Analisi 2

TEO DI CAUCHY-HADAMARD

Sia una serie di potenze

Allora ⇒

Se

1. ⇒

2. Se ⇒

3. Se

DIM ℝ

Sia e consideriamo la serie numerica

Convergenza assoluta. Utilizzo il criterio della radice

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ℝ⇒

1. ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

2. ⇒ ℝ

3. ⇒

a. ⇒

b. ⇒

TEO di D'Alambert

Sia serie di potenze

⇒

1. Se ⇒

2. Se ⇒

3. Se

TEO: raggio di convergenza della serie derivata

Il raggio di convergenza di è uguale al raggio di convergenza di

DIM

Il raggio di convergenza di è uguale al raggio di convergenza di

Perché moltiplicato per x (termine che non dipende da k)

Raggio di Raggio di

--------------------------------------

Serie geometrica g

⇒ g

In particolare g ℝ

Serie centrata nel punto x=c ⇒

Analisi II Pagina 81

Serie di Taylor Serie di Taylor di f centrata in 0

domenica 14 gennaio 2018 00:30 DEF: funzioni analitiche

TEO: condizione sufficiente per la sviluppabilità in serie di Taylor

Serie di potenze centrate in 0

Per ipotesi sia

⇒ Serie di Taylor di f centrata in 0

DEF: funzioni analitiche

Funzioni sviluppabili in serie di Taylor

ℝ ℝ

Non tutte le funzioni sono sviluppabili in serie di Taylor

ℝ ℝ

TEO: condizione sufficiente per la sviluppabilità in serie di Taylor

ℝ ℝ ℝ

Sia Siamo

∃

Supponiamo che Analisi II Pagina 82

TEO: condizione sufficiente per la sviluppabilità in serie di Taylor

ℝ ℝ ℝ

Sia Siamo

∃

Supponiamo che

=> f è sviluppabile secondo Taylor in (a,b)

DIM resto

Polinomio di Taylor

Resto nella forma di Lagrange Per ipotesi

a

Sia Analisi II Pagina 83

Analisi II Pagina 84

Serie di Fourier

lunedì 18 dicembre 2017 08:46 Analisi II Pagina 85

Analisi II Pagina 86

Analisi II Pagina 87

Analisi II Pagina 88

Analisi II Pagina 89

Analisi II Pagina 90

Identità di Parseval Analisi II Pagina 91

In generale

ℝ ℝ Periodo T

------------------------------------------------

Sia X spazio vettoriale con prodotto scalare di dimensione infinita

Sia insieme infinito di elementi tc si ortonormale

ℝ

Disuguaglianza di Bessel

???

Disuguaglianza di parseval Analisi II Pagina 92

Serie di Fourier

lunedì 5 febbraio 2018 18:16 Analisi II Pagina 93

Analisi II Pagina 94

Analisi II Pagina 95

Analisi II Pagina 96

Analisi II Pagina 97

Analisi II Pagina 98

Analisi II Pagina 99

Analisi II Pagina 100

Analisi II Pagina 101

Equazioni differenziali

giovedì 21 dicembre 2017 05:08 DEF: problema di Cauchy

Soluzione del problema di Cauchy

Ignota

Funzione nota

• Equazione di I ordine: compare solo la derivata prima

• Equazione differenziale ordinaria: (ODE) l'incognita è funzione di una sola variabile

• Equazione lineare: l'incognita e tutte la sue derivate compaiono in modo lineare

Tutte e sole le soluzioni sono date da

PROBLEMA DI CAUCHY (problema ai valori iniziali)

Soluzione del problema di Cauchy

(teorema fondamentale del calcolo integrale)

