Analisi Matematica

Calcolo integrale: Integrale definito

Sia f : [0,1] → ℝ con f(x) = x². Vogliamo calcolare l'area della regione compresa tra il grafico di f, l'asse x ed i segmenti ad esso perpendicolari, come in figura. A tal fine applicheremo il "metodo di esosmazione" usato da Archimede nel III secolo a.C., ma risalente secondo lo stesso Archimede, ad Eudosso di Cnido, del IV a.C.

Approssimazione dell'area con rettangoli

Cominciamo ad approssimare l'area cercata con l'area di rettangoli contenuti al suo interno. La regione di cui dobbiamo calcolare l'area è:

A = {(x,y) ∈ ℝ² | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ f(x)}

Quindi dividiamo l'intervallo [0,1] a metà e consideriamo il rettangolo in figura. Ovviamente:

Area A > Area R = (1 - 1/2) * f(1/2) = 1/2 * 1/4 = 1/8

Avremmo una migliore approssimazione se dividiamo l'intervallo [0,1] in quattro parti uguali:

Area A ≈ Area R₁ + Area R₂ + Area R₃ = (1/4 * 1/4) * f(1/4) + (1/4 * 1/2) * f(1/2) + (1 - 3/4 * 1/4) * f(3/4) = 1/4 * (1/4)² + (1/4)² * (1/4) * (3/2) * 4 = 1 + 4 + 9 = 7/32

Possiamo continuare... Se dividiamo l'intervallo in n parti uguali, ciascuna di lunghezza 1/n, otteniamo:

Area A > 1/n * f(1/n) + 1/n * f(2/n) + ... + 1/n * f((n - 1)/n)

Calcolo dell'area con il metodo di esaustione

[Calcolo Integrale] [Integrale Definito] Sia f: [0,1] → ℝ f(x) = x². Vogliamo calcolare l'area della regione compresa tra il grafico di f, l'asse x ed i segmenti ad esso perpendicolari, come in figura. A tal fine applicheremo il "metodo di esaustione" usato da Archimede nel ^III secolo a.C., ma risalente secondo lo stesso Archimede, ad Eudossio di Cnido, del ^IV a.C.

Cominciamo ad approssimare l’area cercata con l’area di rettangoli contenuti al suo interno, la regione di cui dobbiamo calcolare l’area è:

A = { (x,y) ∈ ℝ² | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ f(x) }

Quindi dividiamo l’intervallo [0,1] a metà e consideriamo il rettangolo in figura. Ovviamente:

Area A₁ > Area R = (1-1/2) · f(1/2) = 1/2 · 1/4 = 1/8

Avremmo una migliore approssimazione se dividiamo l'intervallo [0,1] in quattro parti uguali:

Area A₁ ≈ Area R₁ + Area R₂ + Area R₃= (1/4) · f(1/4) + (2/4) · f(2/4) + (1 - 3/4) · f(3/4)= 1/4 · (1/4)² + (1/4) · (1/2)² + (1/4) · (3/4)²= 1/4 · 1/16 + 1/4 · 1/4 + 1/4 · 9/16= 1/4 + 4/4 + 9/4 = 7/32

Possiamo continuare... Se dividiamo l'intervallo in n parti uguali, ciascuna di lunghezza 1/n, otteniamo:

Area A ≈ 1/n * f(1/n) + 1/n * f(2/n) + ... + 1/n * f(i/n) + ... + 1/n * f((n-1)/n)

Quindi: Area A > \(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{m-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{m-1} \frac{k^2}{n^2} =\)

= \(\frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{m-1} k^2\)

Calcolo della somma quadratica

Ricalcoliamo la formula, dimostrata per induzione:

\(1 + 2^2 + 3^2 + ... + (m-1)^2 = \sum_{k=1}^{m-1} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}\)

e quindi otteniamo: Area A > \(\frac{1}{n^3} (m-1)m \frac{(2m-1)}{6}\)

