Analisi Matematica

Lezione n. 2 del 2/3/2017

Calcolo dei polinomi di Taylor per le funzioni elementari.

1. Sia f(x) = sen x, x_o = 0, f(0) = 0

Calcoliamo le derivate:

• f'(x) = cos x ⇒ f'(0) = 1
• f''(x) = -sen x ⇒ f''(0) = 0
• f^'''(x) = -cos x ⇒ f^'''(0) = -1
• f^(IV)(x) = sen x ⇒ f^(IV)(0) = 0

Si osservi che le derivate successive ricalcano i casi precedenti, quindi possiamo scrivere:

f^(k)(x) = { (-1)^h sen x, se k = 2h (k pari) { (-1)^h cos x, se k = 2h+1 (dispari)

e quindi, calcolando in x=0:

f^(k)(0) = { 0, se k pari, k = 2h { (-1)^h, se k dispari, k = 2h+1

Allora il polinomio di Taylor in x_o=0 è:

P₁(x) = f(0) + f'(0)(x-x_o) = x

P₂(x) = f(0) + f'(0)(x-x_o) + f''(0)(x-x_o)²/2 = x

P₃(x) = f(0) + f'(0)(x-x_o) + f''(0)(x-x_o)²/2 + f^'''(0)(x-x_o)³/3!

= x - x³/6

Lezione n. 2 del 2/3/2017

Calcolo dei polinomi di Taylor per le funzioni elementari.

1. Sia f(x) = senx   x₀ = 0   f(0) = 0

   Calcoliamo le derivate :

   • f'(x) = cosx   ⇒   f'(0) = 1
   • f''(x) = -senx   ⇒   f''(0) = 0
   • f'''(x) = -cosx   ⇒   f'''(0) = -1
   • f^(iv)(x) = senx   ⇒   f^(iv)(0) = 0

Si osservi che le derivate successive rientrano in questi casi precedenti, quindi possiamo scrivere:

f^(k)(x) = {(-1)^h senx,   se   k = 2h   (k pari)

       (-1)^h cosx,   se   k = 2h + 1   (k dispari)

e quindi, calcolando in x = 0 :

f^(k)(0) = { 0   se   k pari,   k = 2h

    (-1)^h   se   k dispari,   k = 2h + 1

Allora il polinomio di Taylor in x₀ = 0 è:

P₁(x) = f(0) + f'(0)(x - x₀) = x

P₂(x) = f(0) + f'(0)(x - x₀) + f''(0)(x - x₀)² / 2 = x

P₃(x) = f(0) + f'(0)(x - x₀) + f''(0)(x - x₀)² / 2 + f'''(0)(x - x₀)³ / 3!

       = x - x³ / 6

e_n in generale, per n pari n=2p:

f_n(x) = P_2p(x) = _k=0^2p∑ ^(k)f(0)x^k / k! = _{k pari}∑ ^(k)f(0)x^k / k! + _{k disp.}∑ ^(k)f(0)x^k / k!

= _{k disp.}∑ ^(k)f(0)x^k / k! = _k=0^p-1∑ (-1)^kx^2k+1 / (2k+1)!

mentre se n è dispari, n = 2p+1, si ha:

f_m(x) = P_2p+1(x) = _k=0^2p+1∑ ^(k)f(0)x^k / k! = _{k disp.}∑ ^(k)f(0)x^k / k!

= _p∑ (-1)^kx^2k+1 / (2k+1)!

Allora possiamo scrivere sen x in questo modo, per x->0:

• sen x = x + o(x²) (ordine 2)
• = x - x³/6 + o(x³) (ordine 3)
• = x - x³/6 + o(x⁴) (ordine 4)

dove ricordiamo che

lim _x->0 o(x²)/ x² = 0 = lim _x->0 o(x³) / x³ = lim _x->0 o(x⁴) / x⁴

2) f(x) = log(1+x) x_o = 0

Calcoliamo le derivate:

f(0) = log1 = 0

f'(x) = 1 / (1+x) => f'(0) = 1

fⁿ(x) = D((1+x)^-1) = -(1+x)^-2 = -1/(1+x)² ⇒_D f⁽⁰⁾ = -1

f^III(x) = +2 (1+x)^-3 = 2/(1+x)³ ⇒ f^III(0) = 2

In generale:

f^(k)(x) = (-1)^k-1 (k-1)!/(1+x)^k ⇒ f^(k)(0) = (-1)^k-1 (k-1)!

Quindi, i polinomi di Taylor di log(1+x) in x₀=0 sono:

p₁(x) = f(0) + f^'(0)(x-x₀) = x

p₂(x) = f(0) + f^'(0)(x-x₀) + f^''(0)(x-x₀)²/2 = x - x²/2

∀ m per un generico m ∈ ℕ:

p_m(x) = ∑_k=1^m f^(k)(0)/k! x^k = ∑_k=1^m (-1)^k-1 (k-1)!/k! x^k

Quindi, per x > 0:

log((1+x) = x + o(x)

= x - x²/2 + o(x²)

= x - x²/2 + x³/3 + o(x³)

3) Allo stesso modo si trovano i polinomi di Taylor per altre 

funzioni elementari. Ad esempio:

cos x = 1 - x²/2 + o(x²)

= 1 - x²/2 + x⁴/4! + o(x⁴)

= ... = ∑_k=0^2p (-1)^k x^2k/(2k)! + o(2p) per x → 0

[Applicazioni al calcolo di limiti]

1. Calcolare il limite:

forma indeterminata ⁰/₀

Sviluppo le approssimazioni delle funzioni elementari con i polinomidi Taylor di ordine pari o superiore al grado di x³ al denominatore.

senx = x - ^x3/_3! + o(x³) per x → 0

e^x = 1 + x + ^x2/_2! + o(x²) per x → 0

Quindi, per x > 0:

x e^x = x ( 1 + x + ^x2/_2! + o(x²)) = x + x² +^x3/₂ + o(x³)

pertanto lim_x→0 ^o(x2)/_x³ = lim_x→0 ^o(x2)/_x² = 0

⇒ x o(x²) = o(x³)

cosx = 1 - ^x2/₂ + o(x²) per x → 0

Quindi:

x² cosx = x² - ^x4/₂ + o(x⁴) per x → 0

Allora

senx - x e^x + x² cos x = ^{x - x3/₆ + o(x3)}/_x³ - x - x² -^x3/₂ - o(x³) + x² - ^x4/₂ + o(x⁴)

= ^{- 2x3 + o(x3)}/_x³ = ^{- 2}/₃ + ^o(x3)/_x³ → ^{- 2}/₃

quindi:

o(x³) + o(x³) + o(x⁴) = o(x³) per x → 0