Analisi Matematica

Teorema

Il modulo soddisfa la "disuguaglianza triangolare" (cioè  ∀ z¹³ ∈ ¹ : |z+u| ≤ |z|+|u|).

Dim.Siano z, u ∈ ¹ : |z+u|² = (z+u) · (ζ+η) = (z+u) · (&overline;z+&overline;u)

• = zζ+zη+uζ+uη= |z|² + &overline;z · u + z · &overline;u + |u|²
• = |z|² + &overline;z · u + z · &overline;u + |u|²
• = |z|² + 2 Re(&overline;z · u) + |u|²
• ≤ |z|² + 2 |&overline;z| · |u| + |u|²
• = (|z| + |u|)²

Dunque |z+u|² ≤ (|z| + |u|)² → |z+u| ≤ |z| + |u||z+u|³ ≥ 0 |z| + |u| ≥ 0

Procediamo ora con la descrizione di un modo alternativo a quello algebrico per rappresentare un numero complesso. A tal proposito sarà utile fare alcuni richiami di trigonometria.

Teorema

Il modulo soddisfa la "disuguaglianza triangolare"

(cioè ∀ ž, ᴧ ∈ 𝔄 : |ž + ᴧ| ≤ |ž| + |ᴧ| ).

Dim.

Dato ž, ᴧ ∈ 𝔄 : |ž + ᴧ|² = (ž + ᴧ) (𝔌 ž + 𝔌 ᴧ) = (ž + ᴧ) (𝔌 ž + 𝔌 ᴧ)

= ž 𝔌 ž + ž 𝔌 ᴧ + ᴧ 𝔌 ž + ᴧ 𝔌 ᴧ

= |ž|² + 𝔌 ᴧ 𝔌 ž + ᴧ 𝔌 ž + |ᴧ|²

= |ž|² + 𝔌 ž 𝇋 ᴧ + ᴧ 𝔌 ž + |ᴧ|²

= |ž|² + 2 Re (ž 𝔌 ᴧ) + |ᴧ|²

≤ |ž|² + 2 |ž| |ᴧ| + |ᴧ|²

|ž|² + 2 |ž| |ᴧ| + |ᴧ|² = (|ž| + |ᴧ|)²

Dunque |ž + ᴧ|² ≤ (|ž| + |ᴧ|)² => |ž + ᴧ| ≤ |ž| + |ᴧ|

𝜇 + ᴧ > 0

|ž| + |ᴧ| > 0

Procediamo ora con la descrizione di un modo alternativo a quello algebrico per rappresentare un numero complesso. A tal proposito sarà utile fare alcuni richiami di trigonometria.

Definizione

Si dice "circonferenza goniometrica" la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine del sistema cartesiano.

Ogni punto sulla circonferenza goniometrica può essere associato alla lunghezza dell'arco congiungente A con il punto.

• La lunghezza di AP varia da 0 a quella dell'intera circonferenza, cioè 2π.
• Ad ogni angolo del tipo AÔP, con P sulla circonferenza goniometrica, assoceremo la lunghezza dell'arco AP.
• Se AP misura 2π allora diremo che "l'angolo AÔP vale 2 radianti".
• Ad ogni quantità l che sia compresa fra 0 e 2π posso associare un punto P sulla circonferenza goniometrica percorrendola, a partire da A, in senso antiorario per una lunghezza pari ad l.

Il punto P individuato è lo stesso se si inizia a percorrere la circonferenza percorrendola in senso orario o in senso antiorario per una lunghezza pari a 2π.

Con la convenzione che i percorsi fatti in senso antiorario corrispondono ad un aumento di radianti e che i percorsi fatti in senso orario corrispondono a sottrarre radianti, si osserva che gli angoli che valgono x, x+2π, x+4π, ..., x-2π, x-4π, ... individuano tutti lo stesso punto P sulla circonferenza.

• Definizione

Sia x∈ℝ tale che 0≤x<2π e sia P il punto di coordinate (x₁, x₂) sulla circonferenza goniometrica individuato dall’arco AP di lunghezza x. Allora definiamo “coseno di x” e “seno di x” le due coordinate di P:

cos x = x₁ (si legge “coseno di x è uguale ad x₁”) sen x = x₂ ( “seno di x” “ x₂”)

