Analisi matematica 2

ANALSI 2:

SERIE NUMERICHE ∞

∑

Una serie numerica =1

∑ →successione

SN= delle somme parziali

=1

COMPORTAMENTO DI UNA SERIE

 lim =

Se (Convergente)

→∞

 lim = ±∞

Se (Divergente)

→∞

 lim = ∄

Se (Indeterminata)

→∞

Il carattere di una serie non cambia se si trascura un numero finito di suoi termini.

SN A SEGNO COSTANTE

∞

∑

Una serie si dice di segno costante se tutti i termini hanno stesso segno e non è mai

=1

indeterminata.

CONDIZIONE NECESSARIA PER CONVERGENZA (CAUCHY)

∞

∑

lim = 0.

Sia una successione di numeri reali, se converge, allora il

=1 →∞

Il viceversa NON è vero.

ESEMPIO 1 1

∞

∑ lim =0

La serie armonica è divergente, ma il

=1

→∞

DIMOSTRAZIONE (CAUCHY)

∑

=

Sia la successione delle somme parziali

=0 ∞

∑ = ↔ lim =

Per hp si dice che la serie converge ad un numero l e per definizione =0 →∞

= −

Ho che −1

lim = − lim = 0

Quindi −1

→∞ →∞ →∞

CRITERIO DEL CONFRONTO FRA SUCCESSIONI

<

Date 2 successioni a segno costante con

∞ ∞

∑ ∑

≤

=0 =0



Se è convergente lo è anche



Se è divergente lo è anche

1

DEFINIZIONE DI SERIE TELESCOPICA

−

Data una successione , la serie si chiama serie telescopica

+

lim = →

Se la serie è convergente

→∞

SERIE DI MENGOLI ∞ 1

∑ ( + 1)

=1

E’ convergente perché è maggiorata dalla serie armonica generalizzata

SERIE ARMONICA GENERALIZZATA ∞ 1

∑ ∝

=0

 ∝> 1 →

Se converge

 1 →

Se∝≤ diverge

SERIE GEOMETRICA ∞

∑

=0

 −1 < < 1 →

Se converge

 ≤ −1 →

Se irregolare

 > 1 →

Se diverge

SERIE ARMONICA A SEGNI ALTERNI ∞ 1

∑(−1) ∝

=1

∝> 0

Converge per

In particolare

 ∝> 1

converge assolutamente per

 0 <∝≤ 1

converge semplicemente per 2

SERIE ARMONICA MODIFICATA ∞ 1

∑ ∝

(log())

=2

 ∝> 1 ∀

Converge per

 ∝= 1 > 1

Converge per

 ∝= 1 > 1

Diverge positivamente per

 ∝> 1

Diverge positivamente per

CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

Siano ∞ ∞

∑ ∑

=1 =1

≥ 0)

2 serie a termini positivi (quando

lim =

Considero il

→∞

 ∞ ∞

∑ ∑

∈ (0, +∞) →

Se hanno lo stesso carattere

=1 =1

 ∞ ∞

∑ ∑

= 0

Se e converge allora anche converge

=1 =1

 ∞ ∞

∑ ∑

= ±∞

Se e diverge allora converge

=1 =1

CRITERIO DI LIBENIZ

Data la serie alternata ∞

∑(−1)

=1

( lim = 0)

Se è infinitesima e è monotona decrescente, allora

→∞ ∞

∑(−1)

=1

è convergente

CRITERIO DEL RAPPORTO

Sia ∞

∑

=1

≠ 0

Una serie a termini positivi tale che

+1

lim

Supponiamo che esista il

→∞ 3

 < 1

Se la serie converge

 > 1

Se la serie diverge

 = 1 nessuna condizione

CRITERIO DELLA RADICE ∞

∑

=1

Una serie a termini positivi

( )

lim √ =

Supponiamo esista

→∞

 > 1

Se la serie diverge

 < 1

Se la serie converge

 = 1

Se non posso dire niente

CRITERIO DI CONDENSAZIONE (O CAUCHY)

Sia ∞

∑

=1

Una serie a termini positivi con una successione decrescente, allora

∞ ∞

∑ ∑

2

2

=1 =1

Hanno lo stesso carattere

CRITERIO DELL’INTEGRALE

[1, +∞]

: → = () ≥ 1

Sia e sia con

[1, +∞]

Se la funzione è continua, positiva e decrescente nell’intervallo la

∞

∑

=1

∞ ( )

↔

Converge converge ∫

1

DIMOSTRAZIONE 4

(2) (3) ( )

+ + () <

Dalla prima figura segue che ∫

1

( ) (1) (2) ( 1)

< + + ⋯ + −

∫

1 ( )

+∞

Se l’integrale improprio tra 1 e di converge, si ha

( )

∫

lim =

→∞ 1

(2) (3) ()

+ + <

Quindi dalla prima espressione ∞

∑

() − (1) <

Detta la somma parziale ennesima della serie si ha che

=1

lim

Per la positività della funzione la successione è crescente e si ha che esiste ed è finito e

→∞

lim − 1 = ,

pertanto la serie converge. Viceversa, se la serie converge si ha che per la

→∞

( ) ( )

lim ≤ ,

positività di la successione è crescente e quindi il quindi da

∫ ∫

1 1

→∞

( )

lim

questo ne segue che esiste ed è finito.

