Analisi matematica

I

ϵ

I contenuto in R si dice “intervallo” se per ogni x e y appartenenti ad I con

x minore di y, dato z appartenente a R tale che x<z<y allora risulta z

appartenente ad I

Essendo I un sottoinsieme di R, allora all’inizio si scrive “I R”

⊂

Un intervallo è un insieme privo di buchi

Legenda:

= Contiene

⊂ = Per ogni

∀ = Appartiene

ϵ

t.c / : = Tale che / Sia

… ⇒ … = Se … Allora …

Esempio:

In questo caso I è un intervallo, ovvero un insieme che contiene i punti tra 2

punti x e y.

A={x R:x 0}

ϵ ≠

x = -2, y = 3

Analisi -2 A, 3 A → -2 < 0 < 3

ϵ ϵ

0 A

∉

A non è un intervallo

A = { x R : |x| 0 }

ϵ >

x = -3, y = 3

Z B

∉

x<z<y

B non è un intervallo, perché è fatto da due pezzi

Notazione per l’intervallo

Dati a,b R con a<b, scriviamo:

ϵ

● [a,b] = {x R : a ≤ x ≤ b} → Intervallo chiuso - estremi inclusi

ϵ

● (a,b) = {x R : a < x < b} → Intervallo aperto - estremi esclusi

ϵ

● [a,b) = {x R : a ≤ x < b}

ϵ

● (a,b] = {x R : a < x ≤ b}

ϵ

● [a,+∞) = {x R : x ≥ a} → Semiretta chiusa

ϵ

● (a,+∞) = {x R : x > a} → Semiretta aperta

ϵ

● (-∞,a] = {x R : x ≤ a}

ϵ

● (-∞,a) = {x R : x < a}

ϵ

● (-∞,+∞) = R

Funzioni

Definizione:

Una funzione è una terna di oggetti, due insiemi e una legge, dove:

● A,B sono gli insiemi

○ A il dominio (x)

○ B il codominio (y)

● f è una legge

f mette in corrispondenza ogni elementi di A con uno e un solo elemento di

B.

Si scrive:

f : A → B, ovvero f è una funzione da A a B

Legenda:

→ = Da … a

Analisi Esempio:

Grafico di una funzione

Definizione:

graph(f) = {(a,b) A x B : b = f(a)} (A x B)

ϵ ⊂

Il grafico è uguale all’insieme di punti dove a e b appartengono al prodotto

cartesiano tra A e B tale che b è uguale al risultato della funzione di a.

Il grafico di f è contenuto nel prodotto cartesiano tra A e B (piano cartesiano

tra dominio e codominio) ed è uguale all’insieme dei punti nel piano

cartesiano dato dalla formula al di sopra.

Esempio:

f:R → R

f(x) = 2x

(3,6) graph(f) → 6 = f(3) ) 2*3

ϵ

(3,7) graph(f) → 7 ≠ f(3)

∉

Analisi

Immagine funzione

Definizione:

f:A→B

D A

⊂

L’insieme f(D) = {f(x) : x D} si dice l’immagine di D attraverso f

ϵ

f(D) B

⊂

Con f da A a B e un insieme D contenuto in A, l’insieme f(D) è uguale

all’insieme di punti formati da f(x) tale che x appartiene a D

Nel caso D = A invece di f(A) si scrive imm(f)

imm(f) = f(A) = {f(x) : x A}

ϵ

Legenda:

= Se e solo se …

⇔

Analisi Esempio:

A = R, B = R

2

f(x) = x

D = [2,3] intervallo

f(D) = ?

x [2,3] 2 ≤ x ≤ 3

⇔

ϵ 2

4 ≤ x ≤ 9

4 ≤ f(x) ≤ 9

f(D) = [4,9]

f:R→R

2

f(x) = x

imm(f) = [0,+∞)

2

g(x) = -x

imm(g) = [-∞,0)

Analisi

Iniettiva

Definizione: f( f(

⇒

f : A → B si dice iniettiva se x ,x A con x x x ) x )

∀ ϵ ≠ ≠

1 2 1 2 1 2

Perciò, punti distinti in punti distinti.

