Derivate parziali, gradienti, differenziali
Definizione
Dato un insieme aperto A ⊂ ℝm, e f : A → ℝ con x0 ∈ A. Dato r ∈ ℝm si ha:
(versore ||r|| = 1) ∂f / ∂r(x0) = lim (h→0) [f(x0 + hr) - f(x0)] / h
Osservazione
Poiché A è aperto si ha che:
∃ε > 0 | B(x0, ε) ⊂ A.
Inoltre...
h||r|| < ε ⇔ ||h||·||r|| < ε ⇒ x0 + hr ∈ B(x0, ε) ⊂ A
Osservazione
Se f(x) = [f1(x) ... fn(x)], allora:
∂f / ∂r(x0) → [∂f1(x0) / ∂r ... ∂fm(x0) / ∂r]
Definizione di gradiente
Se ∃ = (1,0,..,0) si ha che: ∂f / ∂r (x0) si denota con: ∂f / ∂x1 (x0).
Se ∃ = (0,...0,1,0,...0) si ha che: ∂f / ∂r si denota con: ∂f / ∂xi.
Derivate parziali, gradiente, differenziali
Definizione
Dato un insieme aperto A ⊆ ℝm, e f: A → ℝm con x0 ∈ A. Dato x ∈ ℝm si ha:
∂f / ∂τ (x0) = limh→0 [f(x0 + hτ) - f(x0)] / h
Osservazione
Poiché A è aperto si ha che: ∃z > 0 | B(x0, z) ⊆ A.
Inoltre..
|X(n) - X(n) | (n) + hn ∈ B(x0, z) ⊆ A
Osservazione
Se f: ( f1(x) ) → ∂f / ∂τ (x0) ( ∂f1(x0) / ∂τ ) ( fn(x) ) … ( ∂fm(x0) / ∂τ )
Definizione di gradiente
Se a = (1,0,...,0) si ha che: ∂f / ∂τ (x0) si denota con: ∂f1(x0).
Se a = (0,...0,1,0,...,0) si ha che: ∂f / ∂τ si denota con: ∂f / ∂xi.
Se f : A → ℝm, A aperto con x0 ∈ A, si ha:
∇f (x0) = ∂f1 / ∂x1 (x0), ∂f1 / ∂x2 (x0), …, ∂fm / ∂xm (x0)
Definizione: matrice Jacobiana
Se f : A → ℝm, A ⊆ ℝn aperto con x0 ∈ A, si definisce matrice Jacobiana:
Jf (x0) = ∂f1 / ∂x1 ... ∂f1 / ∂xn ... ∂fm / ∂x1 ... ∂fm / ∂xn
Gradienti e derivate parziali
Se x0 ∈ A = x (x1, …, xm) ̅j = ̅j con: ̅j = (0, …, 0, 1, 0, …, 0)
∂fj / ∂xj = limh→0 [f (x + h ̅j) - f(x)] / h = limh→0 [f (…xj + h, …) - f(x)] / h
Esempio: calcolo del gradiente
Calcoliamo il gradiente di: f(x,y) = x ⋅ cos(y) + y ⋅ x ⋅ cos(x) + ey y ⋅ log x
∂f / ∂x (x,y) = limh→0 [f (x + h, y) - f(x,y)] / h = cos(y) + ey log x + 1/x + cos(x) ⋅ xy
Considero y come un parametro e derivo la funzione come se fosse una funzione nella sola variabile x.
∂f / ∂y (x,y) = -x sin(y) + log x ⋅ xy
Teorema di Fermat
Dato A aperto di ℝm con x ∈ A e f: A → ℝ, se x ∈ A è un punto di massimo (minimo) relativo ⇒ ∃ i: ∂f / ∂xi(x) = 0
In particolare: ∇f(x) = 0, per ogni punto di massimo o minimo relativo in cui ∇f(x) è definito.
Esempio
f(x,y) = x2 + y2
Si ha f(x,y) ≥ 0 e f(x,y) = 0 ⇔ (x,y) = (0,0)
∇f(x) = (2x, 2y) = (0,0) ⇔ (x,y) = (0,0)
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