Analisi matematica 2 - Appunti

Estremi relativi di funzioni su spazi metrici

Estremi liberi

Definizione 1.1: Sia X uno spazio normato e sia A ⊂ X e sia f : A. Diciamo che x ∈ A è un punto di minimo relativo per f se esiste δ > 0 tale che ∀x ∈ A, f(x) ≤ f(x) ∩ B(x, δ).

Similmente si dà la definizione di massimo relativo. Una prima condizione necessaria è la seguente:

Teorema 1.1 (Fermat)

Sia Ω ⊂ X un aperto di X, f : Ω e sia x un punto di estremo relativo per f e sia u ∈ X. Se f è derivabile nella direzione di u allora ∂f(x) = 0.

Dim. Basta osservare che ∂f(x) è la derivata della funzione ϕ(t) = f(x + tu) in t = 0 e ϕ(t) ha estremo relativo per t = 0.

Esempio 1.1

Consideriamo la funzione f : ℝ² → ℝ definita dalla legge f(x, y) = x² + y². Si verifica direttamente che (0, 0) è punto di minimo relativo (anzi assoluto). Di conseguenza, f(0, 0) = 0.

Esempio 1.2

Consideriamo la funzione f : ℝ² → ℝ definita dalla legge f(x, y) = x² - y². Si verifica direttamente che (0, 0) non è punto di estremo relativo. Tuttavia, f(0, 0) = 0.

Teorema 1.2

Sia A una matrice simmetrica: A = A. Si ha che: λ_min ≤ (Ax, x) ≤ Λ_max ∀x ∈ ℝⁿ \ {0}, dove λ_min e Λ_max sono rispettivamente il minimo ed il massimo degli autovalori di A.

Dim. Consideriamo la funzione F : ℝ⁺ → ℝⁿ definita dalla legge F(x) = kxk². Notiamo che F è omogenea di grado zero quindi F(∂B(0)) = F(ℝⁿ). Poiché ∂B(0) è compatto in ℝ e secondo il teorema di Weierstrass esistono due punti x₀, x₁ ∈ ∂B(0) tali che F(x₀) = F(x) = F(x₁) ∀x ∈ ∂B(0) e, grazie all’omogeneità, F(x₀) = F(x) = F(x₁) = 0.

Siccome x₀, x₁ sono interni al campo di esistenza di F ne segue ∇F(x₀) = ∇F(x₁) = 0. Tenendo presente che ∇(Ax, x) = 2Ax e che ∇(kxk) = x/kxk, si ha:

∇F(x) = 2Ax - (Ax, x)x/kxk² = 0

che è nullo se e solo se Ax = F(x)x, ovvero se x₀, x₁ sono autovettori della matrice A ed F(x₀), F(x₁) rispettivi autovalori. Da tutto questo si ottiene:

F(x₀)kxk² ≤ (Ax, x) ≤ F(x₁)kxk² ∀x

ovvero F(x₀) ed F(x₁) sono rispettivamente il massimo ed il minimo degli autovalori di A.

Se A è una matrice simmetrica, la forma quadratica indotta q(x) = (Ax, x) è una funzione omogenea di grado 2. Dal teorema precedente si ha che q assume solo valori positivi se λ > 0, assume solo valori negativi se Λ < 0 mentre assume qualsiasi valore reale se λ < 0, Λ > 0. Diremo perciò la forma quadratica definita positiva, definita negativa oppure non definita rispettivamente nei tre casi.

Teorema 1.3

Sia f : Ω ⊂ X un aperto di X e sia x un punto di estremo relativo per f in Ω. Se u = 0, u ∈ X e f è due volte differenziabile, allora la forma quadratica f''(x)(u, u) è semidefinita. Precisamente, se x è punto di minimo la forma è semidefinita positiva mentre se x è punto di massimo la forma è semidefinita negativa.

Dim. Basta osservare che, se x è punto di minimo relativo per f, allora la funzione ϕ(t) = f(x + tu) ha, nell’origine, un punto di minimo relativo. Similmente si procede per il massimo.

Teorema 1.4

Sia f : Ω ⊂ X due volte differenziabile in Ω aperto. Supponiamo inoltre che la forma quadratica f''(x₀)(u, u) sia semidefinita positiva in Ω e che, in un punto x ∈ Ω, risulti f(x₀) = 0. Allora x è un punto di minimo relativo per f in Ω.

Dim. Poiché x è interno all’insieme Ω, è possibile trovare δ > 0 in modo che B(x₀, δ) ⊆ Ω. Preso un punto x ∈ B(x₀, δ), applichiamo la formula di Taylor al secondo ordine con il resto nella forma di Lagrange. Allora esiste ξ appartenente al segmento di estremi x₀, x tale che:

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + f''(ξ)(x - x₀)(x - x₀)/2

e, ricordando che f(x₀) = 0, e che la forma è semidefinita positiva, f''(ξ)(x - x₀)(x - x₀) ≥ 0 ∀x ∈ B(x₀, δ), da cui la tesi.

