Analisi matematica I - Appunti

Proprietà dell'integrale

∫_a^b f(x)dx = - ∫_b^a f(x)dx

∫_a^a f(x)dx = 0

∫_a^b f(x)dx + ∫_b^{c f(x)dx = ∫_ac f(x)dx con c ∈ [a, b]}

∫_a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫_a^{b f(x) dx + ∫_ab g(x) dx}

∫_a^b c f(x) dx = c ∫_a^{b f(x) dx}

Teorema sulle funzioni integrabili e non negative

Sia f: [a, b] → ℝ una funzione integrabile e non negativa, allora l'integrale è non negativo. Cioè:

f(x) ∈ ℝ (a, b) e f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] ⟹ ∫_a^b f(x) dx ≥ 0

Teorema del confronto per gli integrali

Siano f: [a, b] → ℝ e g: [a, b] → ℝ due funzioni integrabili nell'intervallo [a, b]. Se f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ [a, b] allora:

∫_a^{b f(x) dx ≤ ∫_ab g(x) dx}

Primitiva di una funzione

Sia f: [a, b] → ℝ una funzione continua nel suo dominio. Una funzione F(x) derivabile nell'intervallo [a, b] è una primitiva di f(x) se:

F'(x) = f(x) ∀ x ∈ [a, b]

la derivata della primitiva deve coincidere con f(x)

Se una funzione f ammette primitive, allora ne ha INFINITE!

* Sommando una costante a una primitiva, si ha ancora una primitiva. Infatti:

Sia f(x) una funzione, F(x) una sua primitiva.

Allora anche G(x) = F(x) + c è una ulteriore primitiva.

Avendo il grafico di una primitiva, il grafico delle altre si ottiene per TRASLAZIONE VERTICALE

Integrale Indefinito

Sia una funzione continua in un intervallo [a,b]. Si definisce integrale indefinito di f su [a,b] l'insieme di tutte le primitive della funzione f in [a,b] e si indica.

∫f(x)dx = ∫F'(x)dx = F(x)+c dove F(x) è una primitiva di f(x).

Proprietà Fondamentali dell'Integrale Indefinito

∫f(x) dx = F(x) + c

d/dx (∫F(x)dx) = f(x)

∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

∫αf(x)dx = α∫f(x)dx ∀ α∈R

Calcolare su Integrali Definiti

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Formula di Integrazione per Parti

∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx + c

• Quando usare questa formula.
• l'integranda è un prodotto di due funzioni
• È possibile integrare per parti più di una volta.
• Moltiplica la funzione integranda per 1,1 sarà la derivata di x.
• Nei casi in cui l'integranda è il prodotto tra due funzioni di derivate cicliche, l'integrazione per parti non consuma mai ed un integrale calcolabile direttamente. Si può, a questo punto, trattare l'integrale come un'equazione.

Es.

I = ∫0^e3xe^3x-cos(x)dx = ∫e^3xdx - ∫cos(x) dx = e^3x / 3 - sin(x) + c

2I = e^3x / 3x - cos(x) + c

I = 1/2 (e^3x/3x - cos(x)) + c

∫0^e3x e^3x / 3x - 1/2 e^3u (1/3x - cos(x)) + c

Integrali Definiti Per Sostituzione

∫_a^b f(g(t))g'(t)dt = ∫_g(a)^g(b) f(x) dx (1)

∫_a^b f(x)dx = ∫_g(a)^g(b) f(g(x))g'(x)dx (2)

Es.

∫₁^e ln(x) / x dx t = ln(x) dt = 1/x dx

t(1) = ln(1) = 0 t(e) = ln(e) = 1

∫₀¹ t dt = [ t²/2 ]₀¹ = 1/2

Es.

∫₀¹ e^x / (e^x + 1) dx t = e^x x = ln(t) con t > 0 dx = 1/t dt

ln(t) = 0 = ∴ t = 1 e ln(t) = 1 = ∴ t = e

∫₁^e e ^ln(t) / e ^ln(t) + 1) * 1/t dt = ∫₁^e t / 1 + t * 1/t dt = ε^e₁ 1/1 + t dt

=[ ln |1+t| ]₁^e - ln(1+e) - ln(2)

Integrali Di Funzioni Trigonometriche

Es.

∫ f( cos(cx); cos(cx), (tg(x))dx t = tg x/2 x ∈ (-π,π)

x/2 = arcgt(t) ∼ x = 2arcg(t)

dx = 2 / (1 + t²) dt

∗ ∫ f( 2t / (1 + t²), 1 - t² / 1 + t², 2t / 1 - t²) 2 / 1 + t² dt

* sen(cx) = 2t / 1 + t²

* cos(cx) = 1 - t² / 1 + t²

* tg(cx) = 2t / 1 - t²

CRITERI DI CONVERGENZA PER INTEGRALI IMPROPRI DI 2^a SPECIE

CRITERIO DEL CONFRONTO

Siano f,g : [a,b)→ℜ, tali che ∀x∈[a,b) si ha che 0≤f(x)≤g(x). Vale allora che:

• se ∫_a^bg(x)dx è convergente allora ∫_a^bf(x)dx converge.
• se ∫_a^bf(x)dx è divergente allora ∫_a^bg(x) diverge.

Le stesse implicazioni valgono anche se le funzioni f,g sono definite solo nell’intervallo (a,b). Il teorema continua a valere anche se la funzione f non è negativa nell’intervallo di integrazione.

CRITERIO DI CONVERGENZA ASSOLUTA

Se f: [a,b)→ℜ è una funzione tale che risulta integrabile in ogni intervallo [a,c], ∀ a< c < b, allora vale:

• |∫_a^bf(x)dx| ≤ ∫_a^b|f(x)|dx
• Se ∫_a^b|f(x)|dx converge allora ∫_a^bf(x)dx converge

CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

Siano f,g : [a,b)→ℜ, tali che ∀x∈[a,b) e f(x)≥0 e g(x) >0, valgono:

• se lim_x→bf(x)/g(x)=L ∈ [0, +∞) allora la convergenza dell’integrale ∫_a^bg(x)dx implica la convergenza di ∫_a^bf(x)dx.
• se lim_x→bf(x)/g(x)=L >0 allora la divergenza di ∫_a^bg(x)dx implica la divergenza di ∫_a^bf(x)dx.