Analisi Matematica 1

 

 

ℝ cos

CAMPO Dire che è un campo significa dire che DOMINIO, IMMAGINE, CONTROIMMAGINE Sia

ℝ : ⊆ ℝ → ℝ.

in sono definite le operazioni di addizione e Ricordiamo che: − +

√6 √2 √6 √2 2 − √3

15° = 12

moltiplicazione con le proprietà commutativa, - D si chiama dominio o insieme di definizione di f; 4 4

∈ , ℝ

associativa e distributiva. - Per l’unico elemento di che f associa a x − 1

√5

18° = √(10 5 − 2√5

+ 2√5)

  si chiama valore di f in x, o anche immagine di x

ESISTENZA DEGLI ELEMENTI NEUTRI Esistono due 10 √

4 5

tramite f; si denota con f(x);

ℝ,

elementi distinti di denotati con 0 e 1, tali che 4

′ ′

)

′ ⊆ , ( ≔ {()| ∈ }

- Per l’insieme si 1

a+0=a, a*1=a √3 √3

30° =

  chiama immagine di D’ tramite f; 6

ESISTENZA DEGLI INVERSI (opposto, reciproco) 2 2 3

- f(D) si chiama immagine di f; notazione

∈ ℝ ℝ,

Per ogni esiste un unico elemento di che si 1

√2 √2

45° =

alternativa imm(f);

denota con –a e si chiama opposto di a, tale che a+(- 4 2 2

⊆ ℝ, { ∈ |() ∈ }

- Per l’insieme si chiama

∈ ℝ\{0}

a)=0. Per ogni esiste un unico elemento di 1

√3 √3

60° =

controimmagine (o immagine reciproca) di Y

-1

ℝ che si denota con a e si chiama reciproco di a, tale 3 2

2

tramite f.

-1

che a*a =1. 1 0 /

 90° =

 

 INFORMAZIONI DEDUCIBILI DA UN GRAFICO

ℝ

CAMPO ORDINATO Dire che è un campo 2

Assegnato il grafico di una funzione f=f(x):

ℝ

ordinato significa dire che in è definita una 180° = 0 −1 0

- dom(f) è la proiezione del grafico sull’asse delle

relazione d’ordine <=, detta relazione di minore o 3 −1 0 /

270° =

ascisse;

uguale, con la proprietà di compatibilità rispetto 2

- imm(f) è la proiezione del grafico sull’asse delle

all’addizione ed alla moltiplicazione. 0° = 360° = 2 0 1 0

 ordinate;



MAGGIORANTE Sia X un qualunque insieme ∈ (), ( )

- per il valore è l’ordinata

totalmente ordinato. Sia E un sottoinsieme non vuoto 0 0

dell’unico punto del grafico di f che si trova sulla

∈

di X e sia X. Diciamo che è un maggiorante di E =

retta di equazione .

≤ ∈ .

(in X) se per ogni 0

 ∈ (),

- per la controimmagine di è

LIMITATO SUPERIORMENTE e ILLIMITATO 0 0

formata dalle ascisse dei punti del grafico di f che

 ------------------------------------------------------------------------

SUPERIORMENTE Se l’insieme dei maggioranti di =

si trovano sulla retta di equazione . 

E in X è non vuoto, diciamo che E è limitato DISEQUAZIONI ELEMENTARI CON LA FUNZIONE

0

 FUNZIONI 

superiormente; in caso contrario, diciamo che E è POTENZA

 ∈ ℝ : ℝ →

- FUNZIONE COSTANTE Sia e sia

illimitato superiormente. < ⇔ <

- n dispari, √

 ℝ () = ∈ ℝ.

tale che per ogni



MAGGIORANTE e ESTREMO SUPERIORE Sia E

> ⇔ >

- n dispari, √

 : ℝ → ℝ

- FUNZIONE IDENTICA Sia tale che

limitato superiormente in X. Supponiamo che esista

> 0, < ⇔ − < <

- n pari, √ √

∈ ℝ.

f(x)=x per ogni

∈ , maggiorante di E, soddisfacente la seguente

≤ 0, < ⇔

 : ℝ ∗→ ℝ

- FUNZIONE RECIPROCO Sia tale che

∈ < ,

proprietà: se allora non è un

> 0, > ⇔ < − >

√ √

1

∈ ℝ ∗.

maggiorante di E. Allora si chiama l’estremo f(x)= per ogni

≤ 0, ≥ ⇔ ∀ ∈ ℝ

superiore di E in X e si denota con il simbolo sup E. 

 : ℝ → ℝ

- FUNZIONE VALORE ASSOLUTO Sia DISEQUAZIONI ELEMENTI CON LA FUNZIONE

 

PROPRIETÀ DELL’ESTREMO SUPERIORE 

∈ ℝ.

tale che f(x)=|x| per ogni Notiamo RADICE

Per

ℝ ∈

- PROPRIETÀ ARCHIMEDEA DI ogni x,y

esplicitamente che: < ⇔ < ≤

- n dispari, oppure

√

ℝ, ∈ ℕ ∗

con x,y>0, esiste tale che nx>y. ≥ 0

≤

√

() = {



ℚ ℝ − < 0

- PROPRIETÀ DI DENSITÀ DI IN Per ogni x,y

> ⇔ > ≥

- n dispari, oppure

√

- FUNZIONE PARTE INTERA INFERIORE O FLOOR

∈ ℝ, ∈ ℚ

con x<y, esiste tale che x<q<y.

