Analisi matematica

I,

stazionario se la derivata prima della funzione, calcolata in è nulla. Quindi, il punto stazionario rappresenta

c

anche il punto in cui si ha una tangente orizzontale. I punti stazionari sono dei punti possibili in cui trovare i

massimi e i minimi di una funzione (relativi e assoluti). Sia f(x) una funzione definita in un intervallo e

I

derivabile nei punti interni di Se nel punto interno ad la funzione ha un massimo o un minimo relativo,

I. c, I,

allora c è un punto stazionario, e si ha che: f’(c) = 0. Quindi, nei punti di massimo e minimo relativi al grafico

di una funzione derivabile si ha una retta tangente parallela all’asse x.

Fornisci la definizione di punto di massimo relativo e di punto di massimo assoluto, dando un esempio,

anche grafico, di una funzione dotata di un punto di massimo relativo non assoluto.

Punto di massimo relativo: Sia y = f(x) una funzione con dominio Dom(f). Possiamo affermare che x0 è un

⊂

punto di massimo relativo per la funzione se esiste almeno un intorno B(x0, ∂) Dom(f) di raggio ∂ e centro

x0 tale che per ogni x appartenente a B(x0, ∂) risulta che f(x) ≤ f(x0). Quindi, un punto è di massimo relativo

se esiste un intorno di tale punto in cui il valore assunto dalla funzione nel punto è il massimo valore tra quelli

assunti dalla funzione nei punti dell’intorno.

Punto di massimo assoluto: Sia y = f(x) una funzione con dominio Dom(f). Diciamo che x0 è un punto di

∈

massimo assoluto per la funzione, e che f(x0) è il massimo assoluto della funzione, se per ogni x Dom(f)

risulta che f(x) ≤ f(x0). Max relativo

Min relativo

Enuncia il teorema che pone in relazione la monotonia di una funzione al segno della sua derivata prima.

Il teorema del segno della derivata e crescenza/decrescenza evidenzia una relazione univoca tra il segno della

derivata e la monotonia (crescenza o decrescenza) di una funzione in un certo intervallo. Sia f una funzione

ad una variabile reale continua e derivabile in un certo intervallo, si può dimostrare che quando il segno della

derivata è positivo, la funzione sta crescendo.

Sia f: R -> R y=f(x) Continua e derivabile in un certo intervallo I

f’(x) > 0 in tutto l’intervallo I

Prendendo in considerazione due punti x1 e x2 appartenenti all’intervallo I, con x1 < x2, possiamo considerare

∀x1, ∈

la derivata prima nel punto x1 x2 con x1 < x2 f’(x1) = lim x2->x1 f(x2) – f(x1) / x2 – x1

I

La derivata prima in x1, in quanto appartenente all’intervallo è maggiore o uguale a zero

I

= lim x2->x1 f(x2) – f(x1) / x2 – x1 ≥ 0

Il rapporto incrementale sarà positivo o nullo. Inoltre il denominatore della frazione è sicuramente positivo.

Il numeratore avrà valore maggiore o uguale a zero, quini la funzione è crescente.

f(x2) – f(x1) ≥ 0 -> f(x2) ≥ f(x1) f(x) è crescente

In conclusione, quando la derivata prima è positiva in un certo intervallo in cui f(x) è derivabile, allora la

funzione è monotona crescente.

Fornisci la definizione di punto di minimo relativo e di punto di minimo assoluto, dando un esempio,

anche grafico, di una funzione dotata di un punto di minimo relativo non assoluto.

Punto di minimo relativo: Sia y = f(x) una funzione con dominio Dom(f) = R. Possiamo affermare che x0 è un

punto di minimo relativo per la funzione se esiste almeno un intorno B(x0, ∂) di raggio ∂ e centro x0 tale che

per ogni x appartenente a B(x0, ∂) risulta che f(x) ≥ f(x0).