Approssimazione dell'area con rettangoli esterni

Adesso procediamo ad approssimare l'area di A, usando la regione nell'unione dei rettangoli "esterni", come in figura:

Se dividiamo l'intervallo \([0,1]\) in due parti uguali:

Area A < Area \(S_1 + S_2 =\)

= \(\frac{1}{2} f\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} f(1) =\)

= \(\frac{1}{2} \left(\frac{1}{4} + 1\right) = \frac{5}{8}\)

Se dividiamo l'intervallo \([0,1]\) in tre parti uguali, otteniamo:

Area A < Area \(S_1 + S_2 + S_3 =\)

= \(\frac{1}{3} f\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{3} f\left(\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{3} f(1) =\)

= \(\frac{1}{3} \left(\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + 1\right) = \frac{1+4+9}{9} = \frac{14}{27}\)

Possiamo continuare... Se dividiamo l'intervallo in n parti uguali, ciascuna di lunghezza \(\frac{1}{n}\), abbiamo:

Area A < \( \frac{1}{n} f\left(\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{n} f\left(\frac{2}{n}\right) + ... + \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) + ... + \frac{1}{n} f\left(\frac{m-1}{n}\right) + \frac{1}{n} f\left(\frac{m}{n}\right) =\)

= \(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{m} f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{m} \frac{k^2}{n^2} = \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{k^2}{m^3 \cdot 6}\)

Allora possiamo concludere che, ∀m∈ℕ: \(\frac{{(m-1)m(2m-1)}}{{6 \cdot m^3}}\)

Teorema del confronto (o dei "carabinieri")

Ricordiamo il Teorema del confronto:

Se \( (a_n)_{n∈ℕ}, (b_n)_{n∈ℕ}, (c_n)_{n∈ℕ} \) sono tre successioni tali che ∀n∈ℕ \( a_n \leq b_n \leq c_n \), se esistono lim \( a_n \) e lim \( c_n \) e \( n \to +\infty \) sono uguali, allora esiste anche lim \( b_n \) ed è uguale a lim \( a_n = \) lim \( c_n \).

Schematizzando: \( a_n \leq b_n \leq c_n \Rightarrow b_n \to \ell \)\( \ell \) \(\to n \) \(\to n \) \(\to \ell \)

Applicando questo teorema al nostro calcolo dell'area, troviamo:

\(\frac{{(m-1)m(2m-1)}}{{6 \cdot m^3}} \leq \text{Area A} \leq \frac{{m(m+1)(2m+1)}}{{6 \cdot m^3}} \Rightarrow \text{Area A} = \frac{1}{3}\)

Questo metodo conduce alla definizione di integrale definito.

Definizione di funzione integrabile secondo Riemann

Sia f : [a,b] \to \mathbb{R} una funzione limitata, allora f è dotata di estremo superiore ed inferiore in \([a,b]\) e ∀ x ∈ \([a,b]\):

\(\inf_{x∈[a,b]} f(x) \leq f(x) = \sup_{x∈[a,b]} f(x) \in \mathbb{R}\)

Partizioni e somma inferiore

Def: Una partizione P di [a, b] è un insieme finito di punti:

P = {x₀, x₁, ..., x_n}

Tale che: a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b. Assegnate due partizioni P e Q di [a, b], diremo che P è meno fine di Q se P ⊂ Q (cioè se Q contiene tutti i punti di P). Per esempio, considerato l'intervallo [1, 2] la partizione P = {1, 1/2, 2} è meno fine di Q = {1, 5/4, 3/2, 7/4, 2}.