Teorema 1.5

Sia f : Ω ⊂ X di classe C in Ω aperto. Supponiamo inoltre che la forma quadratica f''(x₀)(u)(u) sia definita positiva e che, f(x₀) = 0. Allora x è un punto di minimo relativo per f in Ω.

Dim. Procediamo in maniera simile al teorema precedente usando la formula di Taylor con il resto nella forma di Peano. Allora:

f(x) - f(x₀) = f''(x₀)(x - x₀)(x - x₀)/2 + o(kx - x₀k²)

in un opportuno intorno di x₀, da cui la tesi.

In modo del tutto simile si dimostra che...

Teorema 1.6

Sia f : Ω ⊂ X di classe C in Ω aperto. Supponiamo inoltre che la forma quadratica f''(x₀)(u)(u) sia definita negativa e che, f(x₀) = 0. Allora x è un punto di massimo relativo per f in Ω.

Esempio 1.3

Sia f : ℝ² → ℝ definita dalla legge f(x, y) = x² + y². Il gradiente si annulla soltanto nell’origine ed inoltre risulta Hf(x, y) = [2, 0; 0, 2] > 0 perché gli autovalori sono tutti positivi.

Esempio 1.4

Sia f : ℝ² → ℝ definita dalla legge f(x, y) = x² - y². Il gradiente si annulla soltanto nell’origine ed inoltre risulta Hf(x, y) = [2, 0; 0, -2] e la forma è indefinita perché gli autovalori sono di segno opposto.

Esempio 1.5

Sia f : ℝ² → ℝ definita dalla legge f(x, y) = x³ - y². Il gradiente si annulla soltanto nell’origine ed inoltre risulta Hf(x, y) = [6x, 0; 0, -2]. La matrice Hessiana, in un intorno dell’origine, è indefinita. Inoltre, la matrice Hessiana nell’origine è semidefinita negativa e quindi, i teoremi sin qui provati non ci dicono nulla. Tuttavia, per via elementare, si riconosce che la funzione non ha segno costante in alcun intorno dell’origine.

Esempio 1.6

Sia f : ℝ⁴ → ℝ definita dalla legge f(x, y, z, t) = x² + y²z + t. La funzione non ha estremi relativi perché il gradiente non si annulla in alcun punto.

Esempio 1.7

Sia f : ℝ³ → ℝ definita dalla legge f(x, y, z) = xy² - z³. Il gradiente si annulla solo nell’origine e applicando alla matrice l’algoritmo di Gauss-Lagrange si vede che la segnatura della forma quadratica è + - -. Infatti, Hf(0, 0, 0) = [0, 1, 0; 1, 0, 0; 0, 0, -2]. Quindi l’origine non è estremo relativo.

Esempio 1.8

Studiare gli estremi relativi ed assoluti della funzione f : ℝ³ → ℝ definita ponendo f(x, y, z) = x³ + xy² - yz² + e^{-(x2 + xy - z)}.

La funzione assegnata è composta da g : ℝ³ → ℝ definita da g(x, y, z) = x³ + xy² - yz² e dalla funzione ϕ : ℝ → ℝ definita da ϕ(t) = t + e^-t. Incominciamo cercando gli estremi relativi ed assoluti della funzione g. La funzione è regolare e quindi gli estremi relativi vanno cercati tra i punti stazionari. Si ha: ∇g(x, y, z) = (3x² + y², 2xy, -2yz) = 0, quindi g non ha estremi relativi.

Cerchiamo adesso gli estremi assoluti. Poiché lim_x→+∞ g(x, 0, 0) = +∞, lim_z→+∞ g(0, 0, z) = -∞, e la funzione g è continua si ha: g(ℝ) = ℝ. Adesso studiamo la funzione ϕ in ℝ. La funzione ϕ ammette minimo relativo ed assoluto per t = 0 e ϕ(0) = 1. Inoltre, lim_t→+∞ ϕ(t) = +∞, quindi sup f(x, y, z) = +∞, inf f(x, y, z) = min f(x, y, z) = 1, ed il minimo viene assunto sui punti della superficie x² + xy - z = 0.

Esempio 1.9

Studiare gli estremi relativi ed assoluti della funzione f : ℝ² → ℝ definita ponendo f(x, y) = x²y²e^{-(2x2 + 3y2)}. La funzione è continua e non negativa in ℝ². Inoltre si ha: f(0, 0) = 0 e quindi min f(x, y) = 0. Inoltre, lim_(x,y)→∞ f(x, y) = 0. Infatti, f(x, y) = (2x²y²)e^{-(2x2 + 3y2)} → 0.