Punto di minimo assoluto: Sia y = f(x) una funzione con dominio Dom(f). Diciamo che x0 è un punto di minimo

∈

assoluto per la funzione, e che f(x0) è il minimo assoluto della funzione, se per ogni x Dom(f) risulta che f(x)

≥ f(x0). Max relativo

Min relativo

La funzione y=ln2x è convessa esattamente per 0<x<e

Una funzione f(x) ha derivata seconda f"(x)=3x2-6x. Allora f ha due punti di flesso, di cui uno con ascissa

positiva

La funzione y=(x-3)arctan x ha un punto di flesso in x= -1/3

La funzione y=xln x non ha punti di flesso

La funzione x4-4x3 è concava per 0<x<2, convessa altrove

Il dominio di f(x)=ln(x-|2x-1|) è ]1/3,1[

La funzione f(x)=ln(1-2x+√x) è definita per ¼<x<1

Traccia il grafico qualitativo della funzione f(x), definita e derivabile per x>-1, passante per l'origine, con

limite per x che tende a -1 pari a +∞, f(2)=1 massimo, f'>0 solo per 0<x<2, y=0 come asintoto orizzontale.

Determina il numero di soluzioni dell'equazione f(x)=k al variare di k reale.

f(x) definita e derivabile per x > -1 f(0) = 0; f(2) = 1 ennesimo

Lim f(x) = +∞; Lim f(x) = 0 f’(x) > 0 solo per 0<x<2

x->-1 x->+∞

Traccia il grafico qualitativo di f(x)=|x|3-3x2, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...)

senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della derivata seconda.

f(x) = |x| – 3x lim |x|^3 – 3x^2 = +∞ – ∞

^3 ^2 x->+∞

|x| = x se x>0 |x| = -x se x<0

 

f(x) > 0 x > 3 e x < -3 f(x) < 0 -3 < x < 3 f(x) = |x| -3x = x^2 (|x| -3)

^3 ^2

f’(x) = 3|x| * |x|/x - 6x = 3x |x|/x – 6x = 3x|x| -6x

^2 ^2

 

f’(x) = 0 3x (|x| -2) = 0 x = +2 x = -2 x = 0

  

f’(x) > 0 3x (|x| -2) > 0 x > 0, |x|>2 x > 0 x > -2 x > 2

Traccia il grafico qualitativo di f(x)=ln(x2-2x), riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...)

senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della derivata seconda.

F(x) = ln (x^2 – 2x) 

La funzione è definita per (x^2 – 2x) > 0 x^2 – 2x = x (x – 2) > 0 x > 0 e x > 2

lim ln (x – 2x) = ln 0 = - ∞ lim ln (x – 2x) = ln 0 = - ∞

x->0- ^2 x->2+ ^2

lim ln (x – 2x) = ln 0 = + ∞ lim ln (x – 2x) = ln 0 = + ∞

x->+∞ ^2 x->-∞ ^2

m = lim f(x) / x = lim ln(x -2x) / x = 0

x->+∞ x->+∞ ^2

 

f(x) = ln (x^2-2x) = 0 x^2 – 2x = 1 x^2 – 2x – 1 = 0

l°

 

ln y = 0 = y y = 1 Delta = (-2)^2 +4(-1) = 8

x½ = 2 ± √8 / 2 = 2 ± 2√2 / 2 = 1 ± √2 (1 + √2,0) e (1-√2,0) sono punti di f(x)

 

f’(x) = 1/ x^2 – 2x * (2x -2) = 2x – 2 / x^2 – 2x => f’(x) = 0 2(x-1) / x(x-2) = 0 x = 1

ma x = 1 non definisce f(x)

 

f’(x) > 0 2(x-1) / x(x-2) > 0 x > 1 x > 0 x > 2

f(x) decresce in (- ∞, 0) f(x) cresce in (2, + ∞)

Traccia il grafico qualitativo di f(x)=xe1-x, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...)

senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della derivata seconda.

l^1-x

f(x) = x definito su tutto R

l^1-(-x) l^1+x lx lx

f(-x) = -x = -x f(x) = / f(x) non è simmetrica

 

f’(x) > 0 1-x > 0 x < 1 f(x) crescente per x (-∞, 1) f(x) decrescente per x (1, +∞)

l^1-x =

lim x -> -∞ x -∞

Traccia il grafico qualitativo di f(x)=(x2-1)-1/2, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...)

senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della derivata seconda.

