Analisi matematica 1 - Appunti e quiz

1^a lezione 1/10/2013 prof. Viti Paolo Amaldi I

Cosa è una proposizione? È un enunciato del quale si può dire se è vero o è falso. Dunque una proposizione logica porta con sé un valore di verità.

ES. 2 > 1 è una proposizione con valore di verità Vero.5 < 4 è una proposizione con valore di verità Falso.1 ≥ 1 è una proposizione con valore di verità Vero, perché 1 non è maggiore di uno, ma uguale ad uno sì, quindi è vera.

N.B. Se scrivo 1 = 0,9… è vero, perché scrivere 0,99 è un altro modo per scrivere 1, infatti se scrivo:

0,3̅ è uguale a 1/3, ora affinché i decimali osservino 1 moltiplico per 3 quindi 1/3 x 3 = 1, ma 1/3 = 0,3̅ quindi 0,3̅ x 3 = 1.

Connettivi logici

A partire da proposizioni logiche, possiamo ottenerne altre attraverso operazioni logiche espresse da simboli detti connettivi logici.

L'operazione più semplice è la negazione logica indicata con il simbolo p, tale proposizione ¬p è vera se p è falsa, ed è falsa se p è vera.

ES. Se p = "π è un numero razionale" → ¬p = "π è un numero irrazionale."si nota che p è falsa, allora ¬p è vera.

La congiunzione logica di due proposizioni p e q è la proposizione p ∧ q la quale è vera se p e q sono entrambe vere, ed è falsa in tutti gli altri casi.

Invece la disgiunzione logica di p o q è la proposizione p ∨ q è letta p oppure q la quale è falsa se p e q sono entrambe false, ed è vera in tutti gli altri casi.

ES. Sia p = "π è un numero razionale" e q = "4 è un numero pari", la proposizione p ∧ q è vera se entrambe sono vere, ma non è questo il caso. Allora p ∧ q è falsa.

Mentre p ∨ q è falsa se sono entrambe false, ma non è questo il caso perché q è vera, quindi p ∨ q è vera.

"Se è vera l'ipotesi p, allora è vera la tesi q," oppure "condizione sufficiente affinché sia vera la tesi q è che sia vera l'ipotesi p". Tali enunciati sono forme linguistiche diverse della stessa proposizione logica p => q, detta implicazione logica. Per definizione la prop. p => q è falsa se p è vera e q è falsa, mentre è vera in tutti gli altri casi; in poche parole l'implicazione stabilisce che da una premessa vera si possa dedurre una conclusione falsa. Si può verificare facilmente che che la prop. p => q ha gli stessi valori di verità della prop. ¬p ∨ q.

"La tesi q, è vera se e solo se l'ipotesi è vera," oppure "condizione necessaria e sufficiente affinché sia vera la tesi q è che sia vera l'ipotesi p". Tali enunciati corrispondono alla proposizione p q, detta equivalenza logica. Essa è vera se p e q hanno gli stessi valori di verità; è falsa quando p e q hanno valori di verità differenti.

Predicati

Chiamiamo predicato logico un enunciato p(x) dipendente da uno o più argomenti x, cioè da variabili libere. Se scelgo un valore c, nom e una proposizione perchè non posso attribuirle un valore di verità, mentre un predicato p(x)

P(x) : x < 4, non appena do dei valori alla variabile ottengo una proposizione perché posso dire se è vera o è falsa.

ES. P(2) = 2 < 4 è VERA!P(5) = 5 < 4 è falsa!

Quantificatori

Dato un predicato p(x) è lecito chiederci se l'enunciato p(x) sia vero per tutti i valori di x oppure chiederci se esista un elemento x per cui p(x) sia vero. Quando ci poniamo ciò stiamo considerano le due proposizioni logiche:

• ∀x, p(x) ("che leggiamo per ogni x è vero p(x)")
• ∃x, p(x) (che leggiamo esiste almeno un x, per cui è vero p(x))

ES. Dimostrare che 5^1/2, 7^1/3, 2^1/2 non sono razionali.

Teorema.

Da una dimostrazione ipotizzo che sono irrazionali.

(Irr xx^sz), benediciamo per un numero non razionale.

Dimostriamo per assurdo y = p/q, {x ∈ R | Q}.

Suppongo che x + y sia razionale, del tipo x + y = m/n con m, n ∈ Z, n ≠ 0.

Nego per l'assurdo che la somma sia razionale

Sottounioni di R

L'idea abb. nella retta reale qualsiasi è considerare dei punti.

Gli intervalli sono esempi particolari della retta R:

• [a, b] = interv. chiuso : {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
• (a, b] = interv. semic. a s.: {x ∈ R | a ≤ x < b}
• [a, b) = interv. semic. a dx : {x ∈ R | a < x ≤ b}
• (a, b) = interv. aperto : {x ∈ R | a < x < b}

ES. [a1, +∞ [ = {x ∈ R | x ≥ a} geometra

( -∞, b] geometra : {x ∈ R | x ≤ b}

Insieme X in _sup(A se soddisfa queste equiizioni: