Analisi Matematica

Teorema di unicità del limite

Sia f: X → R, x₀ punto di accumulazione

per X, l₁ ∈ R, l₂ ∈ R

se

lim_x→x₀ f(x) = l₁ e lim_x→x₀ f(x) = l₂

allora l₁ = l₂.

Dim.

Per assurdo l₁ ≠ l₂.

Sia (a_n) una successione tale che

• ∀n ∈ N: a_n ∈ X \ {x₀}
• lim_n a_n = x₀.

Siccome lim_x→x₀ f(x) = l₁, allora, per la proposizione precedente, lim_n f(a_n) = l₁.

Siccome lim_x→x₀ f(x) = l₂, allora, per la proposizione precedente, lim_n f(a_n) = l₂.

Siccome vale il teorema di unicità del limite per le successioni, la successione (f(a_n))_n∈N ha un unico limite o non ha limite.

Dunque lim_n f(a_n) è unico e perciò l₁ = l₂, contro la nostra ipotesi per assurdo.

Teorema

Esiste ^lim_x→0 (1 + ¹/_x)^x ed esiste ^lim_x→∞ (1 + ¹/_x)^x e si ha che

^lim_x→+∞ (1 + ¹/_x)^x = e = ^lim_x→-∞ (1 + ¹/_x)^x.

Siccome ∀ amn successione tale che ^lim_n a_n = +∞

oppure ^lim_n am = -∞ si ha

^lim_m (1 + ¹/_am)^a_m = e,

per la proposizione precedente si ha la tesi.

Lemma (cambio di variabile nel limite)

Siano f: X̄ → ℝ, g: Ȳ → ℝ, f(X̄) ⊂ Ȳ,

x_₀∈ℝ punto di accumulazione per X̄

(eventualmente +∞ o -∞ se X̄ è illimitato superiormente o inferiormente).

Se

1. ^lim_x→x₀ f(x) = y_₀ e y_₀ è punto di accumulazione per Ȳ(eventualmente +∞ o -∞)

2. ^lim_y→y₀ g(y) = l ∈ ℝ_₀{+∞, -∞}

3. ∃ U intorno di x_₀ tale che ∀x ∈X̄ ∩ U, x ≠ x_₀:

   f(x) ≠ y_₀ (nel caso x_₀ = ±∞ U del tipo I_α, +∞ I_α

si dice "funzione differenza di f e g".

• la funzione f-g: X→ℝ l.c. ∀x∈X: (f-g)(x)=f(x)-g(x)
• si dice "funzione prodotto di f e g".
• la funzione definita in X_o = {x∈X|g(x)≠0}:
• f/g: X_o→ℝ l.c. ∀x∈X_o: (f/g)(x)=f(x)/g(x)

si dice "funzione rapporto di f e g".

- Teorema

• siano f: X→ℝ, x_o punto di accumulazione per X, l₁ = lim f(x), l₂ = lim g(x).
• Se l_i∈ℝ allora lim_x→xo(f±g)(x)=l₁±l₂
• lim_x→xo(f·g)(x) = l₁·l₂
• Se l₁∈ℝ e l₂∈ℝ^* allora lim_x→xo(f/g)(x) = l₁/l₂
• Se l₁∈ℝ^* e l₂=0 allora si verifica una delle seguenti possibilità:
• i) lim_x→xo(f/g)(x) = ±∞ a seconda del segno di l₂ e di quello che assume in un intorno del tipo [X∩{x=ξ, x≠x_o}]∩X_o se x_o∈ℝ, o in un intorno del tipo X∩ℝ∩X_o se x_o=±∞, o un intorno del tipo X∩I-^∞, c]∩X_o se x_o=-∞.