La funzione da A a B si dice iniettiva se per ogni x e x appartenenti ad A

1 2

f( f(

con x diverso da x allora x ) è diverso da x )

1 2 1 2

Se una funzione è iniettiva, ogni retta orizzontale interseca il grafico al

massimo in un punto.

Esempio:

2

f(x) = x

f : R → R è iniettiva? No

f(-2) = 4 e f(2) = 4, però -2 ≠ 2

f(2 = f(-2)

Analisi 2

f(x) = x

A = [0,+∞)

B=R

È iniettiva

Surgettiva

Definizione:

f : A → B si dice surgettiva (suriettiva) se y B x A : f(x) = y

∀ ϵ ∃ ϵ

La funzione da A a B si dice surgettiva se per ogni y appartenente a B

esiste un x appartenente ad A tale che f(x) = y

f è surgettiva se e solo se imm(f) = B; inoltre f è surgettiva se e solo se ogni

retta orizzontale tracciata nel codominio interseca il grafico in almeno un

punto.

Legenda:

= Esiste

∃

Analisi Esempio:

2

f(x) = x

f:R→R

Non è surgettiva.

f(x) ≠ -4 x R

∀ ϵ

2

f(x) = x = -4

Non ha soluzioni in R

2

f(x) = x

f:R → [0,+∞)

È surgettiva.

Bigettiva

Definizione:

f : A → B si dice bigettiva (biunivoca, invertibile) se è sia iniettiva che

surgettiva

Analisi Esempio:

Come si può notare non permette di tornare indietro, visto che sarebbe

necessario effettuare una scelta

Come si può notare, rimane fuori qualcosa del codominio

Costruzione dell’inversa

-1

f : B → A

Voglio costruirla in modo che:

-1

f (f(x)) = x x A

∀ ϵ

-1

f(f (y)) = y y B

∀ ϵ

Analisi

Lo posso fare?

Parto da y B. Dato che f è surgettiva x A : f(x) = y è anche unico perché f è iniettiva,

ϵ ∃ ϵ

-1

allora definisco x = f (y)

Esempio:

2

f(x) = x

A = [0,+∞]

B = [0,+∞]

f:A→B

È bigettiva.

-1

f (y) = 2

è l’inverso della f(x) = x quando il dominio è [0,+∞) e il codominio è [0,+∞)

Attenzione:

2

( ) = x x ≥ 0

∀

Analisi 2

= |x| x R

∀

ϵ

Operazioni sui grafici Traslazione verticale

Verso l’alto:

g(x) = f(x) + a

a>0

Verso il basso:

g(x) = f(x) + a

a<0

Traslazione verso destra o sinistra

Verso sinistra:

g(x) = f(x + a)

a>0

Verso destra:

g(x) = f(x + a)

a<0

Solo valori positivi

g(x) = |f(x)|

Simmetria rispetto all’asse x

g(x) = -f(x)

Analisi Simmetria rispetto all’asse y

g(x) = f(-x)

Simmetria rispetto all’origine

g(x) = -f(-x)

Funzioni monotone

Definizione:

A,B R

⊂

f:A→B

x , x A qualsiasi con x < x

ϵ

1 2 1 2

Se valgono x , x A:

∀ ϵ

1 2

1. f(x ) < f(x ) f si dice strettamente crescente

⇒

1 2

2. f(x ) ≤ f(x ) f si dice debolmente crescente

⇒

1 2

3. f(x ) > f(x ) f si dice strettamente decrescente

⇒

1 2

4. f(x ) ≥ f(x ) f si dice debolmente decrescente

⇒

1 2

Se valgono 1) o 3) f si dice strettamente monotona

Se valgono 2) o 4) f si dice debolmente monotona

Ovviamente deve valere x , x con x < x infatti altrimenti:

