Analisi superiore

ANALISI SUPERIORE

• lunedì irrenunci, c’è la professoressa Cordero fino al 9 Novembre compreso
• martedì 6 novembre - programma 6 CFU

Lezioni in aula Lagrange

Appunti modulo di ANALISI SUPERIORE dove ci sono le dispense (da non stampare prima di fine novembre)

PROGRAMMA

• la trasformata di Fourier
• Si interesserà L₂ e le traslazioni
• la Convoluzione, la trasformata di Fourier ai prodotti di convoluzione
• formula di inversione
• spazio di Schwartz S
• le distribuzioni temperate
• gli spazi di Sobolev H_S
• la trasformata di Laplace

24 Settembre 2018

Siano X e Y degli spazi vettoriali allo stesso corpo scalare (ℂ o ℝ)

Un’applicazione T : X → Y si dice LINEARE se per ∀α, β ∈ ℂ e ∀x₁, x₂ ∈ X T(αx₁ + βx₂) = α T(x₁) + β T(x₂)

ESEMPIO: Prendiamo X = Y = ℝ allora T(x) = x è un’applicazione lineare

Siano (X, ||.||_X) e (Y, ||.||_Y) due spazi normati Un’operazione lineare T : X → Y si dice LIMITATA se ∃ c > 0 tale che ||T(x)||_Y ≤ c||x||_X ∀x ∈ X

ATTENZIONE! Questo è un concetto diverso da "funzione limitata"! Ad esempio, se prendo f: ℝ→ℝ f è limitata su ℝ se

ESMPIO) Considerando T(x)=x su ℝ→ℝ e sup T(x)= inf x su ℝ

quindi non è una funzione limitata ma

è limitato: ||T(x)|| su ℝ = |x| = ||x|| su ℝ

da cui ||T(x)|| su ℝ ≤ C ||x|| su ℝ dove C=1 ∀ x e ℝ

TEOREMA

Siano X,Y spazi normati. Sia T:X→Y un operatore lineare. Allora sono equivalenti:

1. T è uniformemente continuo su X
2. T è continuo su X
3. T è continuo in 0
4. T è limitato
5. Esiste una costante positiva C>0 tale che ||T(x)||_Y ≤ C, ∀ x e X tali che ||x||_X ≤ 1

In particolare si ha che

inf { C>0 / ||T(x)||_Y ≤ C ||x||_X ∀ x e X

= { T(x) ||x_X} ; x e X e ||x|| su X ≤ 1 Si indica con |(X,Y) = {T:X→Y lineari e limitati}

LEMMA

|(X,Y) è uno spazio vettoriale normato con norma data da

||T|| su |X,Y = inf { C>0 ; ||T(x)||_Y ≤ C ||x||_X ∀x∈X}

= { ||T(x)||_Y} ; x e X e ||x|| su X ≤ 1

∀ T e |(X,Y)

DIM ∀ ℓ 3 arbitrario fissato, proviamo che ϕ̂ è continuo in ℓ 3 ⇔

lim_n→0 ϕ̂(ℓ 3+nℓ) = ϕ̂(ℓ 3) ⇔

lim_n→0 ( ϕ̂(ℓ 3+nℓ) - ϕ̂(ℓ 3) ) = 0

Andiamo a calcolare ϕ̂(ℓ 3+nℓ) - ϕ̂(ℓ 3) =

∫_ℝ^d e^{-2πi(ℓ 3+nℓ)・t} f(t) dt - ∫_ℝ^d e^{-2πiℓ 3・t} f(t) dt =

= ∫_ℝ^d ( e^{-2πi(ℓ 3+nℓ)・t} - e^{-2πiℓ 3・t} ) f(t) dt |

≤ ∫_ℝ^d | e^{-2πi(ℓ 3+nℓ)・t} - e^{-2πiℓ 3・t} | f(t) dt

Usiamo un teorema

TEOREMA DI CONVERGENZA DOMINATA

Sia f_n∈L¹(ℝ^d) ∀n∈A

tale che lim_n→h0 f_n(t) = f_h0(t) per quasi

ogni t (no limite puntuale quasi ovunque) e

|f_n(t)| ≤ g(t) quasi ovunque con g∈L¹(ℝ^d)

⇒ lim_n→h0 ∫_ℝ^d f_n(t) dt = ∫_ℝ^d f_h0(t) dt

DIM Uno equivalenti tra limite per funzione

e limite per successione

lim_n→h0 f(h) = e ⇔ ∀ 2a successione

2a_n con c.d.c. dm f e an

m→a₀ h₀ ⇒ lim_m→∞ f(a_n) = e

perciò mostrò scrivere

|e^{-2πi(ℓ 3+nℓ)・t} - e^{-2πiℓ 3・t}| |f(t)| ≤ 2 |f(t)|

quasi ovunque e ho che 2|f|∈L¹(ℝ^d)

Sia f : IR^d → C funzione. Definiamo

A) OPERATORE DI DILATAZIONE

Dλ, λ > 0

(D_λ f)(t) = λ^d f(λt) = f_λ(t)

B) OPERAZIONE DI TRASLAZIONE

Th, h ∈ IR^d

(T_h f)(t) = f(t - h)

C) OPERATORE DI MODULAZIONE

M_m tale che

(M_m f)(t) = e^2πimt f(t)

D) INVOLUZIONE

_f(t) = ^f(-t)

ESERCIZIO Verificare che gli operatori precedenti

sono lineari e continui da L¹ a L¹.

In particolare, verificare che sono isomorfismi topologici da L¹

(isometrie suriettive)

||Dλf||₁ = ||f||₁ ∀ f ∈ L¹

(D_λ)* = D_1/λ (T_h)* = T_-h M_m* = M_-m

TEOREMA

Sia f ∈ L¹(IR^d). Allora

(a) ∃ T_h f̂(ξ) = M_-h f̂(ξ)

(b) ∃ M_m f̂(ξ) = T_m f̂(ξ)

(c) ∃ D_λ f̂(ξ) = λ^d f̂(t/λ) = λ^d (ṭ f)(λ t)

(d) ^f(ξ) = ^f(ξ)

DIM

(b) Si ha T_h f̂(ξ) = ∫ IR^d e^-2πiξt f(t-h) dt

= ∫ IR^d e^-2πiξt f(a) da = e^-2πiξ3h ∫ IR^d e^-2πiξ3 f(a) da = e^-2πiξ3h f̂(ξ)

= M_n f̂(ξ) ◁

F(3) = ∫_−∞^+∞ f(t) e^−2πix3t dt = ∫_−∞⁰ e^−2πix3t dt =

−1/2πix3 e^−2πix3t |_−∞⁰ = −1/2πix3 |_−∞⁰ 1/^2πix3 e^−4πix3

=1/2πix3 e^−4πix3(−1)

PROPRIETÀ Se f ∈ L¹(R