Analisi matematica I - Appunti e esercizi

PRODOTTO CARTESIANO

A = un insieme

B = un insieme

AxB = prodotto cartesiano di A con B

AxB =

- Esempio:

1)

2) (5;3) dalla coppia (3;5)

RELAZIONI:

Le relazioni tra due numeri reali sono dei sottoinsiemi di RxR

xRy x è in relazione con y se (x;y) A

xRy x non è in relazione con y se (x;y) A

- Esempio:

RELAZIONE DI DISUGUAGLIANZA

(x;y) A se x y

Legami con le operazioni:

RELAZIONE DI EQUIVALENZA:

Se il resto della divisione per un numero qualunque è lo stesso, x y

Se n= 9, i possibili resti sono

ogni colonna equivale a una classe dei resti:

Due classi hanno intersezione vuota

RELAZIONI FUNZIONALI O FUNZIONI:

se x X, y Y e (x;y) XxY

- Esempio:

Una relazione è una funzione se le rette verticali incontrano il grafico in al più un

punto.

- Esempio:

1)

2) Determinare il dominio di

3) Imm f:

DEFINIZIONE OPERATIVA DI FUNZIONE:

Y sta sull'immagine di F se le rette orizzontali passanti per y incontrano il grafico

in almeno un punto.

FUNZIONE INIETTIVA:

f è iniettiva se allora esiste una sola

cioè, se

Se la retta orizzontale per y incontra il grafico in un solo punto.

- Esempio:

e = 2,71.....

FUNZIONE SURIETTIVA:

F è suriettiva se esiste almeno un

- Esempio:

1) f(x) = x è suriettiva

2) f(x) = x (x - 1) è suriettiva

ANALISI 1 (09/10/2012

RESTRIZIONE di f a A dom f

- Esempio:

RESTRIZIONE dell'immagine di f

-Esempio:

Una funzione iniettiva e suriettiva è detta BIETTI VA. Si può rendere una funzione

biettiva restringendo sia il dominio che l'immagine di una funzione.

FUNZIONE INVERSA:

Sia f(x) una funzione con dominio dom f e sia A dom f

Se f(x) è iniettiva in A,

Allora diciamo che f è invertibile e cioè esiste una funzione indicata con f (y) con

dom f = B R tale che B = f(A) = f(x) con x A e

- Esempio

1)

2)

3)

Grafico di f indichiamo G f

- Esempio:

FUNZIONE COMPOSTA:

Funzioni in generale

- Esempio:

1)

2)

MAGGIORANTE DI f(x) :

MINORANTE DI f(x) :

MASSIMO DI f(x) :

MINIMO DI f(x) :

ANALISI I (15/10/2012)

ESTREMO SUPERIORE DI F(x):

In pratica è il più piccolo dei maggioranti, cioè:

ESTREMO INFERIORE DI F(x):

In pratica è il più grande dei minoranti, cioè:

Esempio:

1)

2)

MONOTONIA:

Si dice che f(x)=y è monotona crescente in A dom f se:

si dice strettamente crescente se:

Si dice y=f(x) è monotona decrescente in A dom f se:

si dice strettamente decrescente se:

Esempio:

1)

2)

3)

ESEMPI SULLE FUNZIONI INVERSE:

- Esempio:

PARTE INTERA:

MANTISSA M(x):

È il numero x meno la sua parte intera

- Esercizio:

PERMUTAZIONI (di oggetti):

DISPOSIZIONI:

COEFFICIENTE BINOMIALE:

ANALISI 1 (15/10/2012)

SUCCESSIONI:

- Esempio

LIMITI DI SUCCESSIONI:

- Esempio

Se si ha da calcolare il limite del rapporto di due polinomi nella variabile n per

n è il rapporto dei coefficienti dei monomi di grado massimo

Se il limite del rapporto di P e Q è tale che m>p il limite è + oppure - A

seconda che i segni dei coefficienti di grado massimo siano concordi o discordi.

