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Notazioni del Linguaggio Logico e degli Insiemi
- Insiemi: lettere maiuscole A, B, C
- Elementi: lettere minuscole x, y, z
Come Definire un Insieme
- Elenco suoi elementi es. A = { 1, 2, 3, u }
- Specifico una proprietà dell'insieme es. A = { m ∈ ℕ : m è pari }
- A = { x : P(x) }
Simboli della Logica
- : tale che
- = uguale
- ≠ diverso
- → implicazione, allora
- ↔ doppia implicazione, se e solo se
- ∃ esiste
- ∀ per ogni
- ∄ non esiste
- ∈ appartiene
- ∉ non appartiene
- ∧, e congiunzione logica "e"
- ∨, o congiunzione logica "o"
Relazioni tra gli Insiemi (con linguaggio logico)
- Ω insieme universo
- ∅ insieme vuoto
- ⊆ relazione di inclusione
A ⊆ B A è un sottoinsieme di B
x ∈ A ⇒ x ∈ B
RELAZIONE DI EGUAGLIANZA A = B x ∈ A ⟺ x ∈ B
RELAZIONE DI INCLUSIONE STRETTA: A ⊂ B
x ∈ A ⇒ x ∈ B e ∃x ∈ B t. c. x ∉ A
o A = {1, 2} B = {1, 2, 3} A ⊂ B A = SOTTOINSIEME STRETTO DI B
* UN ELEMENTO NON PUÒ ESSERE SOTTOINSIEME
INSIEMI NUMERICI
- N (Numeri Naturali) : { 1, 2, 3, … }
- Z (Numeri Interi) : { … -1, 0, 1, … }
- Q (Numeri Razionali) : { m/n t. c. n ∈ ℤ e m ∈ ℕ }
- C (Numeri Complessi) : { x + iy, x, y ∈ ℝ } i = UNITÀ IMMAGINARIA
- R: Numeri Reali : { INSIEME DEI NUMERI CHE POSSONO ESSERE ORDINATI SU UNA RETTA }
NUMERI NATURALI
N = {1, 2, 3, …}
- 0 ∉ N
- Se m ∈ N → m + 1 ∈ N
Principio di induzione:
Dato P(m) una proprietà che dipende da m ∈ N
Se dimostriamo che P(1) è vera (o supponiamo)
E verificato anche per P(m+1), per P(m) vera
=> P(n) vera ∀m ∈ N
Esempio Formula di Gauss
1 + 2 + … + m = m(m+1)/2 ∀m ∈ N
- Verifico P(1) → 1 = 1∗(1+1)/2 vera
- Suppongo sia vera P(m) deve essere P(m+1)
- Sommo m+1 e ottengo i membri:
1 + 2 + … + m + (m+1) = m(m+1)/2 + (m+1)
1 + 2 + … + m + (m+1) = (m(m+1) + 2(m+1))/2
1 + 2 + … + m + (m+1) = (m+1)(m+2)/2
=> P(m) vera ∀m ∈ N
Disuguaglianza di Bernoulli
(1+x)n ≥ 1 + nx ∀ x,x0 ∈ R, x0 ≥ 0 ∀n ∈ N
1 + x ≠ 1 + x
(1+x)m(1 + x) = > (1 + mx)(1 + x) Sfruttando il teorema
(1 – x)m+2 = (1 . m+1)(1 + x)
(1 . x/1 . mx m. x/2)
n x = 1 x m+1 . m+1 + x
Ho trovato che (1 + x) → mx . 2 x(m+1) + 1
Osserva che mx + 2 x(m+1) + 1 > (m+1) x + 1
=> (1 + x)m+2 < (1 + nx) P(m) vale ∀x ∈ R
Funz. Trigonometriche
Alcune definizioni
- x = lunghezza di un arco su base unitaria
- x = lunghezza dell'arco su circonferenza unitaria
- Cosx = ascissa di P su circonferenza unitario descritta dall'angolo x
- Sinx = ordinata di P
P: (Cosx, Sinx)
Funz. Seno
f(x): Sin x
- È una funz. dispari
- f(x) = -f(-x)
- 2π periodica
- Simx = Sin (x-2xπ)
- dom: R
- f-1: [-1, 1] → [-π/2, π/2]
Funz. Arc Sin
Proprietà
- Arc Sin (Sin x) = x, ∀ x ∈ [-π/2, π/2]
- Sin (Arc Sin x) = x, ∀ x ∈ [-1, 1]
Funz. Coseno
f(x): Cos x
- pari
- f(x) = f(-x)
- 2π periodica
Funz. Arc Cos
Proprietà
- Cos (Arc Cos x) = x, ∀ x ∈ [-1, 1]
- Arc Cos (Cos x) = x, ∀ x ∈ [0, π]
Risoluzione di un' eq in C
zm = z ⋅ eiφ
1) Ricordo che z = ρ ⋅ eiθ
2) z = ρ ⋅ eiθ+n⋅2π
3) Elevarla a m: (zm = ρm ⋅ ei(mθ+n⋅2π)
4) zm = ρ ⋅ φ
5) Zk k = 0,1,2,...,m-1 = ρ1/m ⋅ e(i(φ+2kπ)/m)
Esempio:
z3 = 1
Il primo (1 a) in mod polare m nulla r = 1 φ = eiφ
Da qui:
Zk = ei(0+2kπ)/3
Z0 = e0 = 1
Zk = 1 ⋅ e2kπi/4
Eseguire una sintesi delle varie opere
...
Z1 = 1 ⋅ eiπ/4
Z2 = -1 ⋅ e-3iπ/4
...
am < bam < Am < ba < Am < A (m + 1) (1 + 1/m) ∀m∈ℕ
am < Am bm < b1
an = anm ∈ (1 + 1/nm) < (1 + 1/m)n+1
anm∈ (1 - 1/m)n+1 <a
(1 - 1/n)m ≤ L
an = e ∈ Ia L
Regularità Delle Successioni Monotone
dim.
Th (an)e funziona → ane continua
- sica an e sup lim 1 sup { an, n ∈ℕ, an<M ∀n∈ℕ
- ∀ε>0 ∃m∈ℕ M ∈ [ amε | am |
- n (m+1) am < Lε, ∀m̅∈m̅ε .0
- ∀n∈Rε + ε∈ℕ
- ∀m -- m̃ am̅ → an → ∞
- 2 ( n )
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