Esercizi analisi

Analisi Matematica 1 - 03/02/2010

COGNOME E NOME .......................................................

N. di matricola ............... FIRMA ................

1. Calcolare, se esistente,
   1. \(\lim_{x \to 0}(1 - \sin^2 3x)^{\cot^2 x}\)
   2. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1+\sin x}{2+\cos x}\)
   3. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin x}{2x + \cos x}\)

a\) e⁹ b\) ∄ Lim. c\) \(\frac{1}{2}\)

2. Studiare la convergenza delle seguenti serie
   1. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{\sqrt[4]{n}}\)
   2. Per quali x ∈ \(\mathbb{R}\) converge \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x+1)^n}{n + \ln n}\) ?

a\) Non conv. b\) \(-1 \leq x < 0\)

3. È data la funzione reale di variabile reale f definita da

   \(f(x) = (x \ln x - x)^2\).

   Disegnare il grafico di f, determinando in particolare il dominio D(f) di definizione di f, eventuali simmetrie, i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti, eventuali punti di massimo e/o minimo locale/assoluto, monotonia.

4. Calcolare

• (a) \( \int \frac{4x+5}{2x^2+2x+13} dx \)
• (b) \( \int x \ln x dx \)
• (c) \( \int x \ln (x^2) dx \)

5. Calcolare \( \oint_{\phi} Fd(x, y, z) \) dove \( \phi(t) = (\cos t, 2 \sin t, t) \) per \( 0 \leq t \leq 2\pi \) e \( F(x, y, z) := (z, \ln(y + 3), xy) \).

6.

• (a) Risolvere \( (2 - e^x)y' + e^x \cdot e^{2y} = 0 \).
• (b) Trovare la soluzione con dati iniziali \( y(0) = 0 \).

N.B. Riportare i risultati ottenuti. Gli esercizi i cui risultati non compaiano negli appositi riquadri saranno considerati non risolti. È necessario allegare lo svolgimento.

Studio di f'(x)=2lnx-x (lnx-x)

F₃ F₄

• lnx > 0 ↔ lnx >- ∞ ↔ lnx > lne ↔ x > e

F₂: x > 0 ∀ x ∈ ℝ

• f(x) = g(x) = (lnx-lne)² = 1
• g(min) f(e) = (+ − e) = 0

NR:

Studio f(x) > 0

∀ x ∈ [&Low;] perchéf(x) = (+ −) ²!!