Equazione ordinarie del I ordine lineare

è una soluzione

è una soluzione

Infatti ⇒

Se ⇒

Se ⇒ ⇒

Costruisco una nuova funzione

Perché Analisi II Pagina 102

⇒ ⇒ ⇒

è costante

⇒ Ordinaria del II ordine lineare

Sia ⇒

⇒

⇒

Due parametri PROBLEMA DI CAUCHY

è soluzione

è soluzione sono tutte e sole le soluzione

determina un'unica osluzione

Ordinaria, del I ordine, non lineare

è soluzione Analisi II Pagina 103

è soluzione

⇒

Sia ⇒ Analisi II Pagina 104

Problemi di Cauchy

venerdì 22 dicembre 2017 08:00 Forma normale

TEO: esistenza e unicità del problema di Cauchy in piccolo

DEF: funzione lipschitziana

Equazione differenziale ordinaria di ordine n Lip su altre metriche

TEOREMA DI Rademaker

Esempio di problema di Cauchy con infinite soluzioni

ℝ ℝ TEO: Punto fisso di Banach (Caccioppoli-Banach)

Forma normale

Problema di Cauchy:

Siano

Ho n incognite

PROBLEMA DI CAUCHY PER UN SISTEMA DI n EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Sistema di equazioni differenziali:

Più in generale un sistema di equazioni differenziali del I ordine si può scrivere:

ℝ ℝ ℝ

ℝ

Se parto da un'equazione di ordine n posso passare ad un sistema di n equazioni del I ordine

Se parto da un sistema di equazioni del I ordine non è detto che si possa arrivare ad un'equazione di

ordine n CAMPO VETTORIALE

ℝ ℝ

Dove

ℝ

ℝ ℝ

TEO: esistenza e unicità del problema di Cauchy in piccolo

Analisi II Pagina 105

ℝ ℝ

TEO: esistenza e unicità del problema di Cauchy in piccolo

∃

Supponiamo

⇒∃ ∃ ℝ derivabile tale che verifichi il problema di Cauchy.

Inoltre una tale y è unica

DEF: funzione lipschitziana

ℝ ℝ ∃

si dice lipschitziana se

⇒

Se g è derivabile

è Lip ma non derivabile

TEOREMA DI Rademaker ⇒

Se g è una funzione Lipschitziana g è derivabile quasi ovunque

⇒

Per capire se g derivabile è LIP: ℝ

Prendo L come costante di Lipschitz

ℝ Lip su altre metriche

∃

g è Lip se ℝ

Esempi di Lipschitz

•

•

• ℝ

• ℝ Non è Lip

Ma è uniformemente continua

Esempio di problema di Cauchy con infinite soluzioni

Soluzioni: ⇒

Penso che

⇒ ⇒

Mi chiedo se è soluzione di Cauchy Analisi II Pagina 106

Mi rispondo di si Pennello di Peano

Non è lipschitziana ⇒

TEO: Punto fisso di Banach (Caccioppoli-Banach)

∃

Sia (X,d) spazio metrico completo

⇒∃

DIM unicità ∃

Per assurdo

DIM esistenza

Sia

…

Ho costruito una successione.

Dis triangolare

Sia m>n

Voglio dimostrare che

∃

Fisso ⇒

Analisi II Pagina 107

⇒

⇒∃

Se

È di Cauchy

⇒∃

mostro che

Esempio Passando al limite: 0

Per la continuità di T (se T è lip è anche C )⇒

Per teo fondamentale del calcolo integrale ]

DIM (teorema di Cauchy)

ℝ

ℝ ℝ

Considero la funzione:

ℝ La funzione ha massimo per il Teorema di Weierstrass

a ℝ

Definisco uno spazio metrico Funzioni continue il cui grafico sta

ℝ nel rettangolo R

Questo spazio metrico è completo (NO DIM)

Costruisco un operatore ℝ

Devo dimostrare che T è una contrazione e trovare il suo (unico) punto fisso

Verifico che T sta in X

u

II verifica: T è una contrazione Per

Analisi II Pagina 108

II verifica: T è una contrazione Per

⇒ ⇒

Se

Quindi prendo Analisi II Pagina 109

Teo ed esempi

lunedì 8 gennaio 2018 09:03 TEO: la regolarità della soluzioni e maggiore di quella del