- Il limite può anche non esistere:

ANALISI 1 (22/10/2012)

- DIMOSTRAZIONE:

LIMITI E CONTINUITA' DI FUNZIONI

- Esempio:

I valori di f(x) possono essere vicini a a una distanza che non supera pur di prendere x sufficientemente

grandi (x>M). M deve essere maggiore della controimmagine di

- Esempio:

- Esempio:

E' corretto dire che il limite non esiste

uguale a

ma solo per generico

- Esempio:

LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO

- Esempio

- Esempio:

INTORNO

- Limite per eccesso/difetto:

- Esempio:

- Esempio:

CONTINUITA'

ANALISI 1 (23/10/2012)

CONTINUITÀ

- Esempio

LE FUNZIONI ELEMENTARI (polinomi, funzioni razionali, radici, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e le

loro inverse) sono continue nel loro dominio.

PUNTI DI DISCONTINUITÀ

- punti di discontinuità eliminabile:

Esempio:

DISCONTINUITÀ DI I SPECIE (o salto):

- Esempio:

DISCONTINUITÀ DI II SPECIE

Se almeno uno dei due limiti laterali:

- Esempio

TEOREMA DEL CONFRONTO

Primo teorema

Esistano finiti o infiniti e supponiamo che in un intorno di C:

Allora:

Dimostrazione:

- Esempio

ANALISI 1 (29/10/2012)

TEOREMI LOCALI E SULLA CONTINUITÀ

1. Unicità del limite

Ipotesi:

Tesi:

Dimostrazione:

2. Permanenza del segno

Ipotesi:

Tesi:

Dimostrazione:

3. Corollario alla permanenza del segno

Ipotesi:

Tesi:

Esempio:

Dimostrazione:

4. Primo Teorema del confronto

Ipotesi:

Tesi:

Dimostrazione:

5. Secondo Teorema del confronto (teorema dei due carabinieri)

Ipotesi:

Tesi:

Dimostrazione:

6. Corollario (infinitesimo per limitato)

Ipotesi:

Tesi:

Dimostrazione:

Esempio:

7. Caso infinito del 2° Teorema del confronto

Ipotesi:

Tesi:

Esempio:

ALGEBRA DEI LIMITI

8. Teorema della somma dei limiti

Ipotesi:

Tesi:

Dimostrazione:

9. Teorema di sostituzione nei limiti

A) Ipotesi

Tesi:

B) Ipotesi

tesi:

10. Corollario per le funzioni continue

Ipotesi:

Tesi:

Dimostrazione: immediata conseguenza di A)

ESEMPIACCIO: (esempio in cui non funziona il teorema di sostituzione)

ffhf

ANALISI 1 (05/01/2012)

SIMBOLI DI LANDAU

Definizione 1 (controllato o O)

Osservazione:

Più in generale si usa dire che f(x) è controllata da g(x) per x c ovvero che f(x) è Ogrande di g(x) per x c

se C costante >0: in un intorno di C con al più escluso C

- Esempio:

Definizione 2

In questo caso diciamo che f(x) è dello stesso ordine di grandezza di g(x) per x c e scriviamo:

Si dice che f è equigrande con g per x c

- Esempio:

Definizione 3

Si dice che f(x) è equivalente a g(x) per x c e scriviamo:

- Esempio:

Definizione 4

Si dice che f(x) è trascurabile rispetto a g(x) per x c e scriviamo:

Cioè f è o piccolo di g(x) per x c

- Esempio:

PROPRIETÀ DEI SIMBOLI:

Dimostrazione:

- Esempio:

- Esempio

Dimostrazione:

APPLICAZIONE DI O E o NELLE FORME DI INDECISIONE di tipo

- Esempio

ALGEBRA DEGLI o piccoli: pagina 131 Canuto-Tabacco

Questo vuol dire che c'è una funzione f(x)= o(x ) (x c) e c'è una funzione g(x)=o(x ) (x c) e allora:

f(x)+g(x)= o(x ) (x c)

Dimostrazione:

Teorema (del trascurare il trascurabile)

Se devo calcolare:

- Dimostrazione

- Esempio:

LIMITI FONDAMENTALI IN FORMA NUOVA

- Esempio critico

ANTICIPAZIONI:

ANALISI 1 (06/11/2012)

Osservazioni sull'arcotangente

INFINITESIMI

È un aspetto locale, f è infinitesima per x c

Si dice che f(x) è infinitesima di ordine per x c rispetto all'infinitesimo campione