Sia adesso P un punto di ℝ² non appartenente agli assi coordinati. Usando la definizione di limite si ha che 0 < f(x, y) < f(P) fuori di un opportuno cerchio. Poiché il cerchio è compatto la funzione ammette massimo nel cerchio e tale massimo non è assunto sulla frontiera perché il valore sulla frontiera del cerchio è la metà di f(P). Annulliamo quindi il gradiente per determinare il punto di massimo. Si ha:

∇f = 2xy(1 - 2x)e^{-(2x2 + 3y2)}, -2yx(1 - 3y)e^{-(2x2 + 3y2)}.

L’unico punto stazionario, a meno di simmetrie, è P = (1/√2, 1/√3), e, in virtù del ragionamento precedente, risulta punto di massimo.

Esempio 1.10

Studiare gli estremi relativi ed assoluti della funzione f : ℝ³ → ℝ definita ponendo f(x, y, z) = x²y³ + xyz. Annullando il gradiente si trova che i soli punti stazionari sono i punti (0, 0, z). Notiamo che f(0, 0, z) = 0. Inoltre, f(x, 0, z) = x² e quindi i punti trovati sono tutti punti di sella.

Esempio 1.11

Studiare gli estremi relativi ed assoluti della funzione f : ℝ²\{(0, 0)} → ℝ definita ponendo f(x, y) = x²y² + xy + y². La funzione risulta composta da g : ℝ²\{(0, 0)} → ℝ definita da g(x, y) = x² + xy + y² e da ϕ(t) = 1/√3t. Si vede facilmente che il gradiente di g è sempre diverso da zero. Inoltre, la funzione g converge a zero al tendere di (x, y) all’origine e quindi inf g = 0. Infine, sup g = +∞ e quindi usando il fatto che ϕ(t) è monotona in ]0, +∞[ si trova inf f(x, y) = 0 e sup f(x, y) = +∞.

Osservazione 1.1

Sia f : Ω ⊂ X e sia ϕ : T → X continua in T. Se x = ϕ(t₀) è un punto di estremo relativo per f allora t₀ è estremo relativo per f ϋ.

Esempio 1.12

Studiamo gli estremi relativi della funzione f : ℝ² → ℝ definita dalla legge f(x, y) = -sen(x² - y²) + cos(x² + y²). Posto u = x² - y² e v = x² + y², si ha: ∂(u, v)/∂(x, y) = 8xy e quindi si ha invertibilità locale fuori dagli assi coordinati. Studiare la funzione F(u, v) = f(ϕ(u, v)) = sen u + cos v è molto semplice. I punti stazionari sono P_h,k = (π/2 + kπ, hπ) ∀k ∈ ℤ, ∀h ∈ ℕ e si vede con chiarezza che, nel caso h, k entrambi pari il punto P_h,k è di massimo relativo, nel caso di h, k entrambi dispari il punto P_h,k è di minimo relativo mentre negli altri casi il punto è di sella. Invertendo si trova Q_h,k = (π/2 - (hπ + kπ)/2, hπ - kπ)/2 ∀k ∈ ℤ, ∀h ∈ ℕ. Rimangono da studiare i punti degli assi coordinati che si studiano facilmente.

Esempio 1.13

Studiare gli estremi relativi della funzione f(x, y) = (x² - y²)e^{-(x2 + y2)}. Ragionando come nell’esempio precedente si trova F(u, v) = ue^-v che non ammette estremi relativi. Rimangono da studiare i punti degli assi coordinati che si studiano facilmente.

Esempio 1.14

Studiare gli estremi relativi ed assoluti della funzione f : ℝ² → ℝ definita ponendo f(x, y) = arcsen |x⁴ - x²y + y⁴ - 1|. La funzione è composta attraverso la funzione g : ℝ² → ℝ definita dalla legge g(x, y) = x⁴ - x²y + y⁴ - 1 e la funzione ϕ : ℝ → ℝ definita dalla legge ϕ(t) = arcsen |t|/(2t + 1). Studiamo la funzione g(x, y). Annullando il gradiente si trova che i punti stazionari sono i punti degli assi coordinati ed il punto P = (√2, -2). Poiché la funzione è nulla sugli assi coordinati si ricava che tali punti sono di sella per g. Studiando la forma Hessiana nel punto P si trova infine che anche il punto P è di sella per g. È facile infine trovare delle restrizioni di g dalle quali vedere che la funzione non è limitata. Da tutto questo segue che g(ℝ²) = ℝ.