≥

√

 : ℝ → ℝ ∀ ∈

Sia definita ponendo f(x)=⌊⌋

 

MINORANTE, LIMITATO/ILLIMITATO INFERIORM.

≥ 0, > ⇔ >

- n pari, √

⌊⌋

ℝ, dove denota il più grade intero minore o

ℝ.

Sia E un sottoinsieme non vuoto di Diciamo che

> 0, < ⇔ 0 ≤ <

√

uguale a x.

∈ ℝ ℝ) ≥

è un minorante di E (in se per ogni

< 0, > ⇔ ∀ ∈ ℝ

 √

- FUNZIONE PARTE FRAZIONARIA O MANTISSA

∈ . Diciamo che E è limitato inferiormente se

≤ 0, < ⇔

: ℝ → ℝ √

Sia definita ponendo m(x) = x -

l’insieme dei minoranti di E è non vuoto; diciamo che ------------------------------------------------------------------------

⌊⌋ ∀ ∈ ℝ.

E è illimitato inferiormente in caso contrario. Sia ESEMPI:

⊆ ℝ : →

- FUNZIONI MONOTÒNE e sia

 

ESTREMO INFERIORE e MINIMO Sia E limitato  6

6 6

+ 1 < 0 ⇔ < −1 ⇔ < ⇔ < −1

√−1

ℝ

inferiormente. Esiste allora in il più grande dei  6 6

6 6

− 4 > 0 ⇔ > 4 ⇔ < −√4 > √4

ℝ. Si diche che f è in

minoranti di E, che si chiama estremo inferiore di E e  7

7 7

− 4 > 0 ⇔ > 4 ⇔ > √4

si denota con inf E. Se inf E appartiene a E, diciamo  8 8

8 8

− 6 ≤ 0 ⇔ ≤ 6 ⇔ −√6 < < √6

che inf E è il minimo di E e lo denotiamo con min E. , ∈ <

D se per ogni tali che si ha

1 2 1 2

  )

( ≤ ( )

LIMITATO SUPERIORMENTE/INFERIORMENTE Sia 1 2  3

3 < 3 ⇔ < 3 ⇔ < 27

⊆ ℝ )

un insieme non vuoto. Se E è limitato sia ( < ( ) √

1 2  4

superiormente che inferiormente, il suo estremo ≥ 2 ⇔ > 16

)

( ≥ ( ) √

1 2 

superiore e il suo estremo inferiore sono due numeri − 8 ≤ 0 ⇔ ≤ 8 ⇔ 0 ≤ ≤ 64

) √ √

( > ( )

1 2

reali caratterizzati dall’essere il più piccolo dei  ------------------------------------------------------------------------

- FUNZIONI SIMMETRICHE Sia f una funzione

maggioranti di E e il più grande dei minoranti di E. tale che dom(f) sia simmetrico rispetto

 

ILLIMITATO SUPERIORMENTE/INFERIORMENTE ∈

all’origine. Se per ogni x dom(f) si ha



Se E è illimitato superiormente, scriviamo sup E = f(-x)=f(x) si dice che f è una funzione pari.

+∞. 

Se E è illimitato inferiormente, scriviamo inf E = f(-x) = -f(x) si dice che f è una funzione

−∞. dispari. 

- FUNZIONI PERIODICHE Sia T>0. Una funzione

si dice periodica di periodo T se:

 ∈ () ∈

per ogni x si ha x + T dom (f);

 ( + ) = () ∈ ()

per ogni x



- COMPOSIZIONE DI FUNZIONI Siano f e g due

{

≔ ∈

funzioni (qualsiasi) e si sia:

()|() ∈ ()}. Se D è non vuoto,

definiamo la funzione composta di f e g, che

(

∘ , ∘ )() ≔

denotiamo con ponendo

(()) ∈

per ogni x D.  : ⊆ ℝ → ℝ.

- FUNZIONI INVERTIBILI Sia ∈

Diciamo che f è invertibile in D se per ogni

() () =

l’equazione ha una e una sola

soluzione in D.  : → ℝ

- FUNZIONE INVERSA Sia una

funzione invertibile. La funzione, definita in f(D) e

a valori in D, che a ogni elemento y di f(D) fa

corrispondere l’unico elemento x di D tale che

f(x)=y, si chiama funzione inversa di f e si denota

-1

con il simbolo f .

  : ⊆ ℝ → ℝ

MONOTONIA e INVERTIBILITÀ Sia

strettamente crescente [decrescente]. Allora:

- f è invertibile in D;

-1

- f è strettamente crescente [decrescente]

1





RADICI radice n-esima; potenza con

√

esponente frazionario.

