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Appunti di Analisi Matematica II
Sia Teorema 1.2 m R RX n m∈ ×f (x) = a χ (x) S ( )j A cjj=1R nessendo A intervalli limitati di . Alloraj R Rm n· ∈ ∀x ∈1) f (x, ) S ( ) ;c R Rn nR≡ ∈ ∀x ∈2) ϕ(x) f (x, y)dy S ( ) ;R cm RR f (x, y)dxdy.ϕ(x)dx =3) R RR n mn ×Dim. Identica alla precedente. R Rn∈ ∈(della linearità) Siano f, g S ( ) e λ, µ . Allora:Teorema 1.3 cZ Z Z(λf (x) + µg(x)) dx = λ f (x)dx + µ g(x)dx.R R Rn n nDim. Proviamo la formula per n = 2. Sfruttando la formula di riduzione otteniamoZ Z Z(λf (x, y) + µg(x, y)) dxdy = (λf (x, y) + µg(x, y))dx dyR R R2 Z Z Z= λ f (x, y)dx + µ g(x, y)dx dyR R R Z Z Z Z= λ f (x, y)dx dy + µ g(x, y)dx dyR R R RZ Z= λ f (x, y)dxdy + µ g(x, y)dxdy.R R2 2R+ n R∈
≥ ≥Sia f S ( ), cioè f 0. Allora f (x) dx 0.
Teorema 1.4 Rc nR0 n∈Dim. Per un x fissato risultam mX X0 0 0 0⇒ ≤f (x ) = a χ (x ) 0 f (x ) = a χ (x ) = aj A j A jj jj=1 j=10in quanto, fissato un x , esso apparterrà ad uno degli intervalli A , per il quale la funzione carat-jteristica non si annulla, mentre il suo contributo per gli altri intervalli è nullo. Nella somma deiprecedenti termini, quindi, l’unico non nullo è quello in cui la funzione caratteristica viene calcolata0nell’intervallo contenente l’x considerato; questo implica che gli a sono positivi, ejmZ ZX ≥ ⇒ ≥f (x)dx = a λ (A ) 0 f (x)dx 0j n jR Rn nj=1 3G.Di FazioR R Rn n∈ ∈ ≤ ∀x ∈(Isotonia) Siano f, g S ( ) e λ, µ . Supponiamo f (x) g(x) . Allora:Teorema 1.5 cZ Z≤f (x) dx g(x) dx.R Rn nR n∈Per ogni funzione f S ( ), si ha:Teorema 1.6 c ZZ |f |≤ dx.f dx RR nnR Rn n∈ |f | ∈Dim. Se f S ( ), allora
Anche S ( ); inoltre, vale la disuguaglianzac c R n−|f ≤ ≤ |f ∀x ∈(x)| f (x) (x)|integrando la quale si ottiene:Z Z Z Z Z−|f ≤ ≤ |f ⇒ ≤ |f |(x)| dx f (x) dx (x)| dx f dx dxR R R Rn n n n nRR Rn⊂ →Dato un insieme X , ed una funzione f : X positiva, si chiama
Definizione 1.6 R×trapezoide di f l’insieme Trap f di X : R{ ∈ × ≤ ≤ }Trap f = (x, y) X : 0 y f (x)R Rn n⊆Un insieme P si dice pluriintervallo se, detti E intervalli di , nonDefinizione 1.7 jnecessariamente limitati, risulta: k[P = Ejj=1R Rn nP è pluriintervallo di se e solo se la funzione caratteristica di P , χ sta in S( )Teorema 1.7 PDim. Ovvia. R nDato P pluriintervallo di , si poneDefinizione 1.8 Zλ (P ) = χ (x) dxn PR n4Appunti di Analisi Matematica IIR+ n∈ ≥Sia f S ( ), cioè f 0; alloraTeorema 1.8 c Zλ (Trap f ) = f (x)dxn+1 R nDim. Dalla definizione di f m RX n∀x ∈f (x) = a χ (x),j Ejj=1da cui,
integrando si ottiene: m mZ ZX X ×f (x)dx = a λ (E ) = a λ ([0, a ] E ) = λ (Trap f ) = f (x)dxj n j j n+1 j j n+1R Rn nj=1 j=1 R n∈ ≥(Disuguaglianza di Tschebicev) - Sia f S ( ), α 0. Allora:
Teorema 1.9 c Z1R n |f∈ |f ≥ ≤ (x)| dxλ ({ x : (x)| α})n Rα nDim. 0m mZ X X|f |a |λ ≥ |a |λ(x)| dx = (A ) (A )j n j j n jR n j=1 j=10mP |a |λdove il simbolo rappresenta la somma di tutti i (A ) tali che a > α. Quindi,j n j jj=1 0 0mm mZ XX X |a |λ ≥|f |a |λ ≥ (A ) α λ (A )(x)| dx = (A ) j n j n jj n jR n j=1 j=1 j=1da cui ZR n∈ |f ≥ ≤ |fαλ ({ x : (x)| α}) (x)| dx.n R nLa disuguaglianza fornisce una stima della misura dell’insieme di ”sopralivello” di una funzione.R Rn →Data una funzione f : , si poneDefinizione 1.9 R Rn n{ ∈ ≤ ∀x ∈ }S f = u S ( ) : u f∗ cl’insieme delle u a
