Esercizi analisi

Analisi matematica 1 - 03/02/2010

COGNOME E NOME .......................................................N. di matricola ................... FIRMA ...................

Calcolare, se esistente, i seguenti limiti:

1. _x→0(1 - sin² 3x)cotan²x

2. _x→+∞ ^{1+sin x}/_{2+cos x}

3. _x→+∞ ^{x+sin x}/_{2x+cos x}

Studiare la convergenza delle seguenti serie:

1. Σ_n=1 sin ¹/_√n

2. Per quali x ∈ ℝ converge Σ_n=1 ^(2x+1)n/_{n+ln n}?

È data la funzione reale di variabile reale f definita da:

f(x) = (x ln x - x)²

Disegnare il grafico di f, determinando in particolare il dominio D(f) di definizione di f, eventuali simmetrie, i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti, eventuali punti di massimo e/o minimo locale/assoluto, monotonia.

Analisi Matematica 1 - 03/02/2010

COGNOME E NOME .................................................................N. di matricola ................... FIRMA ...................

Calcolare, se esistente, i seguenti limiti:

1. \(\lim_{x \to 0} (1 - \sin^2 3x) \cot^2 x\)

2. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \sin x}{2 + \cos x}\)

3. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin x}{2x + \cos x}\)

Risultati:

1. a) \(e^{-9}\)

2. b) ∄ lim.

3. c) \(\frac{1}{2}\)

Studiare la convergenza delle seguenti serie:

1. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 1}{\sqrt{n}}\)

2. Per quali \(x \in \mathbb{R}\) converge \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x+1)^n}{n + \ln n}\) ?

Risultati:

1. a) non conv.

2. b) \(-1 \leq x

È data la funzione reale di variabile reale \(f\) definita da:

\(f(x) = (x \ln x - x)^2\).

Disegnare il grafico di \(f\), determinando in particolare il dominio \(D(f)\) di definizione di \(f\), eventuali simmetrie, i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti, eventuali punti di massimo e/o minimo locale/assoluto, monotonia.

Calcolare i seguenti integrali:

1. (a) _∫ ^4x+5/_2x²+2x+13 dx

2. (b) _∫ x ln x dx

3. (c) _∫ x ln(x²) dx

Calcolare la seguente funzione:

_∮φ Fd(x, y, z) dove φ(t) = (cos t, 2 sin t, t) per 0 ≤ t ≤ 2π e F(x, y, z) := (z, ln(y + 3), xy).

Risultato: _∮ Fd(x, y, z) = 2π

Risoluzione di equazioni differenziali:

1. (a) Risolvere (2 − eˣ)y′ + eˣ · 2y = 0.

2. (b) Trovare la soluzione con dati iniziali y(0) = 0.

Risultati:

y(x) = - ^{ln(-2ln(2-eˣ))}/₂

C = - ¹/₂

Nota bene: È necessario riportare i risultati ottenuti. Gli esercizi i cui risultati non compaiano negli appositi riquadri saranno considerati non risolti. È necessario allegare lo svolgimento.

Analisi II

Calcolare se esiste:

1. a) _x→0 lim (1 - sin²3x)^cosm2x(<- e^-3)

2. b) _x→0 lim (1 + sen x) / (2 + cos x)

Dati:

• X_n = π/2 + n2π
• Y_m = 2nπ

F(x_n) = (1 + sen(x_n)) / (2 + cos(x_n)) = (1 + 1) / (2 + 0) → 1 (n → ∞)

F(y_m) = (1 + sen(y_m)) / (2 + cos(y_m)) = (1 + 0) / (2 + 1) → 1/3 (m → ∞)

Poiché due sottosuccessioni non tendono allo stesso valore allora si deduce che il limite di partenza non esiste.

3) _x→±∞ lim (x + sen x) / (2x + cos x) = (x + sen x) / x / (2x + cos x) / x = 1 + sen x/x / 2 + cos x/x = 1/2

Poiché cos x/x → 0 perché è il prodotto di una serie, succ... Limitata (come sen e cos) è un infinitesimo, tende a zero.

Lim x → ± ∞

Studio di convergenza serie:

1. a) Σ_n=1^+∞ (sen 1/n) ⁿ / n²

Per prima cosa verifico la successione(am) sen(1/y_m / n) → 0

Sen(1/n) → 0 (n → ∞)

Sen(1/n) → 1

Con criterio del confronto mediante limiti:

Dalla serie &Sum; _m=1 ^∞ se Σ si sa che non converge.

Perciò: se Σ = Σ ^a_m / Σ ^b_m, allora, Σ b_m → 1 (m→+∞).

Poiché Σ è limitato si può affermare che anche la serie Σ _m=1 ^∞ a_m non converge.

&Sum;_m=1 ^∞ (2x+1) / (m+lnm) &Sum; _m=1 ^∞ 1 / (m+lnm) ( ∞ m)

Quindi: x₀ = -1/2 e a_m = 2^m / (m+2lnm).

Studio di a_m:

Σ x₀ - r, x₀ + rx ∈ ]-1, 0]

Leibniz:

1. Σ a_m ≤ 1 relativo a -1^{m−1}a_m ≤ 1 / (mlnm) → 0?
2. ∇x₀ ↑1 / (m+lnm) → 0

D (m ln m) = _m/^m + 11/_m + 1 > 0 - 1 > -1

La serie conv. per x = -1

X = 0 ∑_m=2^∞ ₁/^m(n+ln n)

a_m = ₁/^m

b_m = ₁/^{1+ln m/m}

lim = ₁/^{1+ln m/m}

a_{n 1}/^m

b_{m 1}/^m

Dunque poiché la serie ∑_n=2^∞ a_m non conv. allora anche ∑ a_m non conv.