∫

1

→∞

Considero la serie dei moduli ∞ |

∑|

=1

DEFINIZIONI

Una serie si dice assolutamente convergente se converge la serie dei moduli

Una serie assolutamente convergente è convergente.

SERIE DI POTENZE ∞

∑

=1

è una successione di numeri reali

Si calcoli il raggio di convergenza (R)

1 +1

= = lim √ = lim

dove oppure

→∞ →∞

 = 0 = 0

Se la serie converge solo in

 = ∞

Se la serie converge in tutto

 0 < < +∞ (−, )

Se la serie converge

TEOREMA DI DERIVAZIONE PER SERIE ∞

( ) ∑

=

=0

La sua derivata 5

∞

′

( ) ∑

= − 1

=1

Ha lo stesso raggio di convergenza della serie data

TEOREMA DI INTEGRAZIONE PER SERIE ∞

( ) ∑

=

=0

Con raggio di convergenza R [0, ] | |

<

Allora la funzione() è integrabile in ogni intervallo con

Si ha che ∞

+1

()

∫ ∑

= +1

0 =0

La serie integrale ha lo stesso raggio di convergenza della serie data.

FUNZIONI DA TRASFORMARE IN SERIE

Se è derivabile n volte in un intorno 0 2 ( )

( − ) −

0 0

()

′ ′′

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= + − + + ⋯ + + ( , − )

0 0 0 0 0 0 0

2! !

Se è derivabile infinite volte ∞ () ( )

0

( ) ∑

= ( − )

0

!

=0

Quando ciò è vero si chiama serie di Taylor taylor zia

lim ( , − ) = 0

Per far sì che la serie di Taylor esista deve essere 0 0

→∞

= 0

Se si parla di serie di Mc Laurin

0

ℝ

PROPRIETA’ DI

DEFINIZIONE DI INSIEME APERTO

Se tutti i punti sono interni all’insieme, ovvero se

( )/

∀∃ ( ) ⊆

0 0

DEFINIZIONE DI INSIEME LIMITATO 2

⊆

È limitato se ∃ > 0/(, 0) < ∀ 6

> 0

Cioè se C è contenuto in un cerchio di centro 0=(0,0) e raggio

DEFINIZIONE INTORNO CIRCOLARE ( , )

0

( , ). ,

Di centro L’insieme dei punti tale che la distanza (, )< ovvero

0 0 0 0

2 2 2 2

( ) {(, ) }

, = ∈ : ( − ) + ( − ) <

0 0 0

DEFINIZIONE DI PUNTO DI ACCUMULAZIONE

2

Dato A⊆ si dice che è punto di accumulazione per A se in ogni intorno del punto c’è almeno

0

un elemento dell’insieme A diverso da .

0

DEFINIZIONE PUNTO ISOLATO

Un punto si dice isolato se non è di accumulazione

DEFINIZIONE DI FRONTIERA DI A ()

2 2

Dato A⊆ un punto si dice di frontiera per A se ogni suo intorno contiene sia punti di A

0

( ),

che del complementare di A.

DEFINIZIONE DI SOTTOINSIME CHIUSO

⊆

C è chiuso se il complementare è aperto, o anche se contiene tutti i suoi punti di

accumulazione ̅)

DEFINIZIONE DI CHIUSURA DI A ( ̅

∪

Dato A⊆ la chiusura di A è l’insieme e rappresenta il più piccolo chiuso contenente A.

DEFINIZIONE DI INSIEME CONNESSO

2

→ ,

D⊆ è connesso se non esistono due insiemi , non vuoti, entrambi chiusi (o entrambi

2

∩ ) ∪ ( ∩ ).

aperti) disgiunti tale che D=(

1 2

 2

Un insieme aperto A⊆ si dice connesso se A non è l’unione di due insiemi aperti

entrambi non vuoti e disgiunti.