∀ 1 2 1 2

Analisi Per crescente si indica:

Per decrescente si indica:

Differenza tra crescente e decrescente

Crescente

Una funzione crescente (strettamente o debolmente) mantiene l’ordinamento (operatori

concordi).

x < x f(x ) < f(x ) → Strettamente

⇒

1 2 1 2

x < x f(x ) ≤ f(x ) → Debolmente

⇒

1 2 1 2

Analisi

Esempio:

2

f(x) = x

f : [0,+∞) → R

Questa è crescente, infatti 3 < 4; f(3) < f(4) perchè 9 < 16

Proprietà

Se f : [a,b] → R è crescente e f : [b,c] → R è crescente, allora f : [a,c] → R è crescente

Decrescente

Una funzione decrescente (strettamente o debolmente) inverte l’ordinamento (operatori

discordi).

x < x f(x ) > f(x ) → Strettamente

⇒

1 2 1 2

x < x f(x ) ≥ f(x ) → Debolmente

⇒

1 2 1 2

Esempio:

2

g(x) = x

g : (-∞,0] → R

Questa è decrescente, infatti -4 < -3; g(-4) > g(-3) perchè 16 > 9

Possiamo notare che nel secondo caso si inverte il segno di disuguaglianza

Debolmente crescente

Definizione:

Una funzione f è definibile debolmente crescente se sono ammessi tratti

orizzontali nel grafico.

Analisi

Strettamente crescente

Definizione: (1) − (2)

Una funzione f è strettamente crescente se e solo se > 0 x ≠

∀ 1

1 − 2

x ; numeratore e denominatore sono concordi e quindi:

2 ● se x > x f(x ) > f(x )

⇒

1 2 1 2

● se x < x f(x ) < f(x )

⇒

1 2 1 2

Legenda:

(1) − (2) = il coefficiente angolare della retta che unisce i due punti sul grafico

1 − 2

Strettamente decrescente

Definizione: (1) − (2)

Una funzione f è strettamente decrescente se e solo se <0 ∀

1 − 2

x ≠ x ; numeratore e denominatore sono discordi:

1 2

● se x > x f(x ) < f(x )

⇒

1 2 1 2

● se x < x f(x ) > f(x )

⇒

1 2 1 2

Legenda:

(1) − (2) = il coefficiente angolare della retta che unisce i due punti sul grafico

1 − 2

Funzione non monotona

Una funzione ovviamente può essere anche non monotona, se non mantiene gli

standard per esserlo.

Analisi Esempio:

1

f(x) =

f : (-∞,0) U (0,+∞) → R

Se x < x < 0 allora f(x ) > f(x )

1 2 1 2

Se 0 < x < x allora f(x ) > f(x )

1 2 1 2

Se x < 0 < x allora f(x ) < f(x )

1 2 1 2

f quindi non è monotona

1

f(x) =

f : (-∞,0) U (0,+∞) → R

f è strettamente decrescente in (-∞,0) e strettamente decrescente in (0,+∞)

Composizione di funzioni monotone

Definizione:

Se A, B, C R e f : A → B, g : B → C allora:

⊂ ∘

1. Se f è crescente e g è crescente allora g f (g composto f) è

crescente ∘

2. Se f è crescente e g è decrescente allora g f è decrescente (o

viceversa)

3. Se f è decrescente e g è decrescente allora g f è crescente

∘

Esempio:

f decrescente, g decrescente

x <x f(x ) > f(x ) g(f(x )) < g(f(x ))

⇒ ⇒

1 2 1 2 1 2

∘ ∘ ∘

(g f)(x ) < (g f)(x ) g f è crescente

⇒

1 2

Attenzione:

Analisi Nella composizione basta una funzione debolmente monotona perchè il

risultato sia debolmente monotono. Perchè la composizione sia

strettamente monotona d