Analisi matematica

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Author: francesco.farolfi

Revisionato il 01/06/2026

di francesco.farolfi

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Appunti del corso di Analisi A dettagliati e completi, con questi appunti ho passato analisi A con 30, quindi sono più che sufficienti per preparare al meglio l'esame. adatti per …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria ii

Dal corso del Prof. Montanari Annamaria

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2020-2021

80 pagine

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NOTAZIONI DEL LINGUAGGIO LOGICO E DEGLI INSIEMI

17/09/2018

INSIEMI: LETTERE MAIUSCOLE _{A, B, C}
ELEMENTI: LETTERE MINUSCOLE _{x, y, z}

COME DEFINIRE UN INSIEME:

ELENCO SOTTOELEMENTI es. A = {1, 2, 3, u}
SPECIFICO UNA PROPRIETÀ DEGL'INSIEMEes. A = {m ∈ ℕ: m è pari}A = {x | P(x)}

SIMBOLI DELLA LOGICA

: TALE CHE
=> IMPLICA/IMPLICAZIONE, ALLORA
DOPPIA IMPLICAZIONE, SE E SOLO SE
∃ ESISTE
∀ PER OGNI
∄ NON ESISTE
∈ APPARTIENE
∉ NON APPARTIENE
= UGUALE
≠ DIVERSO
∧, e CONGIUNZIONE LOGICA "E"
∨, o CONGIUNZIONE LOGICA "O"

RELAZIONI TRA GLI INSIEMI (CON LINGUAGGIO LOGICO)

Ω INSIEME UNIVERSO
∅ INSIEME VUOTO
⊆ RELAZIONE DI INCLUSIONE

A ⊆ B A è un sottoinsieme di B

x ∈ A ⇒ x ∈ B

Notazioni del Linguaggio Logico e degli Insiemi

17/09/2018

Insiemi: Lettere Maiuscole A, B, C
Elementi: Lettere minuscole x, y, z

Come definire un insieme:

Elenco Subelementi es. A = {1, 2, 3, u}
Specifico una proprietà dell'insieme

es. A = {m ∈ N : m è pari}

A = {x | P(x)}

Simboli della Logica

: Tale che
⇒ Implicazione, allora
⇔ Doppia Implicazione, se e solo se
∃ Esiste
∀ Per ogni
∄ Non esiste
∈ Appartiene
∉ Non appartiene
= Uguale
≠ Diverso
∧, e Congiunzione logica "e"
∨, o Congiunzione logica "o"

Relazioni tra Gli Insiemi (con linguaggio logico)

Ω Insieme universo
∅ Insieme Vuoto
⊆ Relazione di inclusione: A ⊆ B A è un sottoinsieme di B

x ∈ A ⇒ x ∈ B

– Relazione di uguaglianza A = B x ∈ A ⇔ x ∈ B

⊂ Relazione di inclusione stretta: A ⊂ B

x ∈ A → x ∈ B e ∃ x ∈ B t.c. x ∉ A

E.g. A = {1, 2} B = {1, 2, 3} A ⊂ B A è sottoinsieme stretto di B

* Un elemento non può essere sottoinsieme

INSIEMI NUMERICI

ℕ (Numeri naturali) = {1, 2, 3, 4, ...}
ℤ (Numeri interi) = {..., -1, 0, 1, ...}
ℚ (Numeri razionali) = ^m/_m t.c. m ∈ ℤ e m ∈ ℕ
ℂ (Numeri complessi) = {x + iy ; x, y ∈ ℝ} i = unità immaginaria
ℝ: Numeri reali = {insieme dei numeri che possono essere ordinati su una retta}

OPERAZIONI SUGLI INSIEMI

INTERSEZIONE A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B }

UNIONE A ∪ B = { x | x ∈ A o x ∈ B }

DIFFERENZA A / B = { x | x ∈ A e x ∉ B }

COMPLEMENTARE A^c = { x | x ∉ A } ; ⊆ / A

LEGGE DI DE MORGAN

(A^c ∩ B^c) = (A ∪ B)^c
A^c ∪ B^c = (A ∩ B)^c
(A^c)^c = A
R^c = ∅
∅^c = ℝ
A ⊆ B -> B^c ⊆ A^c

* LA RELAZIONE 5 INDICA IL PASSAGGIO A COMPLEMENTARE

NUMERI REALI

ℝ INSIEME DEI NUMERI TAL CHE IN ESSO SIANO DEFINITI:

SOMMA +
PRODOTTO ⋅
RELAZIONE D'ORDINE ≤

PROPRIETÀ:

COMMUTATIVA a ⋅ b = b ⋅ a
ASSOCIATIVA a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
∀x ∈ ℝ ∃0 ∈ ℝ / a + 0 = 0
∀x ∈ ℝ ∃-a ∈ ℝ / a - a = 0

COMM a ⋅ b = b ⋅ a
ASS. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
∀x ∈ ℝ 0 ∈ ℝ, a ⋅ 0 = 0
∀x ∈ ℝ ∃(a^-1) ∈ ℝ / a ⋅ a^-1 = 1, a ≠ 0

9. a · (b + c) = ab + ac DISTRIBUTIVA

∀ a, b ϵ ℚ a ≤ b ⇔ a ≤ b o b≤ a
ANTISIMMETRIA se a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b
a ≤ b ⇒ ∀ c ϵ ℝ a + c ≤ b + c
se a ≥ 0 e b ≥ 0 ⇒ a · b ≥ 0 e a · b ≥ 0

ASSIOMA DI COMPLETEZZA

Siano A, B ⊆ ℝ, A, B ≠ Ø e A, B insiemi separati t.c. a ≤ b ∀ a ϵ A e ∀ b ϵ B ⇒ ∃ c ϵ ℝ a ≤ c ≤ b c = ELEMENTO SEPARATORE

MAGGIORANTE

A ⊆ ℝ A ≠ Ø

L ϵ ℝ e L MAGGIORANTE di A ⇔ a≤ L ∀ a ϵ A

MINORANTE

A ⊆ ℝ A ≠ Ø

L ϵ ℝ e L MINORANTE di A ⇔ b≥ a ∀ a ϵ A

MASSIMO (max A)

A ⊆ ℝ A ≠ Ø

M ϵ A e MASSI

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