Analisi matematica I - Appunti e esercizi

analisi 1,

esercitazioni giovedì all'alenia

Marco Codegone, dipartimento di scienze matematiche (3 piano salendo da

prima dell'aula 2).

tel. 011 0907537

email: marco.codegone@polito.it

testo consigliato: canuto-tabacco "Analisi Matematica 1", Springer

LOGICA MATEMATICA:

Proposizione:

- vera;

- falsa;

Si agisce con i connettivi logici: P (proposizione) viene negata (negazione

di P, non P).

Si può usare (et) : P Q

Si usa anche la disgiunzione logica: P Q

- Esempio: 2 3: VERO

IMPLICAZIONE: P Q

DIMOSTRAZIONE MATEMATICA:

I=ipotesi (per definizione vera);

I T è dimostrato essere vera; allora T è vera

- Esempio:

Sia ax + bx + c = P(x)

con a, b, c numero assegnati

Se x è un numero tale che P(x )=0 IPOTESI

Allora P(x) = (ax + b + ax )(x-x ) TESI

I T è la DIMOSTRAZIONE

DIMOSTRAZIONE (PER CONTRAPPOSIZIONE)

Contronominale:

P Q contronominale

n è divisibile per 4 n è pari VERO

n non è pari n non è divisibile per 4 VERO (la contronominale è sempre

vera)

- Esempio:

I: sia E l'insieme di tutti i numeri primi

T: E è infinito

: E è finito

E= (a , a , a , a , ....., a )

p (prodotto) = a a a a a ..... a + 1

p: a o p è primo o c'è un primo che divide p e non sta in E

p: a

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO:

- Esempio:

I: sia 2 quel numero tale che 2 2 = 2

T: per ogni n e m numeri interi positivi, n/m 2

Dimostrazione: X ogni intero ammette una fattorizzazione unica in fattore primo

(50= 5 2), quindi: fattori primi con esponenti pari

ha esponente dispari, contraddice X<

Chiara Giverso

Email: chiara.giverso@polito.it

FUNZIONE ESPONENZIALE

Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo

FUNZIONE LOGARITMICA

Si chiama logaritmo in base a di b l'unica soluzione del l'equazione esponenziale

Proprietà:

Esercizio

1) esistenza dei logaritmi:

2) applico proprietà:

3) risolvo:

4) la soluzione è:

1) esistenza:

2)

ANALISI 1

oppure: Sergio Ancelotti, esercizi

oppure: Chiara Ravazzi e Marco Righero, quiz ed esercizi

PREDICATI e QUANTIFICATORI:

- Un predicato è una proposizione il cui valore di verità dipende da una o più

variabili;

Esempi:

P(x) = x è un numero pari;

P(8) = VERO;

P(15) = FALSO;

P(x;y) = x è minore o uguale di y;

P(2;3) = VERO;

P(3;3) = VERO;

P(3;1) = FALSO;

- Quantificatori:

= per ogni;

= esiste almeno un

- Esempio:

P(x;y) = x y

- Esempio:

TEORIA DEGLI INSIEMI:

N= insieme dei numero interi positivi (numeri naturali);

N = non ha lo zero;

Per gli insiemi valgono la proprietà: associativa e distributiva, sia per unione che

per l'intersezione.

Complementare dell'insieme A: , cioè tutti gli elementi

DIFFERENZA COMPLEMENTARE:

DIFFERENZA SIMMETRICA:

INSIEMI:

- N= naturali

- Z= relativi

- Q= razionali

- R= reali

Nella divisione di interi o a un certo punto il resto (r) è zero, oppure si ottiene

un numero decimale periodico. Q, nella rappresentazione decimale, è l'insieme

dei numeri con parte decimale finita o periodica. R è l'insieme dei numeri

decimali con parte decimale qualunque.

RELAZIONE DI ORDINE: stabilire quale frazione è maggiore tra due o più;

A ogni punto della retta corrisponde un numero reale e a ogni numero reale

corrisponde un punto della retta.

