Analisi matematica I - derivate

Scheda Riassuntiva

Il rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto x₀ e all’incremento h è dato dall’espressione:

Calcolando il limite per h -> 0 del rapporto incrementale si ottiene la derivata della funzione f(x) nel punto x₀:

Se questo limite esiste finito, si dice che f(x) è derivabile in x₀; quando il limite non è finito oppure non esiste, si dice che f(x) non è derivabile in x₀. Una funzione non derivabile in x₀ può però essere derivabile da sinistra o da destra di tale punto a seconda che esista finito il limite per h -> 0^- oppure per h -> 0⁺ del rapporto incrementale.

Per calcolare la derivata di una funzione si devono conoscere le regole di derivazione delle funzioni elementari:

• D[k] = 0
• D[x^a] = ax^a-1
• D[sin x] = cos x
• D[cos x] = -sin x
• D[log_a x] = ¹/_{x ln a}
• D[ln x] = ¹/_x
• D[a^x] = a^x ln a
• D[e^x] = e^x

ed i seguenti teoremi:

• derivata della somma: D[f(x) + g(x)] = f’(x) + g’(x)
• derivata del prodotto: D[f(x) . g(x)] = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)in particolare D[k . f(x)] = k . f’(x) con k ∈ R
• derivata del quoziente: D[^f(x)/_g(x)] = ^{f’(x) . g(x) - f(x) . g’(x)}/_[g(x)]²in particolare D[¹/_g(x)] = ^-g’(x)/_[g(x)]²
• derivata della funzione composta: D[g(f(x))] = g’(f(x)) . f’(x)In particolare se y = [f(x)]^k allora y’ = [f(x)]^k-1 . [ f’(x) ]

Dalla regola di derivazione delle funzioni inverse si ha poi che:

• D[arcsin x] = ¹/_{√(1 - x²)}
• D[arccos x] = ^{- 1}/_{√(1 - x²)}
• D[arctan x] = ¹/_{1 + x²}
• D[arccotan x] = ^{- 1}/_{1 + x²}

Dal punto di vista geometrico f’(x₀), cioè la derivata calcolata nel punto x₀, rappresenta il coefficiente angolare della retta t tangente alla curva in quel punto. Se la funzione è derivabile, l’equazione della retta tangente in P(x₀, f(x₀)) è quindi:

y - f(x₀) = f’(x₀)^{x - x₀}/_m

Quando la funzione non è derivabile, si possono presentare i seguenti casi particolari:

f'(x) → ∞ allora la retta tangente è parallela all'asse y

la derivata sinistra e quella destra sono finite ma sono diverse, oppure una di esse è finita e l'altra infinita: allora a sinistra del punto P vi è una tangente e a destra ce n'è un'altra e si dice che P è un punto angoloso

la derivata sinistra e quella destra sono infinite di segno opposto: allora la tangente in P è parallela all'asse y e si dice che P è una cuspide.

Il differenziale

Il differenziale di una funzione f(x) in un punto x è il prodotto della derivata della funzione per l'incremento

Δx :

df(x) = f'(x) . Δx       ed essendo Δx = dx       df(x) = f'(x) . dx

Dal punto di vista geometrico il differenziale rappresenta l'incremento della variabile dipendente y calcolato sulla retta tangente anziché sulla funzione.

DERIVATE FONDAMENTALI E DERIVATE DI FUNZIONI COMPOSTE

y(x) = f(g(x))

f'(g(x)) g'(x)

y(x) = g(f(x))

g'(f(x)) f'(x)

TABELLA DERIVATE

esempi

y = sin x -> y' = 2 sin x cos x

y = ln x -> y' = 1/x

y = √x -> y' = 1 / 2

y = cos (x²) -> y' = -sin (x²) 2 x

y = ln (x²) -> y' = cos x (ln x + 3)

y = tg (2x + 2) -> y' = cos (2 x + 3) 2

y = g (x) h(x) -> y' = √(1 - cos² x + 3^2)

y = √(...)

y = (cos x^{(2 + 1)}

y = (ln (x² + 1))^...

...

y = ln (x)

-> y' = 1/x