Analisi matematica I - Appunti

Proprietà dell'integrale

∫_a^b f(x)dx = -∫_b^a f(x)dx∫_a^a f(x)dx = 0∫_a^b f(x)dx = ∫_a^c f(x)dx + ∫_c^b f(x)dx con c ∈ [a, b]∫_a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫_a^b f(x)dx + ∫_a^b g(x)dx∫_b^a C(f(x)) dx = C ∫_a^b f(x)dx

Teorema sulle funzioni integrabili e non negative

Sia f:[a, b]→R una funzione integrabile e non negativa, allora l'integrale è non negativo. Cioè:f(x) ∈ R(a, b) ∧ f(x) > 0 ∀x ∈ [a, b] ⇒ ∫_a^b f(x)dx ≥ 0

Teorema del confronto per gli integrali

Siano f:[a, b]→R e g:[a, b]→R due funzioni integrabili nello stesso [a, b]. Se f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b] allora:∫_a^b f(x)dx ≤ ∫_a^b g(x)dx

Primitiva di una funzione

Sia f:[a, b]→R una funzione continua nel suo dominio. Una funzione F(x) derivabile nell'intervallo [a, b] è una primitiva di f(x) se:F'(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b]la derivata della primitiva deve coincidere con f(x).Se una funzione f ammette primitiva, allora ne ha INFINITE!

• Somma una costante a una primitiva, si ha ancora una primitiva. Infatti:Sia f(x) una funzione, F(x) una sua primitiva. Allora anche G(x) = F(x) + C è una ulteriore primitiva.Avendo il grafico di una primitiva, il grafico delle altre si ottiene per TRASLAZIONE VERTICALE.

Proprietà dell'integrale

∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx∫_a^a f(x) dx = 0∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx con c ∈ [a,b]∫_a^b [F(x) + g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx∫_d^b C f(x) dx = C ∫_a^b f(x) dx

- Teorema sulle funzioni integrabili e non negative

Sia f:[a,b]→R una funzione integrabile e non negativa, allora l'integrale è non negativo. Cioè:f(x) ∈ R_≥0 e f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a,b] ⇒ ∫_a^b f(x) dx ≥ 0

- Teorema del confronto per gli integrali

Siano f:[a,b]→R e g:[a,b]→R due funzioni integrabili nell'intervallo [a,b]. Se f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ [a,b] allora:∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx

Primitiva di una funzione

Sia f:[a,b]→R una funzione continua nel suo dominio. Una funzione F(x) derivabile nell'intervallo [a,b] è una primitiva di f(x) se:F'(x) = f(x) ∀ x ∈ [a,b]la derivata della primitiva deve coincidere con f(x).- Se una funzione f ammette primitiva, allora ne ha INFINITE!

• * Sommando una costante a una primitiva, si ha ancora una primitiva. Infatti:

Sia f(x) una funzione, F(x) una sua primitiva.Allora anche G(x) = F(x) + C è una ulteriore primitiva.Avendo il grafico di una primitiva, il grafico delle altre si ottiene per traslazione verticale.

L’insieme di tutte le primitive di una funzione continua viene detto INTEGRALE INDEFINITO.

Sia f una funzione continua in un intervallo [a,b].Si definisce integrale indefinito di f su [a,b] l’insieme di tutte le primitive della funzione f in [a,b] e si indica:

∫f(x)dx ⟶ F(x)+c, dove F(x) è una primitiva di f(x).

PROPRIETÀ FONDAMENTALI DELL'INTEGRALE INDEFINITO

∫f’(x)dx = f(x) + c

d/dx (∫f(x)dx) = f(x)

∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

∫αf(x)dx = α∫f(x)dx ∀ α∈ℝ

CALCOLARE GLI INTEGRALI DEFINITI

∫_a^b f(x) = F(b) - F(a)

FORMULA DI INTEGRAZIONE PER PARTI

∫f(x)g’(x)dx = f(x)g(x) - ∫f’(x)g(x)dx + c

• Quando usare questa formula
• - l’integranda è un prodotto di due funzioni
• - È possibile integrare per parti più di una volta.
• - Moltiplica la funzione integranda per 1, 1 sarà la derivata di x.
• - Nei casi in cui l’integranda è il prodotto tra due funzioni di derivate cicliche, l’integrazione per parti non consuma mai un integrale calcolabile direttamente. Si può, a questo punto, trattare l’uguaglianza come un’equazione.

Esempio: I = ∫e^lcos(x)dx, F=2e^lcos(x) I+∫.calziano:

2I = ∫e^xcalz. l’integrazione⟨per parti⟩due volte

I= ¹/₂ e2calz - ¹/_2e

Formule di riduzione per gli integrali

• Formula di riduzione potenza-esponenziale.

  ∀ m > 1, ∫ x^m e^x dx = x^m e^x - m ∫ x^m-1 e^x dx