Analisi Matematica 2

Appunti di

Analisi Matematica 2

Antonio Malasomma

Derivate parziali:

∂f/∂x (x₀, y₀) = lim_h→0 [f(x₀ + h, y₀) - f(x₀, y₀)] / h

∂f/∂y (x₀, y₀) = lim_h→0 [f(x₀, y₀ + k) - f(x₀, y₀)] / k

Il vettore che ha per componenti le derivate parziali di f in (x₀, y₀) si dice gradiente di f calcolato in (x₀, y₀) e si indica con:

∀ x (x₀, y₀) o Df(x₀, y₀) = grad f(x₀, y₀)

Piano tangente:

z = f(x₀, y₀) + ∂f/∂x (x₀, y₀)(x - x₀)

y = y₀

z = f(x₀, y₀) + ∂f/∂y (x₀, y₀)(y - y₀)

x = x₀

Differenziabilità:

Si dice che f: A -> R è differenziabile in (x₀, y₀) ∈ A se:

lim_{(h,k)→(0,0)} [f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀, y₀) - f_x(x₀, y₀)h - f_y(x₀, y₀)k] / √(h² + k²) = 0

con (h, k) -> vettore incremento

df = f_xh + f_yk => differenziale di f => sia f_x^* = ∂x = 1h + 0k = h

f_y^* = ∂y = 0h + 1k = k

df = f_xdx + f_ydy

Criterio di differenziabilità: (condizione sufficiente)

Se in (x₀, y₀) ∈ A esistono f_x ed f_y e sono continue in (x₀, y₀) => f è differenziabile.

Se f_x e f_y sono continue in A => f è differenziabile in A

f ∈ C¹(A).

Una funzione f è der. non. scou. continua in tutti e un. A. si dice di class C¹(A) esse. f ∈ C(A)

Lunghezza di un grafico

x :

y = f(t) per t ∈ [a,b]

l(r) = ∫_a^b√1+f'²(t) dt

(1)

ln = Σ_i=1ⁿ [f_i - f_i-1] + Σ_i=1ⁿ [ (x_i - x_i-1)² + [f'(ξ_i) - f'(x_i-1)] ]

(2)

(x_k, f(x_k))

x₁ x₂ x₃ x_n-1

per il Lagrange applicato su f' in [x_i-1, x_i] tale...

f'(ξ_i) - f(x_i) = f'(ξ_i) - f'(x_i-1)

f(ξ_i) = f'(x_i) - f(x_i-1)

x_i - x_i-1

Σⁿ_i=1√(x_i - x_i-1)² + [f'(ξ_i)] (x_i - x_i-1) = Σⁿ_i=1(x_i-x_i-1) √1 + [f'(ξ_i)]²

(3) Lunghezza del grafico : lim_n→∞ ln = ∫_a^b√1+f'²(x)dx

Def: Se una curva r è unione di due curve rettificabili r₁ e r₂, allora r è rettificabile

(a) l(r) = l(r₁) + l(r₂). La stessa prop. si estende ad un numero finito qualsiasi...

In particolare, se una curva r è regolare a tratti, allora r è rettificabile e la sua lunghezza è calocola ancora mediante ...

Im R³ (2 dim.)

(a) l(r) = ∫_a^b√x'²(t) + y'²(t) + z'²(t) dt ...

Lunghezza di un arco di curva regolare è invariante per parametrizzazioni equivarlieti ad ondea per invertimento di orientazioni.

Parametro arco o ascissa curvilinea

La lunghezza dell'arco di curva r(t) per t da a to t è una funzione di t: S(t) = ∫_t0^t√r'²(τ) dτ

... la funzione e poi invertirla,...

Ellica cilindrica:

x = Rcos

y = Rsin

z = pt

R,p,t positivi e fissati.

Essa è una in R^m → ℝ, ℝ → R^m

con m ≥ 3.

Rette semirette sequenti in ℝ^m:

Sia v ∈ ℝ^m un vettore. La retta passante per x₀ e direzione v ha eq. parametrica (imp. vettoriale)

(t) = x₀ + tv per t ∈ ℝ (1) (t) = x₀ + tv per t ∈ [0;α⟩ (2)

(t) = t x₁ + (1-t)x₀ per t ∈ [0,1] (3)

(1) passa per x₀ e dir. v; (2) origine x₀ e dir. verso; (3) segmento di estremi x₀, x₁.

