(c) = tg α

Derivate delle funzioni elementari

• Funzione Derivata
• y = c    y' = 0
• y = x    y' = 1
• y = x^α    y' = αx^α-1 (α ∈ R)
• y = √x    y' = ¹/_2√x
• y = √ⁿ√x    y' = ¹/_n√x^n-1
• y = sen x    y' = cos x
• y = cos x    y' = -sen x
• y = tg x    y' = 1 + tg²x = ¹/_cos²x
• y = cotg x    y' = -(1 + cotg²x) = -1/sen²x
• y = arc sen x    y' = ¹/_√1-x²
• y = arc cos x    y' = -¹/_√1-x²
• y = arc tg x    y' = ¹/_1+x²

y = arc cotg x

y = a^x

y = e^x

y = log_ax

y = ln x

y = ln|x|

y' = -¹⁄_{1 + x²}

y' = a^xln a

y' = e^x

y' = -¹⁄_xlog_ea, e = -¹⁄_{x ln a}

y' = ¹⁄_x

y' = ¹⁄_x

Regole di derivazione

y = f(x) ± g(x)

y = f(x)g(x)

y = ^f(x)⁄_g(x)

y = ¹⁄_g(x)

y = f[g(x)]

y' = f'(x) ± g'(x)

y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

y' = ^{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}⁄_(g(x))²

y' = -^g'(x)⁄_[g(x)]²

y' = f'[g(x)]·g'(x)

Integrali

Integrali indefiniti immediati

∫ dx = x + C

∫ x^α dx = ^xα+1⁄_{α + 1} + C, con α ≠ -1

∫ ¹⁄_x dx = ln|x| + C

∫ sen x dx = -cos x + C

∫ cos x dx = sen x + C

∫ tg x dx = -ln|cos x| + C

∫ cotg x dx = ln|sen x| + C