Studiamo adesso la funzione ϕ(t). La funzione presenta minimo assoluto in t = 0 dove vale 0, massimo assoluto in t = 1 dove vale π/6 e non ha altri punti di estremo relativo. Da questo segue che max f(x, y) = ϕ(1) = π/6 e che min f(x, y) = ϕ(0) = 0.

Varietà differenziabili

Definizione 2.1

Un insieme M ⊆ ℝⁿ si dice varietà (differenziabile) p-dimensionale di classe C^k se per ogni x ∈ M esiste un aperto U contenente x ed una funzione f : U → ℝ^n-p di classe C^k(U) tale che {x ∈ U : f(x) = 0} = M e inoltre rango(f(x)) = n - p.

Esempio 2.1

La circonferenza di ℝ² centrata nell’origine avente raggio unitario è una varietà di dimensione 1. Infatti, poniamo M = {(x, y) ∈ ℝ² : x² + y² = 1}. In questo caso U = ℝ² mentre f : ℝ² → ℝ è la funzione f(x, y) = x² + y² - 1. Inoltre ∇f(x, y) = (2x, 2y) ≠ (0, 0) in M e quindi M risulta una varietà di dimensione 1 e di classe C in ℝ².

Definizione 2.2

Sia h ∈ ℝⁿ. Diciamo che h è tangente alla varietà M nel punto x ∈ M se esiste una funzione ψ : ]t₀ - δ, t₀ + δ[ → M tale che ψ(t₀) = x₀, ψ'(t₀) = h.

Esempio 2.2

Sia M la circonferenza dell’esempio precedente. Consideriamo la funzione ψ : ]t₀ - δ, t₀ + δ[ → M definita dalla legge ψ(t) = (cos t, sen t). Si ha: ψ'(t₀) = (-sen t₀, cos t₀).

Definizione 2.3

Sia M una varietà p-dimensionale di classe C^k in ℝⁿ e sia x ∈ M. L’insieme M_x dei vettori tangenti alla varietà M nel punto x si dice spazio tangente alla varietà M nel punto x. Per ragioni di comodità aggiungiamo a tale insieme il vettore nullo continuando a chiamare spazio tangente il nuovo insieme.

Teorema 2.1

Sia M una varietà p-dimensionale di classe C^k in ℝⁿ e sia x ∈ M. Lo spazio tangente alla varietà M nel punto x è uno spazio vettoriale di dimensione p e, se f = 0 è un’equazione locale della varietà M in un intorno si x risulta M_x = ker ∇f(x).

Esempio 2.3

Consideriamo M = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : x² + y² = 1}. È facile riconoscere che M è una varietà 2-dimensionale di classe C^∞ in ℝ³. Precisamente si tratta di un cilindro nello spazio ordinario. Per il teorema precedente sappiamo che lo spazio tangente ad M in un suo punto P = (x₀, y₀, z₀) è uno spazio vettoriale di dimensione 2. Si tratta quindi di un piano. Per determinare l’equazione del piano - usando il teorema precedente - bisogna determinare kerf(P). Poiché f(x, y, z) = x² + y² - 1 allora f(P) = (2x₀, 2y₀, 0) e quindi l’equazione di M è:

f_P(P - P₀) = ∇f(P) · (P - P₀) = 0

ovvero x₀(x - x₀) + y₀(y - y₀) = 0.

In generale se M = {(x, x_n) ∈ ℝⁿ : x_n = f(x_n)} allora, posto F(x, x_n) = x_n - f(x_n), si ha:

M_x = {h ∈ ℝⁿ : h ⊥ ∇f(x) ∪ {1}} = ker ∂f/∂x_j = h (x_n)

Teorema 2.2

Sia M una varietà p-dimensionale di classe C^k in ℝⁿ e sia x ∈ M. Sia f = 0 un’equazione locale di M in x. Allora:

M_x^⊥ = L(∇f(x₁), ..., ∇f(x_n-p))

Nel caso in cui sia nota una parametrizzazione ϕ di M, se ϕ(t₀) = x, allora:

M_x^⊥ = {h ∈ ℝⁿ : <&#part;ϕ(t₀), h> = 0, j = 1, ..., p}

Esempio 2.4

Consideriamo una funzione f : ℝ³ → ℝ di classe C¹ sull’aperto D. Poniamo M = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : (x, y) ∈ D, z = f(x, y)}. M è una varietà bidimensionale in ℝ³. Infatti, una sua equazione locale è F(x, y, z) = z - f(x, y) = 0. Dato P = (x₀, y₀, z₀) ∈ M, lo spazio tangente alla varietà M nel punto P è il piano la cui giacitura è ortogonale a (∇f(x₀, y₀), -1).