Archi di Curva

Def: Sia I un intervallo in ℝ. Si dice arco di curva continua o comunione in ℝ^m una quadrivale r: I → ℝ^m, continua (ovvero, tale che le componenti sono f. continue).

Def: Il sostegno della curva è l'immagine della funzione, cioè l'insieme dei punti di ℝ^m percorsi dal punto mobile (ovvero la linea geometria, e precisando e della legge con cui è percorsa).

Def: 1) La curva si dice chiusa se vale r(b) = r(a) con I = [a,b] (partenza = arrivo).

2) " semplice se non passa mai dello stesso punto t₁ ≠ t₂ ⇒ r(t₁) ≠ r(t₂)

con l'unica eccezione (r(t₁), = (a,b)), ovvero una c.s. può essere chiusa ma non deve intrecciarsi.

3) " piano se c'è un piano che contiene il proporzo sostegno.

Def: Un arco di curva continuo γ è la copia costitutivi tss da γ continua r: I → IR^m che chiamiamo parametrizzazione della curva, e un insieme dei punti di IR^m (l'immagine di γ), che chiamiamo sostegno della curva.

Arco di Ellisse

x = 3 cos

y = 3 sin

t ∈ [0,π]

t ∈ [0;2]

Esempio 1:

f(x, y) = x² + y²

∇f(x, y) = (2x, 2y)

In (0,0) ∇f(0,0) = (0,0)

Più ci si allontana dall'origine e maggiore è la crescita del gradiente (aumenta la sua norma).

Esempio 2:

f(x, y) = 5 - x² - y²

∇f(x, y) = (-2x, -2y)

In questo caso il ∇f(x, y) ha norma maggiore man mano che ci si allontana dall'origine.

Esempio 3:

f(x, y) = xy

xy = λ

2) Punti singolari interni:

x interni ad A dove ∇f(x) non esiste.

3) Punti sul bordo di A:

Sono infiniti punti.

Teorema:

Se \(x_0\) è interno ad A ed è p.to di max o min

allora ∀f(x_0) = 0 i.e. f_x(x_0) = 0, f_y = 0

Supponiamo sia p. max

f_x (x₀, y₀) = derivata curva in rosso nel punto x₀ = 0 per

teorema 1 dimensione.

IDEM per f_y (x₀, y₀)

• Bordo → (3)
• Interno → non esiste ∇f → (2)
• Esiste ∇f, ma → \( \iota \rightarrow (1) \)
• Allora ∇f = 0

Notazioni:

x₀ si dice p.to di Max Assoluto (Globale) in A

se f(x) ≤ f(x₀) ∀x ∈ A.

x₀ si dice p.to di Max Relativo (Locale) in A

se f(x) ≤ f(x₀) ∀x ∈ B_ε(x₀) con ε → raggio opportuno.

OSS: x₀ p.to max GLOBALE ⇒ x₀ p.to max LOCALE

Pezzo #1

min per t = 0

max per t = 1 e t = -1

• (0, -1) Ⓐ
• (1, 1) Ⓑ
• (-1, 1) Ⓒ

ho questi 3 punti che segno nella figura iniziale.

Il grafo rosso rappresenta la quota a cui si trova il p.to materiale che percorre il pezzo #1.

Pezzo #2

φ₂(t) = f(t, 1) = 1 + 3t² con t ∈ [-1, 3]

• per t = 3 → (1, 3)
• per t = 0 → (1, 0)

Pezzo #3

φ₃(t) = f(t, 3) = t² + 27 con t ∈ [-1, 1]

• max per t = ±1 → (-1, 3), (1, 3)
• min per t = 0 → (0, 3)

Pezzo #4

φ₄(t) = f(-1, t) con t ∈ [-1, 3]

1 = 3t² + 1

Pezzo #2

I p.ti interessanti sono ancora per t = 0 e t = 3 → (-1, 0) e (-1, 3)

Conclusione: abbiamo ottenuto 9 punti candidati al ruolo di p.to di max o min. Basta sostituirli tutti e 9 nella funzione per trovare chi è di max e chi di min.

... con qualche calcolo ... min. (p.ti) = 0 p.ti min (0, 0)

max. (p.ti) = 28 p.ti max (1, 3), (1, 3)