f(x) = 1 / √x^2 – 1 definita per x^2 – 1 > 0 poiché x^2 – 1 ≥ 0 x^2 – 1 ≠ 0

 ∈ (-∞, ∈ (1,

x^2 – 1 > 0 (x+1)(x-1) > 0 è definita dunque per x < 1 cioè x 1) e per x > 1 cioè x +∞)

lim x -> -1^- 1/√x^2-1 = +∞ => x= -1 asintoto verticale

lim x -> 1^+ 1/√x^2-1 = +∞ => x= 1 asintoto verticale ∀ ∈

lim x -> ±∞ 1/√x^2-1 = 0 => x= 0 asintoto orizzontale completo x R



f’(x) > 0 x < 0 -> f(x) crescente



f’(x) < 0 x > 0 -> f(x) decrescente

∈

x = 0 (-1, 1) non definito, dunque non ammette estremi

Traccia il grafico qualitativo di f(x)=(x2-4x)-1, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...)

senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della derivata seconda.



f(x) = (x^2 – 4x)^-1 = 1 / x^2 – 4x definita per x^2 – 4x ≠ 0 x ≠ 0 e x ≠ 4



f(x) > 0 x > 0 e x > 4

f(x) > 0 per x < 0 f(x) < 0 per 0 < x < 4 f(x) > 0 per x > 4

lim x -> 0^- (x^2 – 4x)^-1 = + ∞

lim x -> 0^+ (x^2 – 4x)^-1 = - ∞

lim x -> 4^- (x^2 – 4x)^-1 = - ∞

lim x -> 4^+ (x^2 – 4x)^-1 = + ∞

lim x -> ±∞ 1 / x^2 – 4x = 0 

f’(x) = -1 (x^2 – 4x)^-2 * (2x – 4) => f’(x) = 0 2x – 4 = 0 => x = 2

 

f’(x) > 0 => - (2x – 4) > 0 x < 2 f’(x) < 0 x > 2 f(2) = - ¼

Traccia il grafico qualitativo di f(x)=x3-3x, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...)

senza passaggi.

f(x) = x^3 – 3x definito su tutto R -> somma di due funzioni dispari è dispari

  

f(x) > 0 x^3 – 3x > 0 x(x^2 – 3) x > 0 e x^2 > 3 => x > ± √3



f(x) = 0 x = ± √3 x = 0

lim x -> +∞ x^3 (1 – 3/x^2) = +∞

lim x -> - ∞ x^3 (1 – 3/x^2) = - ∞

m = lim x -> +∞ f(x)/x = +∞ nessun asintoto



f’(x) > 0 x > 1 e x > -1 x = -1 max locale x = 1 min locale

f(1) = 1^3 – 3(1) = -2 f(1) = (-1)^3 – 3(-1) = +2

 

f’’(x) > 0 x > 0 f’’(x) < 0 x < 0

Traccia il grafico qualitativo di f(x), definita e derivabile per ogni x reale, sapendo che è pari, ha minimo

uguale a 1 in x=3, f(0)=2, f'>0 per x>3, f'<x0 per |x|>1, il limite per x che tende a -∞ è +∞.

∀ ∈

f(x) definita e derivabile x R f(x) è pari (simmetrica rispetto a y) x = 3 è minimo e f(3) = 1 f(0) = 2

f’ > 0 per |x| > 3 => x>3, x<-3 f’’ > 0 per |x| > 1 => x>1, x<-1 lim x -> -∞ f(x) = + ∞

Traccia il grafico della funzione f(x), definita e derivabile per x1, che tende a 0 in 0, con limite per x che

tende a 1 da destra uguale a +∞, y=x+3 asintoto obliquo completo, f(-1)=1/2 massimo locale, f(2)=7

minimo locale, f'>0 solo per x<-1 o x>2.

f(x) definita e derivabiler per (- ∞, 0) U (1, + ∞)

lim x -> 0 f(x) = 0 ; lim x -> 1^+ f(x) = + ∞

y = x + 3 A completo => f(-1) = ½ max locale f(2) = 7 min locale f’(x) > 0 solo per x < -1 e x > 2

Traccia il grafico qualitativo della funzione f(x), sapendo che: è definita e derivabile per x≠1, il limite per x

che tende a 1 è +∞, y=2 asintoto o