scalino a supporto compatto che sono minoranti di f ; si vede subito che S f∗R nnon è vuoto se e solo se f è limitata inferiormente, e positiva al di fuori di un compatto di ;analogamente R R∗ n n{ ∈ ≥ ∀x ∈ }S f = v S ( ) : v fc 5G.Di Fazioindica l’insieme delle funzioni a scalino, a supporto compatto, che maggiorano f ; tale insieme nonR nè vuoto se e solo se f è limitata superiormente, ed è negativa fuori di un compatto di . Ne viene∗che S f , S f sono entrambi non vuoti se e solo se f è limitata e a supporto compatto. Si pone∗poi Z Z ∈f (x)dx = sup u(x)dx : u S f∗R Rn n∗ ∗ Z Z ∗∈f (x)dx = inf v(x)dx : v S fR Rn nche si chiamano rispettivamente integrale inferiore ed integrale superiore di f . Ovviamente si ha:∗Z Z≤f (x)dx f (x)dxR Rn n∗Se vale l’eguaglianza , si dice che f è integrabile secondo Riemann, e tale comune valore si indicacon ∗ ZZZ
Z≡ f (x)dx = f (x)dx = f (x)dx.f (x) dx R RRR nn nn ∗Dalla definizione si evince che:Condizione necessaria perchè f sia integrabile secondo Riemann è che sia limitataTeorema 1.10e a supporto compatto. R n⊆Un sottoinsieme E , limitato, è detto misurabile secondo Peano-JordanDefinizione 1.10(PJ-misurabile) se la sua funzione caratteristica χ è integrabile secondo Riemann. In questo caso,Eil numero Zλ (E) = χ (x)dxn ER nsi chiama misura di E.L’esistenza di insiemi non misurabili è equivalente all’esistenza di funzioni non integrabilisecondo Riemann. Q 2 2∩Sia E = [0, 1] , l’insieme dei punti a coordinate entrambe razionali nel quadratoEsempio 1.1×[0, 1] [0, 1] (χ è l’analogo bidimensionale della funzione di Dirichlet); mostriamo che χ non èE ERiemann-integrabile, equivalentemente E non è misurabile secondo Peano-Jordan.Poichè E è privo di punti interni, ogni intervallo contenuto in E ènecessariamente degenere; nesegue che ogni pluriintervallo contenuto in E ha misura nulla, essendo unione di intervalli degeneri. Pertanto, Z χ (x) dx = 0.
ER n∗ 2 ⊂D’altra parte se P è un pluriintervallo contenente E, passando alle chiusure si ha: [0, 1] = Ē Pe quindi ∗Z χ (x) dx = 1ER n6
Appunti di Analisi Matematica II
da cui quanto affermato. R n⊆ ∪ \ ∩
Se A, B sono pluriintervalli, allora A B, A B, A B sono ancora pluriintervalli. Inoltre risulta ∪ ∩λ (A B) + λ (A B) = λ (A) + λ (B)
Dim. Omessa.
Se A , A , ..., A sono pluriintervalli, allora risulta
Corollario 1.1 1 2 m o om mS P ∩ ∅;1) λ ( A ) = λ (A ) seA A =n j n j i jj=1 j=1
m mS P≤2) λ ( A ) λ (A );n j n jj=1 j=1⊆ ⇒ ≤
3) SeA B λ (A) λ (B).n n R n⊂Un sottoinsieme T si dice di misura n-dimensionale nulla nel senso di
Definizione 1.11 {E } ⊆Lebesgue se, per
Ogni ε > 0, esiste una successione di pluriintervalli che copre T, cioè Tj∞∞ PS λ (E) < ε. E, e tale che n jj j=0j=1 R n⊆(completezza) Sia T un insieme di misura nulla nel senso di Lebesgue; allora Teorema 1.12 ⊆ogni sottoinsieme X T ha misura nulla.
Dim. Ovvia. Q R∩ ⊂Dimostriamo che l’insieme E = [0, 1] ha misura nulla secondo Lebesgue.
Esempio 1.2 ∞Q [∩ {r } ⇒ ⊆ −E = [0, 1] = E [r δ, r + δ]n n nn=1εScegliendo δ = ,n2 ∞ ∞ ∞2ε 1 1X X X⇒= ε = ε λ (E) = 2εn j1n n−1 −2 2 1 2n=1 n=1 j=1Sia E un insieme limitato e misurabile secondo Peano-Jordan e sia D un’altroDefinizione 1.12 R⊆ →insieme contenente E. Una funzione f : E D, si dice integrabile secondo Riemann su E se, R Rn →la funzione f : definita ponendoE ( ∈f (x) x Ef (x) =E 6∈0 x E 7G.Di Faziorisulta integrabile
secondo Riemann ed in tal caso si pone:Z Zf (x) dx = f (x) dx.ER nE R R Rµ ν≥ × →Siano µ, ν 1 due interi; Supponiamo f : integrabile secondoTeorema 1.13 R µ∈Riemann. Allora, per λ -quasi ogni x , la funzioneµ Zϕ(x) = f (x, y)dλ (y)νR νR nè integrabile in secondo Riemann e si haZ Z f (x, y)dλ (x, y)ϕ(x)dλ (x) =µ µ+νR RR µ µ ν×che si scrive anche Z Z Zf (x, y)dλ f (x, y)dλ(y) dλ (x) = (x, y)ν µ µ+νR R R Rµ ν µ ν×Dim. Per semplicità, supponiamo µ = ν = 1 e poniamo ∗Z Z R∗ ∈ϕ (x) = f (x, y)dy, ϕ (x) = f (x, y)dy, x .∗ R R∗∗∈ ∈Siano u S f , v S f. Poichè,∗ R 2≤ ≤ ∀(x, ∈u(x, y) f (x, y) v(x, y) y) ,si ha: R∗· ∈ ·
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