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Derivate Parziali, Gradienti, Differenziali
Dato un insieme aperto A ⊆ ℝm, f: A → ℝm con x0 ∈ A
Dato x ∈ ℝm si ha:
∂f / ∂xr(x0) = limh→0 (f(x0 + hrℊr) - f(x0)) / h
Osservazione Poiché A è aperto, si ha che:
∃ε > 0 | B(x0,ε) ⊆ A. Inoltre,
|h| < ε ⟹ |h| = |h|⋅|x ⟹ x0 + h⋅x |∈ B(x0,ε) ⊆ A
Osservazione
Se f(x) =
( f1 (x) )
( fn (x) )
___
df / dx([icionado(x0) =
( ∂f1 / ∂x{r}(x{0}) )
( ∂fm / ∂x{r}(x{0}) )
___
Def. Graduente:
Se α = (1, 0,...,0), si ha che: ∂f / ∂xr(x0) si denota con:
∂f / ∂xr(x0)
Se α = (0,...0, 1, 0,...0), si ha che: ∂f / ∂xr si denota con:
∂f / ∂xi
Def:
Se \(f: A \rightarrow \mathbb{R}\) con \(A \) aperto con \(x_0 \in A\), si ha:
\(\triangledown f(x_0)= \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (x_0), \frac{\partial f}{\partial x_2} (x_0), \ldots , \frac{\partial f}{\partial x_n} (x_0) \right)\)
Def:
Se \(f: A \rightarrow \mathbb{R}^n\), \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) aperto con \(x_0 \in A\), si def. matrice jacobiana:
\(J_f (x_0)= \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_0) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_m}(x_0)\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_0) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f_2}{\partial x_m}(x_0)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(x_0) & \frac{\partial f_n}{\partial x_2}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f_n}{\partial x_m} (x_0) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \triangledown f_1(x_0)\\ \triangledown f_2(x_0)\\ \vdots\\ \triangledown f_m (x_0) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}\\ \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_l} \end{pmatrix}\)
Se \(x_0 \in A = x=(x_1, \ldots , x_n)\)
\(e_j = e_j \text{ con: } e_j =(0, \ldots ,0,1,0,\ldots,0)\)
\(\frac{\partial f}{\partial x_j}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h \cdot e_j)- f(x)}{h}= \lim_h{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1 , \ldots , x_j + h , \ldots , x_n)- f(-)}{h}\)
Es:
Calcoliamo il gradiente di: \(f(x,y)= x \cdot \cos(y) + \frac{y^4}{x}+ y \cdot e^x\)
- \(\frac{\partial f}{\partial x}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h, y)- f(x,y)}{h}= \cos y + e^x \cdot y \cdot \log e^x \cdot \frac{1}{x^2} \cdot y^4= \cos y + y \cdot e^x- y^4\)
Considero \(y\) come un parametro e derivio la funzione come se fosse una funzione nella sola variabile \(x\)
- \(\frac{\partial f }{\partial y} (x,y)=- x \cdot nel y + \log x \cdot y^4
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