VALORE ASSOLUTO di un numero reale x,

ANALISI 1

- Valore assoluto

- Esempio

INTERVALLI:

- chiuso:

- aperto:

- semiaperto:

- Maggiorante, minorante:

è un maggiorante di A se si ha

è un minorante di A se si ha

- Esempio

è un maggiorante;

non è un maggiorante;

è un minorante;

è un minorante;

non è un minorante, perché

Se non ha maggioranti diciamo che non è limitato (superiormente);

Se non ha minoranti diciamo che non è limitato (inferiormente);

Se ammette l'esistenza di maggioranti e minoranti si dice che è limitato.

- Esempio: limitato sia inferiormente che superiormente;

non è limitato superiormente;

- Massimo (MAX) , minimo (MIN):

Massimo di è un massimo di se è un maggiorante e

Minimo di è minimo di se è un minorante e

si scrive

K= max A

k= minA

- Esempio:

A= (5; 8

Max = 8, perché

min = non esiste, perché

A =

QUIZ:

- Estremo superiore (SUP), estremo inferiore (INF):

S = SUP A S è il minimo dei maggioranti

- Esempio:

1)

- Sia a R e b R e a b tra a e b esistono sempre infiniti numeri reali

- Tra a R e b R a a b ci sono sempre infiniti numeri razionali e ci sono

sempre infiniti numeri irrazionali.

s = INF A S è il massimo dei minoranti

- Esempio:

1)

2) PRINCIPIO DI ARCHIMEDE

3)

ANALISI I

PRODOTTO CARTESIANO

A = un insieme

B = un insieme

AxB = prodotto cartesiano di A con B

AxB =

- Esempio:

1)

2) (5;3) dalla coppia (3;5)

RELAZIONI:

Le relazioni tra due numeri reali sono dei sottoinsiemi di RxR

xRy x è in relazione con y se (x;y) A

xRy x non è in relazione con y se (x;y) A

- Esempio:

RELAZIONE DI DISUGUAGLIANZA

(x;y) A se x y

Legami con le operazioni:

RELAZIONE DI EQUIVALENZA:

Se il resto della divisione per un numero qualunque è lo stesso, x y

Se n= 9, i possibili resti sono

ogni colonna equivale a una classe dei resti:

Due classi hanno intersezione vuota

RELAZIONI FUNZIONALI O FUNZIONI:

se x X, y Y e (x;y) XxY

- Esempio:

Una relazione è una funzione se le rette verticali incontrano il grafico in al più un

punto.

- Esempio:

1)

2) Determinare il dominio di

3) Imm f:

DEFINIZIONE OPERATIVA DI FUNZIONE:

Y sta sull'immagine di F se le rette orizzontali passanti per y incontrano il grafico

in almeno un punto.

FUNZIONE INIETTIVA:

f è iniettiva se allora esiste una sola

cioè, se

Se la retta orizzontale per y incontra il grafico in un solo punto.

- Esempio:

e = 2,71.....

FUNZIONE SURIETTIVA:

F è suriettiva se esiste almeno un

- Esempio:

1) f(x) = x è suriettiva

2) f(x) = x (x - 1) è suriettiva

ANALISI 1 (09/10/2012

RESTRIZIONE di f a A dom f

- Esempio:

RESTRIZIONE dell'immagine di f

-Esempio:

Una funzione iniettiva e suriettiva è detta BIETTI VA. Si può rendere una funzione

biettiva restringendo sia il dominio che l'immagine di una funzione.

FUNZIONE INVERSA:

Sia f(x) una funzione con dominio dom f e sia A dom f

Se f(x) è iniettiva in A,

Allora diciamo che f è invertibile e cioè esiste una funzione indicata con f (y) con

dom f = B R tale che B = f(A) = f(x) con x A e

- Esempio

1)

2)

3)

Grafico di f indichiamo G f

- Esempio: