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INSIEMI
x ∈ X ← maiuscola
x ∉ X ← minuscola
INSIEMI DI NUMERI
- N: naturali
- Z: interi relativi
- Q: razionali
- R: reali
- C: complessi
LOGICA BOOLEANA
insieme NON VUOTO X ← universo
SOTTO INSIEME
PROPRIO
A ⊂ X
IMPROPRIO
A ⊆X
"un senso debole"
DIAGRAMMI DI VENN
"rappresentazione grafica"
Come scriviamo un insieme?
A = {x1, y1, ... z}
elementi
{x, y, z, w} è lo stesso che
{y, z, w, x}
NON DIPENDE DALL'ORDINE
Come faccio a scrivere {x, y, z, ...} ∞-ti elementi
A = {x ∈ R | x = (1 - 10)} NON COSI
A \ {ø}
PROPRIETÀ CARATTERISTICA p(x)
A = {x ∈ X : p(x)}
A = {0, 1, 2, ..., 10} A = {x ∈ | x ≤ 10}
"numeri naturali"
{x ∈ X :
t.c. ' tale che '
"V" or "oppure" "CONNETTIVO LOGICO"
Caruto è bravo oppure bello
La proposizione è falsa "SE E solo SE"
Caruto è scarso e pure brutto.
TABELLA DI VERITÀ
OR
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 1
- 0 + 1 = 1
- 0 + 0 = 0
PROPRIETÀ DELL'UNIONE E DELL'INTERSEZIONE
- Proprietà distributiva
- A ∩ C A = ∅
- A ∪ C A = X
- Proprietà commutativa
- A ∩ B = B ∩ A
- A ∪ B = B ∪ A
- Proprietà associativa
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(∼P OR 9)
2) Un'ipotesi falsa può portare ad una tesi falsa'
"SE vinco allora pago una cena"
- se non vinco posso lo stesso pagare una cena
Condizione NECESSARIA affinché io vinca è che paghi la cena se non vinco posso non pagare la cena
- condizione SUFFICIENTE affinché io paghi la cena è che vinca"
"Non puoi fare il furbo vincere e non pagare la cena!"
PREDICATO LOGICO
enunciato dipendente, IN GENERALE da piu argomenti
p(x, y) = 'x ed y sono numeri pari'
A ᴜ B = {x ∈ X s.t. p(x) ∨ q(x)}
OR
Esiste anche lo XOR detto anche 'OR esclusivo'
p q p XOR q V V F V F V F V V F F F'O p'uno o p'altro e non tutte e due o nessuno'
'O esci, o ti boccio!'
Proposta:
se p è t.c. p2 = 2 ⇒ p ∉ Q
Per assurdo
(Hp) p = m/n senza fattori comuni
(Tesi) p2 = m2/n2 = 2
* m2 = 2·m2 ≥ 0
m2 è pari
☺ m è pari
** m = 2·k per un k opportuno
*** 2·4k2 = 2·n2
m2 = 2k2 è pari
♉ n è pari
☺ + ♉ m ed n hanno al meno un 2 in comune
quindi l'ipotesi non è valida!
TRASLAZIONE
x* = x - c
c > 0
|x*|
|x - c| < δ
x ∈ Iδ
- x - c < δ → x > c
- c - x < δ → x < c
- x < c + δ → x > c
- x > c - δ → x < c
DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE
‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
‖x‖p = (∑(|xi|p))1/p
‖x‖2 = √(x12 + x22 + x32 + ...)
||x|| = √(x1, ..., xm)
‖x - y‖ = |x| + |y| ∀x∀y∈ℝ
‖x‖≠0⇔̄x=̄0
|x| = a ⇔ x = ±a ∀a∈ℝ+
|x| ≤ a
x ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a
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