Analisi matematica 2

MASSIMI E MINIMI

 ( ) ()

≥ ∀

MASSIMO ASSOLUTO SU A 0

 ( ) ()

≤ ∀

MINIMO ASSOLUTO SU A 0

 ( ) ()

≥ ∀( )

MASSIMO RELATIVO SU A 0 0

 ( ) ()

≤ ∀( )

MINIMO RELATIVO SU A 0 0

PUNTO DI SELLA

In un intorno non è né il punto più alto né il punto più basso

Per determinare i max e i min delle funzioni di 2 variabili procedo:

Considero la formula di Taylor con resto di Lagrange

FORMULA DI TAYLOR CON RESTO DI LAGRANGE ORDINE

2 2

Ogni funzione definita in un sottoinsime di e supponiamo di classe

∀ ( )

Fissato un punto si ha

0 0

(, ) ( ) ( )( ) ( )( )

= , + , − + , −

0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 2

( )( ( )( )( ) ( )(

[ ]

+ , − ) + 2 , − − + , − )

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2

+ ( , , , )

2 0 0

Con ( , , )

2 0 0 0

lim =0

2 2

( − ) + ( − )

(,)→( , )

0 0 0 0

Se si considera () = ( + )

1

Ricordando la formula di Mc Laurin del ordine si ha che

1

′ ′′ 2

() (0) (0) ( ).

= + + 0 < <

2

In particolare 16

()() ( )

= +

′ () ( )

= ∇ +

′ (0) ().

= ∇

′′ () ∇( ).

= +

Ovvero sviluppo tutti i calcoli e viene fuori

12

′′ () ( ) ( ) ( )

= + , + + + , + + + , +

0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 0 2

22 ( )

+ + , +

0 1 0 2

[() ]

=FORMA QUADRATICA

= 1

Se 1

′ ′′

(1) (0) (0) ( )

= + +

2

(1)

= (, )

(0) = ( , )

0 0

′ (0) ∇( )

= 0

1 1

′′ ( ) [ ( )]

= +

2 2

= 0

Se ′′ (0) [. (). ]

=

Questa è una forma quadratica in v

FORMA QUADRATICA IN V

H è l’hessiano→matrice simmetrica



⟺ > 0

Una matrice A è definita positiva



⟺ ≥ 0

Una matrice è semidefinita positiva



⟺ < 0

Una matrice A è definita negativa



⟺ ≤ 0

Una matrice A è definita semidefinita negativa

TEOREMA

 > 0

Una matrice simmetrica è definita positiva se tutti gli autovalori sono

 ≥ 0

Una matrice è semidefinita positiva se tutti gli autovalori sono

 < 0

Una matrice è definita negativa se gli autovalori sono

 ≤ 0

Una matrice è semidefinita negativa se solo se gli autovalori sono

 Una matrice si dice indefinita se gli autovalori sono di segno opposto 17

RICORDA

Il prodotto degli autovalori è il determinane della matrice, mentre la traccia è la somma degli

autovalori.

TEOREMA DI FERMAT

Se 2

: ⊆ →

∇ = 0

Se P è un punto estremante allora il

DIMOSTRAZIONE

( )

= (, )

Sia 1 0 1′ ( )

) = 0

Se ha un max in un intorno( , allora ha un max in quindi

0 0 1 0 0

( ) = 0

,

0 0 ()

= (

Idem se considero ,)

1 0

∇= 0

Se invece il (punto critico) questo non mi permette di dire che il punto è un estremo relativo.

ESEMPIO

Vedi libro pag.136

CONDIZIONE NECESSARIA

Se

: → ⊆

,

Se P è max o min per allora su ciascuna retta la restrizione di ha in P un max o un min.

