Analisi matematica 1- Derivate

DERIVATA

FONDAMENTALI

(xⁿ)' = d • x^n-1 (Sinx)' = Cosx (Cosx)' = -Sinx (e^u)' = e^u (a^g(x))' = ln a • a^g(x) • g'(x) (e^x)' = e^x (a^x)' = a^xln a (arcsinx)' = 1/√(1 - x²)

REGOLE DI DERIVAZIONE

(f + g)' = f' + g' (fg)' = f'g + fg' [f/g]' = (f'g - fg') / g² f(g(x))' = g'(x) • f'(g(x))

CALCOLO DI DERIVATE

1. y = |x| =
   • x    se x ≥ 0
   • -x   se x < 0
   y' =
   • 1    se x ≥ 0
   • -1   se x < 0
   = Sigux(x)
2. y = |x² -2| =
   • ...
   y' = abs(x² - 2) • 2x / (x² - 2) = 2x • Sigux(x² - 2)

3)

y = tgx - ^senx/_cosx

y' = cosx . ^{cosx (-sinx)}/_cos²x = ^{cos2x + sen2x}/_cos²x = ¹/_cos²

^{cos2x + sen2x}/_cos²x = 1 + tg²x

4)

y = e^log_e(3x)

y' = y . ^{d/dx[log_e(x)]}3 = ¹/_3x = ¹/_x

5)

y = sinx²(sinx)²

y' = cosx . 2sinx² = 2cosx sinx = sin2x

6)

y = e^2x+1

y' = e^2x+1 . d/dx(2x+1) = 2e^2x+1

7)

y = (8x-1)¹⁰ - x⁹

y' = 10(8x-1)⁹ . 8 = 80(8x-1)⁹

8)

y = 2x + 3^3√x + 4^4√x

y' = 2 . d/dx[x¹] + 3 . d/dx[x^1/3] + 4 . d/dx[x^1/4]

y' = 2(¹/₁ x^1-1) + 3(¹/₃ x^1/3-1) + 4(¹/₄ x^1/4-1) = x^-1/2 + x^-2/3 + x^-3/4

y' = ¹/_√x + ¹/_x^1/3

9)

y = (√x sinx)(x^1/2)

y = ( x^1/2 . sinx + √x cosx = ¹/_2√x sinx + √x cosx

N.B. f(g(x)) = ^u/₂ f(x)

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y = x² e^x cosx

y' = (x² e^x) [cosx + (x² e^x] [cosx] = (2x e^x

DETERMINARE I PUNTI DI NON DERIVABILITÀ

1) y₁ = f(x) =

• x - 1 se x ≤ 1
• log x se x ≥ 1

• CONTINUA?

  Lim x - 1 = Lim log xx→1^- x→1⁺

  0 = 0 SÌ
• DERIVABILE?

  y₁ = f'(x) =

  • 1 se x ≤ 1
  • 1/x se x ≥ 1

  Deriv? ↓ è derivabile se è continua

  Lim f'(x) = Lim 1 = 1x→1^- x→1⁺

  Lim f'(x) = Lim 1/x = 1x→1^- x→1⁺

  -> SÌ è derivabile

2) y₂ = f(x) =

• x³sin1/x se x ≠ 0
• 0 se x = 0

• CONTINUA?

  Lim(x³sin1/x) = Lim 0x→0⁺ x→0^-

  0 · sin(1/0) => 0
• Non è possibile concludere nulla

3) y₃ = (x-2)^2/3

CONTINUA: D_f = ℝ

DERIVABILE:

y' = ((x-2)^2/3)' = 2/3 (x-2)^-1/3 · 1 = 2/3 (x-2)^-1/3 = 2/3 · 1/(x-2)^1/3 = 2/(3(x-2)^1/3 )

Deriv x=2 -> punto di non derivabilità

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