Analisi superiore

ANALISI SUPERIORE

• lunedì, venerdì c'è la professoressa Cardero fino al 9 Novembre compreso
• martedì 6 Novembre ⇒ programma 6 CFU

Lezioni in aula Lagrange

Ragion morale di ANALISI SUPERIORE ⇒ dove ci sono le dispense (da non stampare prima del 9 Novembre)

PROGRAMMA

• la trasformata di Fourier
• ci interesserà T₀ e le traslazioni
• la convoluzione, la trasformata di Fourier sui prodotti di convoluzione
• formula di inversione
• teoremi Schwarz S
• le distribuzioni temperate
• gli spazi di Sobolev H_s
• la trasformata di Laplace

24 Settembre 2018

Siano X e Y degli spazi vettoriali sullo stesso campo reale (ℝ o ℂ)

Un'applicazione T : X → Y si dice LINEARE ⇔ ∀ α, β ∈ ℂ e ∀ x₁, x₂ ∈ X

T(αx₁ + βx₂) = αT(x₁) + βT(x₂)

ESEMPIO

Prendiamo X = Y = ℝ, allora T(x) = x è un'applicazione lineare

Siano (X, ||.||_X) e (Y, ||.||_Y) due spazi normati

Un operatore lineare T : X → Y si dice LIMITATO ⇔ ∃ C > 0 tale che ||T(x)||_Y ≤ C ||x||_X ∀ x ∈ X

ANALISI SUPERIORE

• lunedì venerdì c'è la professoressa Cordero fino al 9 Novembre compreso
• martedì 6 Novembre → programma 6 CFU

Lezioni in aula Lagrange

Appunti modulo di ANALISI SUPERIORE → dove ci sono le dispense (da non stampare prima almeno Novembre)

PROGRAMMA

• la trasformata di Fourier
• ci interesserà l₀ e le traslazioni
• le convoluzioni, la trasformata di Fourier ai prodotti di convoluzione
• formula di inversione
• closure Schwarz S
• le distribuzioni temperate
• gli spazi di Sobolev HS
• la trasformata di Laplace

24 Settembre 2018

Siano X e Y degli spazi vettoriali allo stesso campo scalare (ℂ o ℝ)

Un'applicazione T : X → Y si dice LINEARE ↔ ∀α,β ∈ ℂ e ∀ x₁,x₂ ∈ X T(αx₁ + βx₂) = α T(x₁) + β T(x₂)

ESEMPIO

Prendiamo X = Y = ℝ, allora T(x) = xè un'applicazione lineare

Siano (X,‖.‖_X) e (Y,‖.‖_Y) due spazi normati.Un operatore lineare T : X → Y si dice LIMITATO ↔ ∃C > 0 tale che ‖T(x)‖_Y ≤ C‖x‖_X ∀x∈X

ATTENZIONE! Questo è un concetto diverso da "funzione limitata". Ad esempio, si prenda f: ℝ→ℝ f è limitata su ℝ se _x∈ℝ∃M: |f(x)|≤M.

ESEMPIO Considerando T(x) = x, si ha T: ℝ→ℝ e _x∈ℝ |T(x)| = _x∈ℝ |x| = +∞ ⇒ quindi non è una funzione limitata ma T è limitato. _ℝ‖T(x)‖_ℝ = ‖T(x)‖ = |x| = ‖x‖_ℝ da cui ‖T(x)‖_ℝ ≤ C ‖x‖_ℝ dove C = 1 ∀ x ∈ ℝ.

TEOREMA Siano X, Y spazi normati. Sia T: X→Y un operatore lineare. Allora sono equivalenti:

1. T è uniformemente continuo su X
2. T è continuo su X
3. T è continuo in 0
4. T è limitato
5. Esiste una costante positiva C > 0 tale che ‖T(x)‖_Y ≤ C, ∀ x∈X tali che ‖x‖_X ≤ 1

In particolare, si ha che

inf {c>0; ‖T(x)‖_Y ≤ c‖x‖_X ∀ x∈X} = _{x∈X ‖x‖X ≤1} sup {‖T(x)‖_Y; x∈X e ‖x‖_X ≤1}.

Si indica con L(X,Y) = {T: X→Y lineari e limitati}

LEMMA L(X,Y) è uno spazio vettoriale normato con norma data da

‖‖T‖_L(X,Y) = inf{c>0; ‖T(x)‖_Y ≤ c‖x‖_X ∀ x∈X}_{∀ T∈L(X,Y)} = _{x∈X ‖x‖X ≤1} sup {‖T(x)‖_Y; x∈X e ‖x‖_X ≤1} ∀ T ∈ L(X,Y).

₃ ESEMPIO Prendiamo come X = e_C ([0,1]) con norma dato dai f ∈ e_C ([0,1])

e ho ||f||_∞ = sup_{x ∈ [0,1]} |f(x)| e prendo Y = ℂ

Sia T: e_C ([0,1]) → ℂ

f ↦ T(f) = f(0) ∀f ∈ e_C ([0,1])

∀ α,β ∈ ℂ ∀ f₁, f₂ ∈ e_C ([0,1])

T(αf₁ + βf₂) = (αf₁ + βf₂)(0) = αf₁(0) + βf₂(0) = = α T(f₁) + β T(f₂),

|T(f)| = |f(0)| ≤ sup_{x ∈ [0,1}