()

= ( + ), = 0

Se P è un punto di min per allora ha un minimo per

′′

(0)

= . . . ≥ 0

Pertanto

TEOREMA

 ()

Se P è un minimo allora è semidefinita positiva

 ()

Se P è un massimo allora è semidefinita negativa

CONDIZIONE SUFFICIENTE

Se : →

= 0)

E è un punto critico (∇

0

Allora

 ()

Se è definita positiva, è un minimo

0

 ()

Se è definita negativa, è un massimo

0 18

CENNO A DIMOSTRAZIONE 2

[ ] ‖ ‖

() () ≥

Se è definita positiva, allora

Quindi è un punto di minimo

0

SCHEMA

 Si trovano i punti critici

 0 ( ) > 0 ( ) > 0)

Se l’hessiano in quel punto ha det> e ( allora è di min relativo

0 0

 0 ( ) < 0 ( ) < 0)

Se il det> e ( allora è di max relativo

0 0

 0

Se il det< il punto è di sella

 Se il det=0 non si può dire niente

MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI

Se : = ∪

dove li trovo?

 ∇= 0

Nei punti interni dove il

 Nei punti di bordo

 Nei punti di non derivabilità

MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI

Data una funzione d i più variabili vogliamo determinare il max assoluto e il min assoluto

 1 PASSO

Determiniamo le derivate parziali

La e le poniamo =0

Trovo le soluzioni e vado a vedere quanto vale la funzione in questi punti

 2 PASSO

Calcolo i valori lungo la funzione, vedo cosa succede sulla frontiera, trovo la funzione di una sola

variabile e i punti estremanti, ne calcolo i valori lungo la funzione

 3 PASSO

Confronto le ordinate, il valore più alto è il max, il valore più basso è il min.

FUNZIONI DEFINITE IMPLICITAMENTE 2

: ⊆ →

Curva {(, ): (, ) 0}

= = 19

( )?

=

Posso ricavare

( )

→ = 0 → ( , ) ≠ 0

Se 0 0 0 0

Esiste un rettangolo ovvero

( )∃ ()( )

> 0 > 0 ∀ − , + = − , +

un solo

0 0 0 0

(, ) =?

( )

=

′ ( )

= −

≠ 0

Vale anche il viceversa se

′ ( )

= −

DETERMINAZIONE MASSIMI E MINIMI IN

La frontiera di un dominio si può scrivere con una curva regolare

′

()

( )

′

‖ ()‖

Calcolo ℎ() (())

=

′ ′

()

ℎ = ∇.

′ ()

ℎ = 0

Per il teorema di Fermat ′

∇. = 0

∇ è ortogonale alla frontiera.

TEOREMA DEL DINI

Sia data 2

: ⊆ →

Definita in un aperto e sia 1

∈ ()

( , )

Sia un punto di A

0 0 0 ( )

, ( , ) ≠ 0

0 0 0 0

> 0 > 0

Allora esiste un tali che ∀ ∈ ( − , + )

0 0

( ) ( ): (, )

∃ = − , + = 0

solo punto 0 0 20

( )

La funzione è derivabile e la sua derivata ( ))

(,

′

= − ( ))

(,

Perché

 ( ))

(, = 0 e per la regola di derivazione della funzione composta si ha

( ))

(,

′ ′

( )) ( ). ( )) ( )

(, (,

+ = 0 → = −

( ))

(,

((),)

′

( ) ()

, = 0 = −

Chiaramente la stessa cosa se risulta e si ricava

0 0 ((),)

MASSIMI E MINIMI VINCOLATI 2

: ⊆ →

A aperto () ⊂

Vogliamo calcolare i punti di max e min di in un sottoinsime

Tali punti sono detti max e min relativi vincolati. S è detto vincolo.

(, ): (, ) = 0

Dove S è l’insieme delle e supponiamo che il grad di g per ogni punto

≠ (0,0)

appartenete ad S sia

Se ∇( ) ≠ 0

0

≠ 0. ≠ 0 ()

Almeno una delle due derivate è Sia esiste una funzione definita in un intorno di

.

0 = (0)

Sia 0 ′ (0)

∇. = 0

Se è un estremo locale per ristretto alla frontiera, allora

0

Ma ′

(()) ∇((). ())

= 0 → . = 0

Ne segue ′ (0)

∇( ) ⊥

0

Allora ∇( ) ∥ ∇( ) → ∃

0 0

( )

∇ = ∇( )

0 0

{ ( ) = 0

0 21

METODO DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANCE

Detta − = 0

− = 0

= − → {

(, ) = 0

LE CURVE

Sia

: →

dove è un intervallo di R

Si chiama sostegno della cura l’immagine di

∀() () (), (), ())

→ = (

 [,