Analisi Matematica 2

Appunti di analisi matematica 2

Derivate parziali

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}\] \[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + k) - f(x_0, y_0)}{k}\]

Il vettore che ha per componenti le derivate parziali di \( f \) in \( (x_0, y_0) \) si dice gradiente di \( f \), calcolato in \( (x_0, y_0) \) e si indica con: \[\nabla f(x_0, y_0) \quad \circ \quad Df(x_0, y_0) \quad \circ \quad \text{grad } f(x_0, y_0)\]

Piano tangente

\[\begin{cases} z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x-x_0) \\y = y_0 \end{cases}\] \[\begin{cases} z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y-y_0) \\x = x_0 \end{cases}\] \(\downarrow\) \[z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y-y_0)\]

Differenziabilità

Si dice che \( f: A \to \mathbb{R} \) è differenziabile in \( (x_0, y_0) \in A \) se: \[\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0, y_0) - f_x(x_0, y_0)h - f_y(x_0, y_0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0 \quad \text{con } (h,k) - \text{vettore incremento}\] \[df = f_x h + f_y k \Rightarrow \text{differenziale di } f \Rightarrow sia \quad \begin{cases} f_x = x \Rightarrow dx = x \cdot h + 0 \cdot k = h \\f_y = y \Rightarrow dy = 0 \cdot h + 1 \cdot k = k \end{cases}\] \[df = f_x dx + f_y dy\]

Criterio di differenziabilità (condizione sufficiente)

Se in \( (x_0, y_0) \in A \) esistono \( f_x \) ed \( f_y \) e sono continue in \( (x_0, y_0) \Rightarrow f \) è differenziabile. Se \( f_x \) e \( f_y \) sono continue in \( A \Rightarrow f \) è differenziabile in \( A \). Una funzione cui der. par. sono continue in tutto un certo A. si dice di classe C¹(A) se però f ∈ C¹(A).

Calcolo del limite

Si voglia calcolare _{(x,y)→(0,0)} f(x,y)

• Tecnica delle restrizioni: dimostrare che il limite esiste (e non che non esiste) dimostrare che il limite non esiste (e non che "esiste") per dimostrare che il limite esiste e non esiste.
• Tecnica della maggiorazione di f mediante funz. radiali può essere usato per: Maggiorante ~ sia X∈ℝ e y∈ℝ è maggior. se: ∀x∈X ⇒ x≤y_magg. Minorante ~ sia X∈ℝ e g∈ℝ è min. se: ∀x∈X ⇒ x≥y_min.

Formula del gradiente

Sia f: A → ℝ con A aperto di ℝⁿ, f differenziabile in x₀ ∈ A. Allora per ogni verso v esiste la derivata direzionale D_vf(x₀) e vale l'identità: D_vf f(x₀) = ∇f(x₀) · v = ∑_i=1^m (∂f/∂x_i)(x₀) v_i D_vf f(x₀, y₀) = ∇f(x₀, y₀) · v = (∂f/∂x)(x₀, y₀) · cosθ + (∂f/∂y)(x₀, y₀) · sinθ con v(cosθ, sinθ).

Dim lim_{(h, k)→(0,0)} [f(x₀ + tv₁, y₀ + tv₂) – f(x₀, y₀)] / t = 0 ponendo h = t · v₁ k = t · v₂ (lim_t→0 [f(x₀ + tv₁, y₀ + tv₂) – f(x₀, y₀)] / t) – f_x(x₀, y₀)v₁ – f_y(x₀, y₀)v₂ = 0. D_vf f(x₀, y₀) = f_x(x₀, y₀)v₁ + f_y(x₀, y₀)v₂ = 0

Corollario (direzione di max e min. crescita)

Sia f: A → ℝ con A aperto di ℝⁿ, f differenziabile in x₀ ∈ A. Allora il vettore ∇f(x₀) indica la direzione (e il verso) di massimo accrescimento di f, ossia la direzione corrispondente alla minima derivata direzionale. – ∇f(x₀) indica la direzione corrispondente alla minima derivata direzionale (che in generale è negativa). Infine, nella direzione ortogonale al gradiente le derivate direzionali sono nulle.

Se f ∈ C¹(A) ⇒ f è differenziabile in A (cioè f ha un piano tangente) f continua in A, f derivabile in A, f ha derivate direzionali; f vera la formula del gradiente. Se f è continua, derivabile, dotata di tutte le derivate direzionali ⇒ f è differenziabile. Se f è derivabile, dotata di tutte le derivate direzionali ⇒ f continua.

Formule di calcolo per le derivate

1. ∇(λf + βg) = λ∇f + β∇g
2. ∇(fg) = g∇f + f∇g
3. ∇(f/g) = (g∇f - f∇g)/g²

d(λf + βg) = λ df + β