Def (somma inferiore): Sia f : [a, b] → R e limitata in [a, b], sia P = {x₀, x₁, ..., x_n} una partizione di [a, b]. Denotiamo con:

I_k = [x_k-1, x_k], k = 1, 2, ..., n e osserviamo che la lunghezza di I_n = (x_n-x_n-1) che [a, b] = ⋃_k=1ⁿ I_k che f è limitata in ogni I_h possiamo:

m_k = inf f(x), x ∈ I_k

e definiamo somma inferiore di f relativa alla partizione P la quantità:

s(f, P) = m₁(x₁ - x₀) + m₂(x₂ - x₁) + m₃(x₃ - x₂) + ... + m_m(x_n-x_m-1) = Σ m_k(x_k - x_k-1), k=1

Nel caso in cui f ≥ 0, s(f, P) rappresenta la somma dell'area di tutti i rettangoli "al di sotto del grafico di f"

Proprietà delle partizioni

[Proprietà] Se π, ρ sono due partizioni di [a,b] e π ⊂ ρ allora s(f,π) ≤ s(f,ρ)

Dim. Se π = {x₀, x₁, ..., x_n}, ρ = {y₀, y₁, ..., y_m} e π ⊂ ρ allora ogni I_k = [ y_k−1, y_k ] è contenuto in un I_k = ( x_k−1, x_k ) e ogni I_k è unione di un numero finito di intervalli I_ℓ. Tutto è più chiaro con un disegno.

Definizione di somma superiore

[Def] (Somma superiore): Se f : [0, b] = ⟩ℜ limitato, se π = {x₀, x₁, ..., x_n} una partizione di [a, b], se ∀k = 1, m I_k = [ x_k−1, x_k ] e si ponga:

H_k = sup f(x) ⟩ ℜ x ⟩ I_k

Si definisce somma superiore di f relativo alla partizione π la quantità:

S(f,π) = H₁(x₁−x₀) + H₂(x₂−x₁) + H₃(x₃−x₂) + ... + H_n(x_n−x_m−1)= ∑_k=1^m H_k ( x_k − x_k−1 )

Nel caso in cui f ≥ 0, S(f,π) rappresenta la somma delle aree dei blocchi “attribuiti” al di “sopra” del grafico di f. Si osservi che:

s(f,π) ≤ S(f,π)

Proprietà delle somme superiori e inferiori

[Proprietà] Se π, ρ sono due partizioni di [a,b] e π ⊂ ρ allora S(f,π) ≥ S(f,ρ)

[Corollario] Siano P e Q due partizioni di [a,b] e f: [a,b]→ℝ e limitate. Allora:

s(f,P) ≤ s(f,P∪Q) = S(f,P∪Q) ≤ S(f,Q)

Quindi le due famiglie:

α_f = { s(f,ϱ) | ϱ partizione di [a,b] }

β_f = { S(f,ϱ) | ϱ partizione di [a,b] }

Sono t.c. di ≤ l'elemento s(f,ϱ) ∈ α_f e s(f,ϱ) ≤ S(f,ϱ) ∈ β_f t.c.:

s(f,ϱ) ≤ S(f,ϱ)

Per l'assioma di completezza di ℝ, esiste, allora, un c ∈ ℝ t.c. ∀ ϱ,ϱ partizioni di [a,b], si ha:

s(f,ϱ) ≤ c ≤ S(f,ϱ)

Quindi: sup_ϱ s(f,ϱ) = c = inf_ϱ S(f,ϱ)

Cioè, c rappresenta l’estremo superiore della somma inferiore ed è minore dell’estremo inferiore di tutte le somme superiori (l’estremo superiore ed inferiore è fatto su tutte le partizioni di [a,b]). In generale, c non coincide con questi sup ed inf. Se però coincide, la funzione si dice integrabile in [a,b].

Definizione di funzione integrabile secondo Riemann

[Definizione] (funzione integrabile secondo Riemann) Sia f: (a,b) → ℝ limitata. Se sup_ϱ s(f,ϱ) = inf_ϱ S(f,ϱ) allora diciamo che f è integrabile secondo Riemann in [a,b] e si pone:

∫_a^b f(x)dx = sup_ϱ s(f,ϱ) = inf_ϱ S(f,ϱ) ∈ ℝ, integrale di f tra estremi a e b.