Analisi matematica 1 - Appunti e quiz

Prima lezione: 1 ottobre 2013

Cosa è una proposizione?

È un enunciato del quale si può dire se è vero o è falso. Dunque una proposizione logica porta con sé un valore di verità.

Esempi:

• 2 ≥ 1 è una proposizione con valore di verità Vero.
• 5 < 4 è una proposizione con valore di verità Falso.
• 1 ≥ 1 è una proposizione con valore di verità Vero, perché 1 non è maggiore di uno, ma uguale ad uno sì, quindi è vera.

Nota bene: Se scrivo 1 = 0,9̅ è vero, perché scrivere 0,9̅ è un altro modo per scrivere 1. Infatti, se scrivo:

0,3̅ è uguale a 1/3. Ora obblìche 1/3 diventa 1/3moltiplico per 3 quindi 1/3 · 3 = 1, ma 1/3 · 3 = 0,3̅ quindi 0,3̅ · 3 = 1.0,9̅ = 1.

Connettivi logici

A partire da proposizioni logiche, possiamo ottenerne altre attraverso operazioni logiche espresse da simboli detti connettivi logici.

L'operazione più semplice è la negazione logica indicata con il simbolo ¬ p; tale proposizione ¬ p è vera se p è falsa, ed è falsa se p è vera.

Esempio: Se p: "2 è un numero razionale", ¬ p: "2 è un numero irrazionale" si nota che p è vera, allora ¬ p è falsa.

La congiunzione logica di due proposizioni p e q è la proposizione p ∧ q, la quale è vera se p e q sono entrambe vere, ed è falsa in tutti gli altri casi.

Invece la disgiunzione logica di p e q è la proposizione p ∨ q, è letta p oppure q, la quale è falsa se p e q sono entrambe false, ed è vera in tutti gli altri casi.

Esempio: Siano p: "2 è un numero razionale" e q: "2 è un numero pari"; la proposizione p ∧ q è vera se entrambe sono vere, ma non è questo il caso. Allora p ∧ q è falsa. Mentre p ∨ q è falso se sono entrambe false, ma non è questo il caso perché p è vera, quindi p ∨ q è vera.

"Se è vera l'ipotesi p, allora è vera la tesi q," oppure "condizione sufficiente affinché sia vera la tesi q, è che sia vera l'ipotesi p". Tali enunciati sono pure riformulazioni diverse della stessa proposizione logica p=>q, detta anche implicazione logica. Per definizione la prop. p=>q è falsa se p è vera e q è falsa; mentre è vera in tutti gli altri casi; in poche parole l'implicazione si verifica solo nel caso che da una premessa vera si possa dedurre una conclusione falsa.

Si può verificare facilmente che data la prop. p=>q la seguente riduzione di verità alla prop. p∨q.

"La tesi q è vera se e solo se l'ipotesi p è vera,"; oppure "condizione necessaria e sufficiente affinché sia vera la tesi q è che sia vera l'ipotesi p", tali enunciati corrispondono alla proposizione p≡q, letta essa p equivalente a q, detta doppia implicazione logica. Essa è vera se p e q hanno gli stessi valori di verità; è falsa quando p e q hanno valori di verità differenti.

Predicati

Chiamiamo predicato logico un enunciato p(x) dipendente da uno o più argomenti x, detti da variabili libere. Se scelgo x=4, non è più una proposizione perché non posso attribuirle un valore di verità; bensì un predicato p(x).

P(x): x<4, non appena do dei valori alla variabile ottengo una proposizione perché posso dire se è vera o è falsa.

Esempi:

• p(2) = 2<4 è vera!
• P(5) = 5<4 è falsa!

Quantificatori

Dato un predicato p(x) è lecito chiedersi se l'enunciato p(x) sia vero per tutti i valori di x, oppure chiedersi se esista un elemento x per cui p(x) sia vero. Abbiamo in pratica ciò stiamo considerando le due proposizioni logiche:

• ∀x, p(x) (che leggiamo per ogni x è vero p(x))
• ∃x, p(x) (che leggiamo esiste almeno un x per cui è vero p(x))

Il simbolo ∀ è detto quantificatore universale mentre il simbolo ∃ è detto quantificatore esistenziale. (Talvolta vi è un terzo quantificatore ! che significa esiste esattamente un elemento.)

Esempio: "p(x):= x < 4"   ∀x, p(x) è una prop!

"∀x, x < 4" vuol dire che qualunque valore x della variabile p(x) è vero, cioè non è falso! Quindi ∀x, p(x) è una prop. falsa, mentre la sua negazione, cioè ¬ (∀x, p(x)) ⇔ ∃x, ¬ p(x) è vera.

Negazione (∀x, p(x)) ⇔ ∃x, ¬p(x)    ¬ (∃x, p(x)) ⇔ ∀x, ¬p(x)

L'ordine in cui scriviamo i quantificatori è importante. Precisamente due quantificatori dello stesso tipo possono essere scambiati, mentre se non sono dello stesso tipo no!

• ∀x ∀y, p(x,y) ⇔ ∀y ∀x, p(y,x)
• ∃x ∃y, p(x,y) ⇔ ∃y ∃x, p(x,y)

Esempio: x=√2 è un numero razionale che x∉Q.

Teorema

Dimostrare che non esiste alcun numero razionale ...