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ESTREMO SUPERIORE/INFERIORE
Se A ⊆ R, A ≠ ∅ ( ∃ x ).
K ∈ R si dice MAGGIORANTE (MINORANTE) di A se ∀ x ∈ K ∀ x ∈ A
⇒ Se A possiede almeno un maggiorante ⇒ A è LIMITATO SUP/INF
MASSIMO/MINIMO
Se un maggiorante (minorante) di A ⊆ R appartiene ad A tale maggiorante (min) è MASSIMO (MINIMO) di A
ESTREMO SUPERIORE-INFERIORE
Se A ⊆ R, ∃ p ∈ A e l'estremo superiore K e il più piccolo dei maggioranti di A (estremo inf se k e il più grande dei minoranti)
DEFINIZIONE
k = supA ∈
∀ x ∈ A/x ≤ k (k e maggiorante)
k è ∈ verso ∃ e/x ∈ A/x ≥ k - e (e il più piccolo maggiore)
k = infA
∀ x ∈ A/x ≥ k (k e minorante)
k è ∈ verso ∃ e/x ∈ A/x ≤ k + e (e il più grande dei minoranti)
ASSIOMA DI DEDEKIND (ASSIOMA DI COMPLETEZZA)
Ogni insieme S di numeri reali che non sia vuoto e che sia limitato superiormente possiede un estremo superiore ovvero un numero reale uguale o maggiore di tutti gli elementi di S.
ES: Se il numero dei numeri il cui quadrato è inferiore a 2 S = {x ∈ R | x2 < 2} ⇒ sup S = √2
Questo assiome è indispensabile per dimostrare che la RETTA è UNO SPAZIO METRICO COMPLETO.
Spazio metrico:
è un insieme di elementi, detti punti, nel quale è definita una distanza detta distanza metrica. Lo spazio metrico più comune ⇒ SPAZIO EUCLIDEO (TRIDIMENSIONALE)
D è un particolare SPAZIO TOPOLOGICO
→ Comattezza, connessione, insieme aperto, chiuso
DEF: È una struttura matematica costituita da una coppia di elementi (X,d), dove X è un insieme e d è una funzione distanza metrica che associa a due punti x e y di X un numero reale non negativo d(x,y) in modo che valgano le seguenti proprietà:
- d(x,y) > 0 x≠y; d(x,y) = 0 x=y
- d(x,y) = d(y,x)
- d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)
* DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE: è una propietà matematica.
Dato lo spazio metrico (X,d), ∀ x,y,z ∈ X: d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)
All'interno dei numeri reali con la norma euclidea assume la forma:
∀ x,y∈R:
|x+y| ≤ |x| + |y|
Scelendo z come l'origine
- -|x|-|y| ≤ x+y ≤ |x| + |y|
- -|x|-|y| ≤ x+y ≤ |x| + |y| ⇒ - (|x| + |y|) ≤ x+y ≤ (|x| + |y|)
⇒ |x+y| ≤ |x| + |y|
Disuguaglianza di Young:
2|x y| ≤ ε x2 + y2 ∀ x,y,ε∈R ε>0
se ε=1 è disuguaglianza di Cauchy-Schwartz
DIM: (x+y)2 >0 se x,y>0⇒ x2 + y2 + 2xy >0 ⇒ 2x y ≤ x2 + y2
(x+y)2 > 0 se x,ycon l'existenza di E
-Un insieme E di numeri reali si dice APERTO se ogni suo elemento è compilato ed E
-Un insieme chiuso E di numeri reali si dice CHIUSO se cE
NOTA:E è aperto ⇔ CE è chiuso
infatti se E1,E2 sono aperti, anche E1nE2 e E1uE2 sono aperti se E1 eE2 sono chiusi, allora anche E1nE2 e E1uE2 sono chiusi
TEOREMA
Sia E=/0 E, disestimazione di R , chiuso , limitato, sup
ALLORA 3 massimo di E
DIM. Consideriamo l'insieme dei maggioranti M1(E)Occare di notare de existee un magiorvant di appartiene ad E come de septo (l'e extremo superiore di E per esample , supponio L=sup E non appertengo ad E- (il complementi di E) , CE, e aperto se L
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