Analisi 2

Il corso di Analisi Matematica 2 al Politecnico di Milano è una prosecuzione del

percorso iniziato con Analisi Matematica 1, focalizzandosi su concetti avanzati

dell'analisi matematica applicati all'ingegneria e alle scienze fisiche. Questo corso è

fondamentale per fornire agli studenti gli strumenti matematici necessari per

affrontare problemi complessi nelle loro future carriere professionali.

Contenuti Principali del Corso:

Funzioni di più variabili: Studio di limiti, continuità, derivate parziali, differenziabilità e

applicazioni come il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per l'ottimizzazione

vincolata.

Equazioni differenziali ordinarie: Analisi di equazioni del primo e del secondo ordine,

metodi di risoluzione, esistenza e unicità delle soluzioni.

Serie di Fourier: Espansione di funzioni periodiche in serie trigonometriche, criteri di

convergenza e applicazioni.

Integrali multipli: Calcolo di integrali doppi e tripli, cambiamenti di variabili e

applicazioni geometriche e fisiche.

Curve e superfici nello spazio: Parametrizzazioni, calcolo di lunghezze, aree e

applicazioni correlate.

Integrali di linea e di superficie: Calcolo del lavoro di campi vettoriali, flussi attraverso

superfici e teoremi fondamentali come quelli di Gauss e Stokes.

Organizzazione del Corso:

Il corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni pratiche. Le modalità di valutazione

includono una prova scritta, focalizzata sulla risoluzione di esercizi, e una prova orale,

incentrata su definizioni, enunciati e dimostrazioni di teoremi. Durante l'anno

accademico, sono previste due prove in itinere che possono esonerare dalla prova

scritta finale se superate con successo.

BRAMANTI

Materiale Didattico:

Il testo di riferimento principale è "Analisi Matematica 2" di M. Bramanti, C.D. Pagani e

S. Salsa, edito da Zanichelli. Per la pratica degli esercizi, è consigliato "Esercitazioni di

Analisi 2" di M. Bramanti, edito da Esculapio. Inoltre, sono disponibili video delle lezioni

ed esercitazioni per supportare lo studio individuale.

. Funzioni di più variabili

Definizione e proprietà: Funzioni con dominio in

�

�

R

n e codominio in

�

R.

Limiti e continuità: Calcolo di limiti per funzioni di più variabili, criteri di esistenza e

casi di non continuità.

Derivate parziali:

Definizione e interpretazione geometrica.

Derivate direzionali e gradiente (

∇

�

∇f).

Applicazioni: piani tangenti e linearizzazione.

Differenziabilità: Criteri per la differenziabilità di una funzione e relazioni con il

gradiente.

Massimi e minimi: Studio di punti critici, matrice Hessiana, e test della derivata

seconda.

Ottimizzazione vincolata: Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

2. Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO)

Definizione e classificazione: Equazioni del primo ordine, ordine

�

n, lineari e non lineari.

Metodi di risoluzione:

Equazioni del primo ordine: separazione di variabili, equazioni esatte, metodo di

integrazione fattorizzata.

Equazioni lineari del secondo ordine: soluzione generale, metodo dell’omogenea e del

particolare.

Teoremi di esistenza e unicità (senza dimostrazione).

Applicazioni fisiche: Oscillatori armonici, modelli di crescita, circuiti elettrici.

3. Serie di Fourier

Concetti di base:

Espansione in serie trigonometriche di funzioni periodiche.

Calcolo dei coefficienti di Fourier.

Criteri di convergenza:

Teorema di Dirichlet.

Convergenza puntuale e uniforme.

Applicazioni:

Risoluzione di equazioni differenziali con condizioni al contorno.

Analisi spettrale.

4. Calcolo Integrale per Funzioni di più Variabili

Integrali doppi e tripli:

Interpretazione geometrica.

Tecniche di calcolo in coordinate cartesiane, polari, cilindriche e sferiche.

Teoremi di Fubini e Tonelli: Permutazione degli ordini di integrazione.

Cambiamento di variabili: Determinanti Jacobiani per trasformazioni di coordinate.

Applicazioni: Calcolo di aree, volumi, baricentri, momenti d’inerzia.