Estremo superiore/inferiore
Se A ⊂ ℝ, A ≠ ∅. KER si dice maggiore (minore) di A se α ≤ K ∀α ∈ A. ⇒ Se A possiede almeno un maggiorante ⇒ A è limitato sup/inf.
Massimo/minimo
Se un maggiorante (minore) di A ⊂ ℝ appartiene ad A, tale mass (min) è massimo (minimo) di A.
Estremo superiore-inferiore
Se A ⊂ ℝ, P ∈ A e l'estremo superiore xe è il più piccolo dei maggioranti di A (estremo inf se x è il più grande dei minoranti).
l = sup Ai: ∀x ∈ A/x ≤ lii: ∀ ℰ > 0 ∃ x ∈ A/x ≥ l - ℰ (l è il più piccolo dei maggioranti)
l = inf Ai: ∀ x ∈ A/x ≥ lii: ∀ ℰ > 0 ∃ x ∈ A/x ≤ l + ℰ (l è il più grande dei minoranti)
K = sup A (più piccolo dei mass)
K = inf A ⊂ A ∋ ℝ
Assioma di Dedekind (assioma di completezza)
Ogni insieme S di numeri reali, se non sia vuoto e sia limitato superiormente, possiede un estremo superiore ovvero un numero reale uguale o maggiore di tutti gli elementi di S.
Esempio: Se è il numero dei numeri il cui quadrato è inferiore a 2 S = {x ∈ ℝ | x² Questo assioma è indispensabile per dimostrare che la retta è uno spazio metrico completo!
Estremo superiore/inferiore
Se A ⊂ R, A ≠ Ø. KER si dice maggiorante (minorante) di A se α ≤ K ∀α∈A=> se A possiede almeno un maggiorante => A è limitato sup/inf.
Massimo/minimo
Se un maggiorante (minorante) di A ⊂ R appartiene ad A, tale mass (min) è massimo (minimo) di A.
Estremo superiore-inferiore
Se A ⊂ R, P ⊂ A e l'estremo superiore Xₑ è il più piccolo dei maggioranti di A (estremo inf se xₑ è il più grande dei minoranti).
Definizione
l = sup A : ∀x∈A / x ≤ l (l è maggiorante) / ∀ε∃x∈A / x > l - ε (l è il più piccolo dei max)
l = inf A : ∀x∈A / x ≥ l (l è minorante) / ∀ε∃x∈A / x < l + ε (l è il più grande dei min)
K = inf A (il più piccolo dei max)
Insieme A
- Minorante
- K minimo
- K massimo
- Maggioranti
Assioma di Dedekind (assioma di completezza)
Ogni insieme S di numeri reali, che non sia vuoto e che sia limitato superiormente, possiede un estremo superiore ovvero un numero reale uguale o maggiore di tutti gli elementi di S.
Esempio: Se è l'insieme dei numeri il cui quadrato è inferiore a 2 S = {x ∈ R | x² < 2} => SUP S = √2. Questo assioma è indispensabile per dimostrare che la RETTA è UNO SPAZIO METRICO COMPLETO!
Spazio metrico
È un insieme di elementi, detti punti, nel quale è definita una distanza, detta anche metrica. Lo spazio metrico più comune => Spazio euclideo (tridimensionale). È un particolare spazio topologico.
Compattezza, connessione, insieme aperto, chiuso
Definisce una struttura matematica costituita da una coppia di elementi (X, d) dove X è un insieme e d, una funzione distanza metrica che associa a due punti x e y di X un numero reale non negativo d(x,y) in modo da valere le seguenti proprietà:
- d(x,y) > 0 x ≠ y
- d(x,y) = 0 x = y
- d(x,y) = d(y,x)
- d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) (disuguaglianza triangolare)
Disuguaglianza triangolare
È una proprietà matematica. Dato lo spazio metrico (X, d), ∀ x, y, z ∈ X: d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y). All'interno dei numeri reali con la norma euclidea assicura la forma ∀ x, y ∈ ℝ: |x + y| ≤ |x| + |y|.
Disuguaglianza di Young
2|xy| ≤ ε x² + y² / ε ∀ x, y ∈ ℝ, ε > 0. Se ε=1 => 2|xy| ≤ x² + y² (disuguaglianza di Cauchy-Schwartz).
Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz
Dimostrazione: (x + y)² > 0 se xy > 0 => x² + y² + 2xy > 0 => 2xy ≤ x² + y².
(x + y)² > 0 se xy > 0 => x² + y² - 2xy > 0 => 2xy ≤ x² + y². ⇒ 2|xy| ≤ x² + y² c.v.d.
Numeri complessi
Un numero complesso è una coppia ordinata (x, y) di due numeri reali x e y, con forma z = x + iy. Insieme numeri complessi C = x + iy x,y
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