INFINITI

Si dice che f(x) è infinito per x c di ordine rispetto all'infinito campione

Normalmente:

- Esempio

senx è infinitesima di ordine 1 per x 0 (rispetto al campione x)

(cosx) - 1 è infinitesimo di ordine 2 per x 0 perché

ANALISI I (12/11/2012)

PARTE PRINCIPALE

La parte principale di un infinitesimo o di un infinito, rispetto a un infinitesimo o a un infinito campione è:

Si dice che f è infinitesimo di ordine rispetto all'infinitesimo campione

Si dice che f è infinito di ordine rispetto all'infinito campione

- Esempio

Per x 0, qual è la sua parte principale rispetto a X ?

La parte principale dell'infinitesimo f(x) è 2/x per x +∞ e f(x) è infinitesimo di ordine 1 rispetto all'infinitesimo

campione 1/x per x +∞.

FUNZIONI ASINTOTICHE:

Si dice che f(x) e g(x) sono asintotiche per x se f(x) - g(x)

∞

Osservazione:

È diverso dire f(x) = g(x) + o(g(x)) x c, che significa

- Esempio:

ASINTOTI:

Se f(x) è asintotica a y=mx+q per x +∞ (o a -∞), allora la retta y=mx+q si dice asintoto di f(x) per x cioè:

∞,

- Esempio:

Abbiamo visto gli aspetti LOCALI (limiti e continuità in un punto, coinvolgendo un intorno del punto):

- unicità;

- limitatezza loca;

- confronto;

- limitato per infinitesimo;

- algebra dei limiti e algebra delle funzioni continue;

- limiti fondamentali;

- forme di indecisione:

- limite di funzione composta;

- composto di funzione continua;

- (criterio di non esistenza del limite)

ASPETTI GLOBALI delle funzioni continue:

- Continuità in un intervallo: zeri

Sia f(x) una funzione , si dice che è uno zeri di f se:

- Esempio:

TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI:

f(x) sia una funzione definita e continua in I=[a;b] intervallo chiuso se:

f(a) f(b) < 0, allora esiste almeno zero di f(x) in (a;b)

Se inoltre f è strettamente monotona lo zero è unico in (a;b)

Osservazione:

f(a) f(b) < o

significa che se:

Supponiamo f(a) < 0

Dimostrazione (costruttiva), supponiamo f(a) < 0

1°

2°

3°

n.

QUINDI:

COROLLARIO 1:

Ipotesi:

Tesi: Esiste x (c;d) tale che f(x ) = 0

Dimostrazione:

Per il teorema di permanenza del segno c (c;d) : f(c ) < 0 e d (c ;d) : f(d ) > 0

Si applica il teorema precedente all'intervallo [c ;d ] (c;d)

- Esempio:

COROLLARIO 2:

f(x) e g(x) siano due funzioni continue in I=[a;b], e f(a)<g(a) e f(b)>g(b) .

Allora esiste x (a;b) : f(x ) = g(x )

ANALISI MATEMATICA (14/11/2012)

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

Ipotesi:

y=f(x) continua in [a;b]

Tesi:

f assume tutti i valori tra f(a) e f(b)

Osservazione:

Nell'esempio f(a)<f(b); [f(a);f(b)] < Immagine

Dimostrazione:

Supponiamo f(a)<f(b)

Corollario:

Ipotesi:

L'intervallo I (chiuso o aperto, limitato o non limitato)

Tesi:

L'immagine f(I) di I mediante la funzione è un intervallo di estremi inf f(x) e sup f(x), cioè:

TEOREMA DI WEIERSTRASS:

Se f(x) è continua in [a;b], intervallo chiuso e limitato, allora f(x) assume massimo e minimo in [a;b]

m=min f(x)

M= max f(x)

Osservazione:

TEOREMA I:

Ipotesi:

I intervallo

f continua in I

Tesi:

f è iniettiva f è monotona

Osservazione:

Per le funzioni continue la monotonia serve a mostrare l'iniettività

TEOREMA II:

Ipotesi:

I intervallo

f(x) continua in I, f(I)=J con J