Matematica/analisi

∈ = APPARTENENZA

∉ = NON APPARTENENZA

| = TALE CHE

∃ = ESISTE

∀ = PER OGNI

∃! = ESISTE ALMENO UNO

∄ = NON ESISTE

Ø = INSIEME VUOTO

X = SPAZIO-AMBIENTE

∈ = CONTENUTO O UGUALE

⊂ = INCLUSO

⊃ = COMPRENDE

U = UNIONE

∩ = INTERSEZIONE

V = "O" , "OPPURE"

Λ = "E"

• UN INSIEME LIMITATO, AMMETTE SEMPRE MAX e MIN!
• DOMANDA SULLE PROPRIETÀ ESTREMA PER
• ESERCIZIO SULLA SOTTOTURIA

LOGICA MATEMATICA

PROPOSIZIONI

AFFERMAZIONI CHE DEVONO AVERE PER TUTTI LO STESSO CONTENUTO DI VERITÀ

• es. P: 5 > 3 → proposizione falsa
• es. P: 5 > 3 → proposizione vera

PROPOSIZIONI SEMPLICI

una singola proposizione

• es. P: 5 > 3

PROPOSIZIONI DECIDIBILI

es. P: m è un numero divisibile per 3

PROPOSIZIONI COMPOSTE

più proposizioni collegate dai seguenti connettivi

• es. P: m è un numero divisibile per 3 o per 5

TABELLA DI VERITÀ

• P
• Q
• P ∨ Q
• V V V
• V F V
• F V V
• F F F

1. SOMMA LOGICA → D.D.
2. Dato P e Q decidibili, P ∨ Q è decidibile e si dice somma logica di P e Q.
4. es. P: m è un numero divisibile per 3 o per 5

TABELLA DI VERITÀ

• P
• Q
• P ∧ Q
• V V V
• V F F
• F V F
• F F F

2. PRODOTTO LOGICO → D.D.
3. Dato P e Q decidibili, P ∧ Q è decidibile.
4. es. P: m è un numero intero divisibile per 3 e 5

TABELLA DI VERITÀ

• P
• ¬P
• V F
• F V

3. NEGAZIONE → D.D.
4. Dato P decidibile, ¬P è decidibile.
5. es. ¬P: m non è divisibile per 3

Relazione antisimmetrica

Proprietà riflessiva

Proprietà transitiva

Nella retta tra a e b e lì in b, a deve valere che a, b o b, a

Numeri razionali (ℚ)

q = {m/n ∈ ℤ, n ∈ ℤ, n ≠ 0}

• Proprietà (caratteristica dei numeri razionali)
• Tra due numeri razionali ne esistono infiniti altri

Sono numeri razionali tutti i numeri con la virgola che hanno il numero fisso di cifre e sono numeri come ⅔ che periodico

Operazioni interne

• Somma algebrica
• Prodotto
• Divisione

Teorema (irrazionalità √2) : √2 ∉ ℚ

Dim. per Assurdo (si assume vera ip. e si dimostra che il falso ip. / Ath)

Ip. q ∈ {m/n , m ∈ ℤ, n ∈ ℤ, n ≠ 0}

Th. √2 ∉ ℚ

⇒ √2 = m/n irriducibile

Sono numeri irrazionali tutti numeri che non possono essere posti come razioni e non terminano con una sequenza periodica

Numeri irrazionali (I)

¬ℚ = {r ∉ ℚ} √(2, …) (irrazionale di Nepero)

Numeri reali (ℝ)

Ricomprende tutti i numeri ℝ = ℚ ∪ {irrazionali}

Insiemi limitati

A ⊂ ℚ nome stesso

A ⊂ ℚ è superioramente limitato sse ∃ M ∈ ℚ tale che ∀ x ∈ A x ≤ M

M= maggiorante (colui insieme A fa da diritto e spartiacque 2000 insieme A che definito costantemente non infinito. Se c'è un insieme si può anche fare in un'altra parte del 2008.10.03

A ⊂ ℚ interiormente limitato sse ∃ K ∈ ℚ tale che ∀ x ∈ A K ≤ x

K= minorante

A ⊂ ℚ è limitato sse è superiormente e interiormente limitato

DIMOSTRAZIONE

X = 1 + 2 + 3 + ... + m

X = m + (m-1) + (m-2) + ... + 1

=

2X = (m+1)(m) + (m+1)(m-1) + (m+1)(m-2) + ... + (m+1)

2X = m(m+1)

X = ^m(m+1)⁄₂

DIMOSTRAZIONE

X = 1 + q + q² + ... + q^m-1

qX = q + q² + q³ + ... + q^m

(1-q)X = 1 - q^m

X = ^1-qm⁄_1-q

PROPRIETÀ DELLA SOMMATORIA

a) OMOGENEITÀ

b) ADDITIVITÀ E DISTRIBUTIVA

c) CAMBIO DI VARIABILI PER L'INDICE DI SOMMA (sia h=n+1)

d) SOMMA DI TERMINI COSTANTI

GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI

1) y = k (costante)

• D(x) = {R} R DOMINIO
• NO SURIECTIVA
• NO INIETTIVA

2) y = ax + b (retta)