Poiché il punto P è individuato anche da archi ottenuti aggiungendo o sottraendo multipli di 2π ad x, possiamo per definizione

cos (x+2π) = cos x = cos (x-2π) = x₁ sen (x+2π) = sen x = sen (x-2π) = x₂

o meglio, più in generale,

cos(x + 2kπ) = cos x = cos(x - 2kπ) = x₂sen(x + 2kπ) = sen x = sen(x - 2kπ) = x₂

∀ k ∈ ℤ. Più sintomaticamente cos(x + 2kπ) = cos x ∀ k ∈ ℤsen(x + 2kπ) = sen x

• Vedi­­amo quanto valgano sen e cos in relazione ad alcuni archi notev­­oli

"Graficamente dato un angolo x ab le vietale che 0 ≤ x ≤ 2π, il senno ed il coseno sono descritti dallo seguente dìsegno

Dunque P(cos x, sen x). Ovviamente si evince chese P ∗ A, allora l'arco AP misura 0 e P(1,0)Dunque se x = 0, cos 0 = 1 e sen 0 = 0

Se P è tale che ∗ = π/2, allora P(0,1) quindicos π/2 = 0 e sen π/2 = 1. Allo stesso modo si deducela seguente tabella

Osservazione

Si vede facilmente che ogni numero reale x può essere scritto come somma di un numero δ tale che 0≤δ<2π più quantità del tipo 2kπ con k∈Z.

Cioè: ∀x∈R ∃!δ∈R, 0≤δ<2π ∧ ∃!k∈Z t. c. x=δ+2kπ.

In questo modo possiamo estendere la definizione di cos x e sen x ad ogni x∈R.

Si avrà, detti δ t. c. 0≤δ<2π e k∈Z per cui x=δ+2kπ,

che sen x = sen(δ+2kπ) = sen δ

cos x = cos(δ+2kπ) = cos δ

Calcoliamo sen x e cos x per x=π/4 e x=π/6

AP̂ = π/4 e perciò

PB̂ = π/4

Dunque AÔP = BÔP ossia OP̂ è sulla

bisettrice dell'angolo AÔB.

Ne deduciamo che il rettangolo PHOK è in realtà un quadrato e, perciò, sen π/4 = OK = OH = cos π/4

Inoltre, dal teorema di Pitagora, OK² + OH² = OP² = 1.

Perciò, siccome OH = OK, 2 OH² = 1 => OH = 1/√2 =>

cos π/4 = OH = 1/√2 e sen π/4 = cos π/4 = 1/√2 = √2/2

AP̂ = ⅓π => POÂ = ⅓π

PH = sin ⅓π OH = cos ⅓π

Riproducendo il segmento OP per simmetria rispetto all’asse delle ascisse nel IV quadrante, otteniamo questa costruzione

OP = 1 = OQ

PÔQ = 2 POÂ = ⅔π

Siccome la somma degli angoli interni del triangolo OTQ = sempre π, considerando che OPÂ = OAP perché il triangolo è isoscele si ha che OPÂ+OÂP+POÂ = π =>

2OPA = π-⅔π = ⅔π => OPÂ =⅓= OAP ,

Quindi il triangolo è equilatero. In particolare, PA=1 e PH = ½PA = ½ ossia sin π/6 = ½ .

OH² = OP² - PH² = 1-¼ = ¾ => cos π/6 = OH = √3/2 .

Teorema (Relazione fondamentale della trigonometria)

Per ogni x ∈ ℝ: sen²x + cos²x = 1

Dim.

Sia x ∈ ℝ e P il punto corrispondente individuato sulla circonferenza goniometrica. Proiettando il punto P sull'asse delle x si ottiene H, sulle asse delle y si ottiene K. Per definizione si ha che OH = cosx e OK = senx. Ovviamente OK = PH = senx, quindi, siccome per il teorema di Pitagora applicato a ^△_PHO si ha che PH² + OH² = OP² ed OP² = 1, si conclude che sen²x + cos²x = 1.

Proprietà di sen e cos

1. ∀ (x,y) ∈ ℝ²: cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y sen(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

2. ∀ x ∈ ℝ: cos(-x) = cos x sen(-x) = -sen x

3. ∀ x ∈ ℝ: cos( ^π/₂ - x) = sen x sen( ^π/₂ - x) = cos x

   Infatti cos( ^π/₂ - x) = cos ^π/₂ cos(-x) - sin ^π/₂ sin(-x) = 0 - cos(x) - 1 · (-sin(x)) = sin x

   Analogamente l'altra.

4. ∀ x ∈ ℝ cos(π - x) = -cos x sen(π - x) = sin x

   Si deducono di nuovo da 1 e 2 (Provare per esercizio).

5.

∀ x ∈ ℝ: Γ si dicono formule di duplicazione

cos(2x) = cos²x - sen²x

sen(2x) = 2 sen x cos x.

Infatti:

cos(2x) = cos(x + x) = cos x cos x - sen x sen x

= cos²x - sen²x,

Analoga- mente si prova l'altra formula.