Si può concludere che la serie ∑_m=1^∞ _(2x+1)^m/^{m+ln m} conv.as. per -1≤x<0

f(x) = (x ln x - x)²

1. U.: x>0
2. Int. ass. : 0 - (ln x - x)² ⇔ x ln x - x ⇔ ln x = 1 ⇒ x = e (e;0)
3. (x ln x - x)' = - (ln x)' + x ⇔ x ln x - x

lim_{x→0⁺ ln}/^x (ln x - x)² ⇔ x ln x - ln x・x - 2 ln x・x² + x²

lim_{x→0⁺ ln}/^x + _{2 ln x²}/^x + lim_{x→0⁺ ln}/^x

lim_{x→0⁺ 2 ln x}/^x ⇒ lim_{x→0⁺ 2}/^x

lim_{x→0⁺ 2 ln x}/^x2 + lim_{x→0⁺ 2}/^x - 1/_x³= - 2/^x

lim_{x→0⁺ ln x}/^x2 = 0

lim_{x→0⁺ ln}/^x _x² = 0 ⇒[0·-∞]

lim_x→0⁺ (ln x)²

lim_x→0⁺ √((^x2/(ln x - 2))

f'(x) = D[f(x)] = 2 (x ln x - x), (ln x + 1) -1= 2 (x ln x - x)(ln x) = 2 ln x・x (ln x - 1)

Studio di: f'(x) = 2 ln x + (ln x - x)

F₁: ln x - x > 0 ⇔ ln x > x ⇔ ln x > ln e ⇔ x > e.

F₂: x > 0 ∀ x ∈ ℝ.

F₃: 2 ln x > 0 ⇔ ln x > 0 ⇔ ln x ≤ ln e ⇔ x > 1.

g(MAX) = g(x) = (ln x - x)² = 1

g(MIN) = f(x) = (e - ln e - e)

NB: f(x) > 0 ∀ x ∈ ℝ

g(x) = (… )²

Integrali:

1. ∫ (4x + 5) / (2x² + 2x + 13) dx = ∫ [(4x + 2) / (2x² + 2x + 3) + 3 / (2x² + 2x + 13)] dx =+ ∫ 3 / (2x² + 2x + 13) dx + ln |2x² + 2x + 13| + c= … ∫ 1 / (x + 3/2) dx - 3/2 ∫ 1 / (x + 1/2)² + 25/4) dx =- 3/2 ∫ 1 / (x + 1/2)² + … ∫ (52/2)dx = - 3/2 … arctg x + 1/2 / 2/5 = 3 arctg (2x + 4)/ 5

2. ∫ x ln x dx = ∫ _g(x)^f(x) ln x dx == ^x2⁄₂ ln x - ∫ ^x2⁄₂ 1⁄x dx = ^x2⁄₂ ln x - ¹⁄₂ ∫ x dx = ^x2⁄₂ ln x - ¹⁄₂ ^x2⁄₂ + c = ^x2⁄₂ ln(x) - ^x2⁄₄ + c = ^x2⁄₂ [ln(x) - ¹⁄₂] + c

3. ∫ x ln(x²) dx = ∫ x · 2 ln(x) dx = 2 [∫ x ln(x) dx] = x²[ln(x) - ¹⁄₂] + c

Calcolare:

∫ Fd(x, y, z)^⃗ · cos^⃗ φ(t) = ( ^{cos t}⁄_{2 sen t}e t ^t) F( x, y, z ) := [^z⁄_xy ln (y_t + 3)] _{t ∈ [0, 2π]}

∫ Fd(x, y, z)^⃗ = ∫ _x(t) F_x(t) dx_x + ∫ _y(t) F_y(t) dy_y + ∫ _z(t) F_z(t) dz_z

F_x(t) = z(t) = t

F_y(t) = ln (y_t + 3) = ln (2 sen t + 3)

F_z(t) = x(t), y(t) = 2sen t · cos t

x'(t) = -sen t

y'(t) = 2 cos t

z'(t) = 1

Dunque ∫ Fd(x, y, z)^⃗ = ∫ [ - t sen t + 2 cos t · ln(2 sen t + 3) ] dz_t == ∫ t sen t dt + 2 ∫ cos t · ln(2 sen t + 3) dt + ∫ sen (2t) dt = I II III

I: = ∫ t · sen t = - t · (-cos t) + ∫ (-cos t) · 1 dt = [- tcos t - sen t ]^2π₀ = [- tcos t - sen t ]^2π₀ [^{cos t - sen t}] =0 - 2π

II: 2 ∫ cos t · ln(2 sen t + 3) dt = 2 ∫ sen t · ln(2 sen t + 3) ] [ sen t ]^2π₀

III: ∫ sen t "(sen t ) dt IV: u: 2 ⁄ 2 dt = 2u [ln t²t + 3] = ln |2 sen t +3| ln |2 sen t +3|

Log l: 2 sen t ln(2 sen t + 3) − 2ln |2 sen t + 3|| | sen - 1| ]^2π₀