• D(x) = (-∞;+∞)
• SURIECTIVA
• INIETTIVA
• a > 0 - monotonia crescente
• a < 0 - monotonia decrescente

3) y = ax² + bx + c (parabola)

• a > 0 -
• a < 0 - ∩
• VERIFICA - VERTICE (-b/2a; ∆/4a)
• INTERSEZIONE ASSI
• asse y
• y = ax² + bx + c
• x = 0
• asse x
• y = 0
• NO SURIECTIVA
• NO INIETTIVA

4) y = xⁿ

• n PARI
• R DOMINIO
• SIMMETRICO RISPETTO ASSE y
• D(x) = (0;+∞)
• NO SURIECTIVA
• NO INIETTIVA
• È INVERTIBILE SOLO SE CONSIDERO O SOLO R⁺ O SOLO R^-
• n DISPARI
• SIMMETRICO RISPETTO ORIGINE
• D(x) = (-∞;+∞)
• SURIECTIVA
• INIETTIVA
• È INVERTIBILE

Limite Inferiore di una Successione

\( \lim_{n \to \infty} a_{in} = -\infty \)

\( \forall M < 0 \, \exists m \in \mathbb{N} \, \forall n > m \rightarrow a_{in} < M \)

Successione Indeterminata

Successioni Irregolari

Oscillanti

Non ammettono limite

10-10-17

Esercizio Esame: Verificare usando le def. di limite

Quantità Finita

4) \( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+4} \right)^n = 0 \)

\( \forall \varepsilon \, \exists m \in \mathbb{N} \, \forall n > m \rightarrow \left( \left( \frac{n}{n+4} \right)^n \right) - o < \varepsilon \)

\( \left[ \cdots \right] < \varepsilon = \boxed{1} \)

\( \frac{\varepsilon \cdot (n+4)}{n+4} < 0 \Rightarrow \text{serie} (n+4) > 0 \)

\( D: \, \forall n \in \mathbb{N} \)

\( m_{\varepsilon} = \left\lceil \frac{1 - \varepsilon}{\varepsilon} \right\rceil \)

Quantità Infinita

2) \( \lim_{n \to \infty} e^{n^2} = +\infty \)

\( \forall M > 0 \, \exists m \in \mathbb{N} \, \forall n > m \rightarrow a_{nm} > 2^2 \cdot n^2 > M \)

\( e^{n^2} > M \Rightarrow n^2 - 1 \Rightarrow n < \sqrt{nM+1} \)

\( m_{x} = \left[ \sqrt{nM+1} \right] \)

D: \( m > 0 \)

\( m_{\varepsilon} = \left\lceil \sqrt{M_{\varepsilon}^{1/4} + \frac{2}{\varepsilon}} \right\rceil \)

Per studiare il comportamento di una serie:

RIENTRA NEI CASI PARTICOLARI

SI →

No → criterio _k→+∞ |_k|

e ≠ → la serie è divergente

Σ (1+9)^k

|_k→+∞ | = 1 + e →

Serie non convergente

12-10-17

Funzioni reali a variabili reali

Limiti all'infinito

Sia X estremo illimitato

(se considero X_n omon parte superiore) lim _x→+∞

lim Φ(x) = e → ∀ε>0 ∃I ₀ ∀x⩾x ₀

⇒ |Φ(x) - e| < ε

⇒ Φ(x) → e

lim Φ(x) = -∞ → ∀H>0 ∃I ₀ ∀x⩾x ₀

⇒ Φ(x) < -H

lim Φ(x) = +∞ → ∀H>0 ∃I ₀ ∀x⩾x ₀

⇒ Φ(x) > +H

Se lim_x→+∞Φ(x)=e la retta y=e è asintoto orizzontale

per x → ±∞

Sia X estremo illimitato

lim Φ(x) = e

⇒ ∀ε>0 ∃I ₀ ∀x⩽x ₀

⇒ Φ(x) - e| < ε

lim Φ(x) = -∞ → ∀H>0 ∃I ₀ ∀x⩽x ₀

⇒ Φ(x) < -H

lim Φ(x) = +∞ → ∀H>0 ∃I ₀ ∀x⩽x ₀

⇒ Φ(x) > +H

lim_x→-∞Φ(x)=e la retta y=e è asintoto orizzontale

per x → -∞

Limiti al finito

Sia x₀ punto di accumulazione per X

lim_x→x0^-Φ(x)=e → ∀ε>0 ∃I ₀ ∀x⩾x ₀

⇒ |Φ(x) - e| < ε

lim_x→x0^-Φ(x)= -∞ → ∀H>0 ∃I ₀ ∀x⩾x ₀

⇒ Φ(x) < -H

lim_x→x0^-Φ(x)= +∞ → ∀H>0 ∃I ₀ ∀x⩾x ₀

⇒ Φ(x) > +H

lim_x→x0⁺Φ(x)=e → ∀ε>0 ∃I ₀ ∀x⩽x ₀

⇒ |Φ(x) - e| < ε

lim_x→x0⁺Φ(x)= -∞ → ∀H>0 ∃I ₀ ∀x⩽x ₀

⇒ Φ(x) < -H

lim_x→x0⁺Φ(x)= +∞ → ∀H>0 ∃I ₀ ∀x⩽x ₀

⇒ Φ(x) > +H