Si osservi inoltre che, siccome sen²x + cos²x = 1, allora cos(2x) = cos²x - sen²x

= 2 cos²x - 1.

Ma anche cos(2x) = cos²x - sen²x

=1 - 2 sen²x.

Esempi

1. sen (π/12) = sen (π/4 + π/3) = sen π / 4 cos π / 3 - cos π / 4 sen π / 3

= √2 / 2 - √2 √3 / 2 = √2 - √6 / 4

2. cos (5/6 π) = cos(π - π/6) = cos π cos (-π/6)

+ sen (π) sen (-π/6) = -1 cos π/6 + 0 sin(-π/6)

= - cos π/6 = - √3 / 2

Definizione

Sia x ∈ [-π/2, π/2] ∪ [π/2, 3π/2] e: 0 ≤ x < 2π e x ≠ π/2, 3π/2. Considerato il punto P sulla circonferenza, individuato dall'arco di lunghezza x, chiamiamo "tangente di x" e la indichiamo con "tg x", la misura del segmento PA sulla retta orientata centrata in A (1,0) e tangente alla circonferenza goniometrica, come nel seguente disegno.

tg x = PA

Intendiamo la misura positiva se P si trova sopra A, negativa se si trova sotto A.

Osservazioni

• Dal disegno si comprende perché non è ben definita la tangente né per x = π/2, né per x = 3π/2.
• Si nota che, per la similitudine dei triangoli PÂH e AÔH, si ha che PA : AÔ = AH : HO. D'altra parte PA = tgx, AÔ = 1, AH = senx e HO = cosx. Dunque, dalla relazione precedente, si ha tgx = ^senx/_cosx.

Poiché cosx = 0 in ^π/₂ e ^3π/₂, anche ora questo argomento si comprende perché non è ben definita la tangente in ^π/₂ ed in ^3π/₂ (non si può dividere per zero!)

• Dalla precedente osservazione si deduce che è lecito dare la seguente
• DefinizionePer ogni x ∈ R\{^π/₂ + kπ, k∈Z}, poniamotg x = ^senx/_cosx
• Introduciamo ora quella che prende il nome di "rappresentazione cironometrica di un numero complesso".Consideriamo z ∈ C. Allora sappiamo che ciascuno z ha una rappresentazione attraverso R², cioè per ogni z ∈ esiste un'unica coppia (x,y) ∈ R² ad esso associato e la rappresentazione di z è algebricamente dato da x + iy.Fissato il punto P (x,y) sul piano, consideriamo sulla circonferenza cironometrica il punto Q ottenuto intersecando la retta OP con la circonferenza

P(x,y) ≡ z = x + iy

I triangoli ^{^}PKO e ^{^}AHO sono simili, quindi

PK : PO = AH : AO.

Sappiamo che PK = y, PO = |z|, AH = senδ e

AO = 1, quindi y : |z| = senδ : 1.

Dunque y = |z|senδ e, analogamente, siccome

KO : PO = HO : AO, deduciamo x = |z|cosδ

Perciò

z = x + iy = |z|cosδ + i|z| senδ = |z| (cosδ + isenδ).

Quest'ultima prende il nome di

trigonometrica del numero complesso z.

• Come sappiamo, |z| = √(x² + y²), inoltre se x > 0, si
• ha che ^y⁄_x = tgδ. δ dice di "argomento principale".
• Utilizzando la scrittura e^iθ al posto di cosθ + isinθ
• si ha che la forma trigonometrica di z è data
• anche attraverso la scrittura z = |z| e^iθ. Si usa la
• scrittura Argz per descrivere l'argomento principale, cioè θ = Argz.

Si osservi che, comunque, |z| = √{(Re z)²+(Im z)²}, mentre SV

se |2z ≠ 0, allora tgΘ = Im z / Re z . In particolare le

precedente formula vale ∀ z ≠ 0, |z₁|² z, 0 ≤ Θ < 2π.

Osserviamo che se z è puramente immaginario,

ossia Re z = 0, allora Θ = s₀ |w, z. Se invece z < R,

cioè Im z = 0, allora Θ = 0. Oppure Θ = π.

Osserviamo che, siccome V k ∈ Z : sen (Θ + 2kπ) = sen Θ e

cos(Θ+2{k}) = cos Θ, ossia per definizione

e^{{i(Θ + 2kπ)}}

= cos(Θ + 2{k}) + i sin(Θ + 2kπ)=

= cos Θ + i sen Θ.

