Analisi Matematica

Lezione n. 2 del 2/3/2017

Calcolo dei polinomi di Taylor per le funzioni elementari.

1. Se f(x) = sen x, x₀ = 0, f(0) = 0

   Calcoliamo le derivate:

   • f'(x) = cos x ⇒ f'(0) = 1
   • f''(x) = -sen x ⇒ f''(0) = 0
   • f'''(x) = -cos x ⇒ f'''(0) = -1
   • f^(iv)(x) = sen x ⇒ f^(iv)(0) = 0
   • Si osservi che le derivate successive risultano i quattro casi precedenti, quindi possiamo scrivere:
   • f^(k)(x) =
     • (-1)^h sen x, se k = 2h (k pari)
     • (-1)^h cos x, se k = 2h+1 (dispari)
   • E quindi, calcolando in x = 0 :
   f^(k)(0) =
   • 0 se k pari, k = 2h
   • (-1)^h se k dispari, k = 2h+1

   Allora il polinomio di Taylor in x₀ = 0 è:

   • P₁(x) = f(0) + f'(0)(x - x₀) = x
   • P₂(x) = f(0) + f'(0)(x - x₀) + ^f''(0)/₂(x - x₀)² = x
   • P₃(x) = f(0) + f'(0)(x - x₀) + ^f''(0)/₂(x - x₀)² + ^f'''(0)/_3!(x - x₀)³ =
   • x - ^x3/₆