Analisi Matematica

Integrali definiti e calcolo di aree

Se f: [a,b] → ℝ è integrabile ed f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a,b]

l'integrale definito

∫_a^b f(x) dx

rappresenta l'area della regione

R = { (x,y) ∈ ℝ x ℝ | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) }

Infatti Area (R) si approssima, da sotto,

con l'area dei rettangoli che portano

alla definizione di somma inferiore

e si approssima, da sopra, con l'area

dei rettangoli che portano alla definizione

di somma superiore. Quindi:

Se f ≥ 0 (cioè f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a,b]) ⇒ ∫_a^b f(x) dx = Area (R)

Se f ≤ 0, l'integrale definito rappresenta l'area della regione

R = { (x,y) ∈ ℝ x ℝ | a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ 0 }

cambiata di segno:

Quindi f ≤ 0 (cioè -f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ [a,b]) ⇒ ∫_a^b f(x) dx = -Area (R)

Infatti f ≤ 0 ⇒ -f ≥ 0

Se R' = { (x,y) ∈ ℝ x ℝ | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ -f(x) }

allora ∫_a^b (-f)(x) dx = Area (R')