Sempre dalla definizione si deduce che

|e^iΘ| = [cosΘ + i sen Θ] = √cos²Θ + sin²Θ = √1 = 1

Si osservi che, comunque, V |z| ≥ 0 e ∀ Θ ∈ R, 0 ≤ Θ < 2π,

la scrittura z = e^iΘ

complesso z tale che |z|> 0 e Arg z = Θ. Inoltre,

della {x + iy la rappresentazione algebrica di z), si

ha che x = cosΘ e y = senΘ.

-- Proprietà

Siano s₂ > 0 e siano ó < R, 0 ≤ σ> < 2π.

Allora, detto z = s₂ e^iΘ e U = 2 e^i´

1. z·w = ρ₁ρ₂ e^i(α+β) e Arg(z·w)

2. ρ₂ ≠ 0, ¹/_z = ¹/_ρ₁ e^i(−θ) Arg(¹/_z) = α−θ

3. z̅ = ρ₂ e^−i(θ)

4. z·w = ρ₁ e^iα · ρ₂ e^iβ = s₁(e)

= ρ₁ρ₂ [cos δ cos t − sin α sin δ] + i (sin α cos δ + cos α sin d)]

= ρ₂ ρ₂ (cos (α + θ) + i sin (α + θ)) = ρ₁ρ e^i(α+β)

2. ¹/₂ = ¹/_{ρ e^iθ} = ¹/_{ρ₂ (cos θ+ i sin θ)}= ¹/s

= ^{cos θ+i sin θ}/_s₁ = ^{cos(−θ) + i sin(−θ)}/_s₁= e^i(−θ)/_s₂

3. z̅ = ρ₂ e^iθ= s₁ (cos θ+i sin θ) = s̅₁ (cos θ+i sin θ)=

= s₂ (cos θ− i sin θ) = ρ₂ (cos(θ)+i sin(−θ))

= ρ s₂ e^−i(θ)

Esercizi

Trasformare le seguenti forme algebriche in forme

1) i z e^iπ/₂ Infatti Re z 0. ι z 1, dunque |1|= 1 e Arg i = π₂ visto che cos i^π/₂ = 0 e sin π² = 1

|z|= √2² (−i √3²)² = √³/₂ +³/₄ =1

2) z= ⁻/ √₃/2 i.

Inoltre Arg z=0 e fig π = ^{Im z}/_{Re z}−^√₃/₂ 1

Perlanto _{θ = 2/3 π} V θ = 5/3 π.

Siccome cos θ = 1/2 V sen θ = -√3/2, θ = 5/3 π.

1. z = -5. Allora |z| = |-5| = 5 e tg θ = 0/5 = 0 e quindi θ = 0 oppure θ = π. Si ha exp θ = 1 perché -5 = 5 e^iπ visto che cos π = -1 e sin π = 0.
2. -i = 0 + i (-1) Re z = cos θ Im z = sin θ dunque cos θ = 0 e sin θ = -1, cioè Arg z = 3/2 π. |z| = |-i|=|i|=1, dunque -i = e^{3/2 π i}. Potevamo calcolarlo anche cosi: -i = (1)i = e^{-π i}, e^{3/2 i} = e^{(π + π/2)i} = e^{3/2 π i}.

Definizione

Se z є C e d є N, n ≥ 2, si dice che w є C è una radice n-esima di z se wⁿ = z.

Proposizione

Sia z = s e^iϑ un numero complesso, si ha che

W ∈ C è radice n-esima di z ⇔ ∃k = 0, 1, 2, ..., n - 1 t.c.W = ⁿ√s e^{i(_ϑ/_n + 2kπ/_n)}

dove ⁿ√s è quell'unico numero reale non negativo n tale che ηⁿ = s.

DIM.

Sia W = ⁿ√s e^{i(_ϑm/_n + 2kπ/_n)} con k = 0 ⋁ k = v - ⋁ k = n - 1.

Allora w^m = [ⁿ√s e^{i(_ϑm/_n + 2kπ/_m)}]^m =

= (^m√s)^m (e^{i(_ϑm/_n + 2kπ/_n)})^m

= s e^{i n(_ϑm/_n + 2kπ/_n)}

= s e^{i(_{θ + 2kπ})} = se^iθ = z.

=⟹ Supponiamo w = ηⁿ e^id ∈ C sia radice n-esima di z. Allora

W^m = z ⇔ (ηⁿ e^id)^m e^iθ = ηⁿ e^ind = se^iθ.

Dunque ηⁿ = s ⇒ η = ⁿ√s

e^ind = e^iθ ⇔ cos nd + i sin nd = cos θ + i sin θ

⇔ cos nd = cos θ ⇔ nd = θ + 2hπnd = nd = 0 e nd = 0

e però d = _θ/_n + _k/_n (2π). Osserviamo che, il variare