 Intuitivamente è un insieme formato da un solo pezzo

DEFINIZIONE INSIEME CONVESSO

Se per ogni coppia di punti appartenenti all’insieme, il segmento di estremi è tutto

1 2 1 2

contenuto in C

DEFINIZIONI SUCCESSIONI IN



{ } ⊆

Una successione è un applicazione che associa ad ogni il punto

→ )

(



{ } → , → +∞) ∀ > 0 ∃ = > 0/per

converge a ( ovvero per se

2

=1 2

‖ ‖ (√∑

> → − < ( − )

7

FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI : → 2 3

( )

È di due (tre o n) variabili se il suo dominio è un sottoinsieme di

3 {, )}

, : = (,

Il grafico di una funzione di 2 variabili è il sottoinsieme di

LINEE DI LIVELLO

Si chiama linee di livello, l’insieme delle (, ): (, )

=

DEFINIZIONE DEL LIMITE DI FUNZIONE DI PIU’ VARIABILI

: ⊂ →

Sia è una funzione di n variabili

 ()

lim =

→

0

Se ∀( )

∀ > 0 > 0: , ∩ , ≠

0 0

Si ha che | () |

− <

Nel caso 2 variabili

 (, )

lim =

(,)→( , )

0 0

Allora 2 2 | ( ) |

√(

∀ > 0∃: − ) + ( − ) < → − <

0 0

 (, )

lim = +∞

(,)→( , )

0 0

Se 2 2

√(

∀ > 0: − ) + ( − ) < → () >

0 0

OSSERVAZIONE (, )

∃ lim =

Se (,)→( , )

0 0 2 2

‖ ‖

= ( , ) = ) + ( )

√(

Allora fissata una qualunque direzione con =1

1 2 1 2

Allora si verifica che ( )

lim + , + =

1 0 2

→0

Viceversa, se esiste il limite direzionale in un punto questo non garantisce l’esistenza del limite. 8

TEOREMI VALIDI

 Teorema sulle operazioni tra limiti

 Teorema di unicità del limite

 Teorema della permanenza del segno

 Teorema dei carabinieri

DEFINIZIONE DI UNA FUNZIONE LIMITATA

Se

: ⊆ →

È limitata se lo è la sua immagine |()| ≤

COROLLARIO TEOREMA DEI CARABINIERI

Siano, due funzioni definite su un sottoinsieme A di

() → →

Supponiamo limitata e per 0

Allora (). ()

lim = 0

→

0

DIMOSTRAZIONE |()| |(). ()|

< 0 < ≤ . ()

è limitata quindi se considero ().

() → 0, () → 0

Il secondo membro tende a zero perché allora anche

COORDINATE POLARI

 =

+

0

 =

+

0

 2 2

= − ) + ( − )

√( 0 0

 0 ≤ ≤ 2

TEOREMA (PASSAGGIO A COORDINATE POLARI NEI LIMITI)

2

: ⊂ → = ( , )

Sia e un punto di accumulazione per A

0 0 0

Allora (, )

lim = ↔ lim ( +

, + ) =

0 0

(,)→( , ) →0

0 0

Uniformemente rispetto a

Ovvero il limite è uniforme in se ∀[0,2]

∀ > 0∃ > 0: 0 < <

Si ha 9

| ( ) |

+ <

, + −

0 0

CONDIZIONE SUFFICIENTE PER IL LIMITE UNIFORME RISPETTO A

∃ () > 0 )

Mostrare che (che non dipende da tale che

 | ( ) | [0,2]

+ − ≤ ()∀ ∈

, +

0 0

 ()

lim = 0

→0

DEFINIZIONI DI FUNZIONI CONTINUE

Si dice che una funzione è continua in un dominio D se è continua in ogni punto dell’insieme,

(, )

lim = ( , )

ovvero se 0 0

(,)→( , )

0 0

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

: ⊆ → continua ()

Se D è un connesso allora è connesso

DIMOSTRAZIONE

Ragioniamo per assurdo

() ()

non è connesso allora esistono A,B sottoinsiemi di aperti tali che

 ∪ = ()

A

 ∩ =∅

A

Sia  ̂ −1 ()

=

 ̂ −1 ()

=

̂ ̂

e sono due insiemi aperti perché immagini di aperti, allora segue che

 ̂ ̂

∪ =

 ̂ ̂

∩ = ∅

Allora D non è connesso, ma ciò è assurdo perché contraddice l’ipotesi

Se

: ⊆ → è ,

[( ), )]

∀ , , ( ⊂ ()

1 2 1 2

, () →tutti

Alternativamente prese i valori compresi tra sono assunti dalla

1 2 1 2

funzione. 10

DEFINIZIONE DI CONTINUITA’ IN UN PUNTO CON SUCCESSIONI

2

: ⊆ →

e continua in e dato punto di accumulazione

0 0

∀ ( )

Diciamo che è continua in se successione in A e tale che

0

lim =

0

→∞

Allora ( ) ( )

, → , → ∞

0 0

TEOREMA DI BOLZANO

Sia

: ⊆ → ()

La funzione è continua e A un sottoinsieme connesso. Allora l’immagine della funzione è un

() [ (), ()]

=

intervallo. In particolare se A è un insieme chiuso e limitato

TEOREMA DEGLI ZERI

Sia

: ⊆ →

Una funzione continua e A un insieme aperto connesso. Se esistono 2 punti