Analisi Matematica

Teorema di unicità del limite

Sia f: X → ℝ, x₀, punto di accumulazione per X, ℓ₁ ∈ ℝ ∪ {+∞, -∞} ed ℓ₂ ∈ ℝ ∪ {+∞, -∞}. Se lim_x→x₀ f(x) = ℓ₁ allora lim_x→x₀ f(x) = ℓ₂ allora ℓ₁ = ℓ₂. Dimostrazione. Per assurdo ℓ₁ ≠ ℓ₂.

Sia (aₙ)_ₙ una successione tale che:

1. ∀n ∈ ℕ: aₙ ∈ X \ {x₀}
2. lim_ₙ aₙ = x₀.

Siccome lim_x→x₀ f(x) = ℓ₁, allora, per la proposizione precedente, lim_ₙ f(aₙ) = ℓ₁. Siccome lim_x→x₀ f(x) = ℓ₂, allora, per la proposizione precedente, lim_ₙ f(aₙ) = ℓ₂. Siccome vale il teorema di unicità del limite per le successioni, la successione (f(aₙ))_{ₙ ∈ ℕ} ha un unico limite o non ha limite. Dunque lim_ₙ f(aₙ) è unico e perciò ℓ₁ = ℓ₂, contro la nostra ipotesi per assurdo.

Teorema di unicità del limite

Sia f : X → ℝ, x₀ punto di accumulazione per X, l₁ ∈ ℝ ∪ {+∞, -∞} ed l₂ ∈ ℝ ∪ {+∞, -∞}. Se lim_x→x0 f(x) = l₁ allora l₁ = l₂. Dimostrazione. Per assurdo l₁ ≠ l₂.

Sia (a_n)_n una successione tale che:

• ∀n ∈ N: a_n ∈ X \ {x₀}
• lim_n a_n = x₀.

Siccome lim_x→x0 f(x) = l₁, allora, per la proposizione precedente, lim_m f(a_n) = l₁. Siccome lim_x→x0 f(x) = l₂, allora, per la proposizione precedente, lim_m f(a_n) = l₂. Siccome vale il teorema di unicità del limite per le successioni, la successione (f(a_m))_n∈N ha un unico limite o non ha limite. Dunque lim_n f(a_n) è unico e perciò l₁ = l₂, contro la nostra ipotesi per assurdo.

Teorema

Esiste _{x → +∞} (1 + 1/x)^x ed esiste _{x → +∞} (1 + 1/x)^x e si ha che _{x → +∞} (1 + 1/x)^y = e = _{x → +∞} (1 + 1/x)^x. Dimostrazione. Siccome ha in successione tale che _n a_n = +∞ oppure _n a_n = -∞ si ha _m (1 + 1/a_m)^a_m = e, per la proposizione precedente si ha la tesi.

Lemma (cambio di variabile nel limite)

Siano f: X → R, g: Ȳ → R, f(X) ⊂ Y, x₀ ∈ ℝ punto di accumulazione per X (eventualmente +∞ o -∞ e X è illimitato superiormente o inferiormente).

• Se _{x → x0} f(x) = % e % è punto di accumulazione per Y (eventualmente +∞ o -∞)
• _{y → %} g(y) = I ∈ ℝ ∪ {+∞, -∞}
• ∃U intorno di x₀ tale che ∀x ∈ X ∩ U, x ≠ x₀, f(x) ≠ % (nel caso x₀ = +∞ o U dell’ tipo I\o +∞ I, nel caso x₀ = -∞ allora V del tipo ]-∞, a[)

Allora ∃ im f() = im g(y) = ℓ.

Definizione

Sia ⊆ ℝ, f: → ℝ, x₀ ∈ . Si dice che "la funzione f è continua in x₀" se x₀ è un punto isolato di oppure im f(x) = f(x₀). La funzione f si dice "continua in " se è continua in ogni x₀ ∈ .

Teorema

Le funzioni potenze, esponenziali, logaritmi, senx e cosx sono continue. Dimostrazione. Proviamo, a titolo di esempio, che la funzione f : ℝ → ℝ tale che ∀ x ∈ ℝ : f(x) = e^x è continua. Dobbiamo cioè provare che ∀ x₀ ∈ ℝ : im e^x = e^x₀. Mostriamo prima che im e^x = 1, cioè che e^x è continua in 0. Dobbiamo provare che ∀ε>0, ∃δ>0 t.c. ∀x∈ℝ, 0<|x|<δ: 1+x<e^x<1+2x. Sia ε0. Posso supporre ε sufficientemente piccolo affinché 1-ε0, quindi, l'intervallo (log(1-ε...")