TEO: esistenza e unicità in grande

DEF: estensione

DEF: soluzione massimale

TEO: esiste la soluzione massimale

⇒

Se ⇒

In realtà basta che le derivate su y siano limitate

TEO: la regolarità della soluzioni e maggiore di quella del campo vettoriale

∃

verifichi le condizioni Per k>0 sono verificate le condizioni di unicità

⇒ la soluzione ⇒

In particolare se

DIM

Per induzione su k

• k=0

La soluzione del problema di Cauchy si può esprimere come:

⇒

Dalla dimostrazione del teorema di unicità

⇒ la funzione integranda

⇒ ⇒

Supponiamo

Supponiamo vero per k

• Dimostro per

Ipotesi:

Tesi: ⇒ ⇒ ⇒

Se ⇒

è la composizione di due funzioni

⇒ ⇒

TEO: esistenza e unicità in grande

Supponiamo di avere il problema di Cauchy

ℝ ℝ

ℝ Non dipende da x

Supponiamo

1. continua

∃

2.

3. è sublineare ℝ

⇒∃ ℝ soluzione del problema di Cauchy

NO DIM ⇒ ∃ ℝ

Esistenza e unicità in piccolo

Con che soddisfa alcune condizioni

∃ ℝ

Nulla vieta che soluzione del PC

Analisi II Pagina 110

∃ ℝ

Nulla vieta che soluzione del PC

Inoltre

⇒ è una estensione di

DEF: soluzione massimale ℝ

Una soluzione massimale è una soluzione del sistema di Cauchy tale che ogni sua

estensione coincide con stessa

TEOREMA

Esiste la soluzione massimale Analisi II Pagina 111

Equazioni differenziali particolari + Studio qualitativo

Equazione differenziali particolari

mercoledì 17 gennaio 2018 20:10 Equazione a variabili separate

Equazioni omogenee

Studio qualitativo

Equazione differenziali particolari

Equazione a variabili separate

⇒

Caso 1: funzione costante

• Caso 2:

• ⇒

Se è una priimitiva di

⇒

⇒ ℝ Con a,b costanti

Equazione a variabili separabili

Equazioni omogenee

Cambio di variabile Analisi II Pagina 112

Equazione a variabili separabili

⇒

Studio qualitativo

ℝ ℝ ℝ

Non è lipschitziana

ℝ ℝ ⇒esistenza

È lipschitziana, e unicità in piccolo

Monotonia della soluzione

Funzione non può toccare y=-1

Per assurdo supponiamo che

Considero il problema di Cauchy

Verifica le ipotesi del teorema di esistenza e unicità in piccolo

⇒ la soluzione esiste ed è unica

è la soluzione costante del problema di Caiuchy

⇒ ⇒

ma se la soluzione del problema originario arrivasse a -1 la soluzione che ho appena trovato non

sarebbe unica

⇒ la soluzione ha un asintoto

10/01/18

Tesi: Sto usando il seguente fatto:

DIM per assurdo Se g(x) ha un asintoto orizzontale

ℝ per e il limite di

Analisi II Pagina 113 Sto usando il seguente fatto:

DIM per assurdo Se g(x) ha un asintoto orizzontale

ℝ per e il limite di

⇒

per esiste vale 0

⇒

Dato che assurdo perché

altrimenti non avrei limite orizzontale

Studio i flessi

Studio il segno

Per

•

• ⇒

Esempio:

Si consideri il seguente PC

Si consideri

Per

Se la soluzione esiste per ogni x>0 Analisi II Pagina 114

⇒ ⇒

Analisi II Pagina 115

Esercizi

venerdì 12 gennaio 2018 08:41

g

g ⇒

Almeno in un interno di (0,1) f è lip esist + unic locali