= ⟺ =

- √

( ) =

- √

( ) =

- √

 Esistono successioni illimitate inferiormente che SERIE NUMERICHE

SUCCESSIONI e SERIE NUMERICHE 

non divergono negativamente. SOMMA PARZIALE (o RIDOTTA) + SERIE DI TERMINE

 

SUCCESSIONE NUMERICA Si chiama successione   { }

TEOREMA: REGOLARITÀ DELLE SUCCESSIONI a Sia una successione di numeri reali.

∈ℕ

n

numerica ogni funzione reale definita in un insieme 

MONOTONE Ogni successione monotona è Definiamo la somma parziale (o ridotta) n-esima

{ ∈ ℕ| ≥ },

del tipo con numero naturale.

0 0 regolare. Precisamente: ponendo:

Parlando di successioni, solitamente denotiamo: { } ⟹ lim = sup ≔

1. crescente -

0 0

;

- La variabile indipendente con →+∞ ≔ +

-

{ } ⟹ lim = inf 1 0 1

2. decrescente

- Il valore che la successione assume in un numero …

-

→+∞

C’è un COROLLARIO il quale afferma che:

naturale con il simbolo chiamato termine n- =0

∑

≔ + + ⋯ + =

-

0 1

 { }

Supponiamo che la successione sia

esimo della successione. { }

La successione si chiama serie di termine .

{ } monotona. Allora:

- L’immagine della successione con  { }

NOTA Se la successione è definita solo per

∈ℕ

{ }) { } ⟺ { }

(oppure 1. converge è limitata; ≥ = 0 <

, conveniamo di porre per . Ne

0 0

{ } ⟺ { }

Il grafico di una successione è costituito da infiniti 2. diverge è illimitata. segue che in quanto diremo non sarà restrittivo

 

(, ), ∈ ℕ, ≥

punti isolati di coordinate con . LIMITI E OPERAZIONI ALGEBRICHE Supponiamo { }

supporre che la successione sia sempre definita

0

 → ∈ ℝ → ∈ ℝ.

e Allora:

PROLUNGAMENTO DI UNA SUCCESSIONE Diciamo ∈ ℕ.

per ogni

+ → +

che una funzione è un prolungamento della - REGOLA DELLA SOMMA:  

SUCCESSIONE DELLE SOMME PARZIALI S La serie

n

{ } − → −

successione se è definita nell’intervallo - REGOLA DELLA DIFFERENZA

di termine non è altro che la successione delle

→ ( ∈ ℝ)

[ , +∞) () = ≥ - REGOLA DEL MULTIPLO:

e si ha per ogni .

somme parziali costruite a partire da . Pertanto,

0 0

  →

- REGOLA DEL PRODOTTO:

SUCCESSIONE MONOTONA Per verificare se una

la locuzione la serie di termine è

1 1

successione è monotona basta confrontare tra loro → ( ≠ 0)

- REGOLA DEL RECIPROCO: convergente/divergente positivamente/divergente

termini consecutivi. Più nel dettaglio, una negativamente/regolare/indeterminata equivale alla

→ ( ≠ 0)

- REGOLA DEL RAPPORTO:

{ }

successione è:

locuzione la successione delle somme parziali

 PROPOSIZIONE: RECIPROCO DI UNA SUCCESSIONE

≤ ;

- CRESCENTE se e solo se per ogni

costruite a partire da è convergente/divergente

+1

 { }

INFINITESIMA Sia una successione

<

- STRETTAMENTE CRESCENTE se e solo se positivamente/divergente negativamente/regolare/

infinitesima. Allora:

;

per ogni indeterminata.

+1 { } ⇒

1. ha segno costante (definitivamente)

≥ ;

- DECRESCENTE se e solo se per ogni { }

Se la serie è regolare, il limite della successione

+1

1

>

- STRETTAMENTE DECRESCENTE se e solo se { } diverge, positivamente o negativamente, a prende il nome di somma della serie e si denota con

;

per ogni il seguente simbolo:

+1

seconda del segno di .

Facciamo delle osservazioni: +∞

{ } ⇒

2. non ha segno costante (definitivamente)

 Se una funzione prolungamento di una ∑

1

{ } non ha limite.

successione è monotona, anche la successione =0



 



lo è. CARATTERE DI UNA SERIE Studiare il carattere di

OPERAZIONI CON SUCCESSIONI DIVERGENTI

 Si potrebbe erroneamente pensare che la una serie significa stabile se essa converge, diverge o

{ } { }

Siano e successioni divergenti:

n

presenza del termine “oscillante “(-1) implichi =

è indeterminata. Se definitivamente, le serie

- Se le due successioni divergono con lo stesso

mancanza di monotonia; non è detto che sia

di termini e hanno lo stesso carattere. Tuttavia,

{ + }

segno, la successione somma diverge

così. se entrambe convergono, in genere le rispettive

con lo stesso segno.

 Per “farsi una idea” dell’andamento di una somme non sono uguali. Si usano i seguenti simboli

≠ 0, { }

- Se la successione multiplo diverge,

successione è utile esplicitarne i primi termini; per denotare la serie di termine

{ } > 0,

con lo stesso segno di se con segno

tuttavia, ciò non è sufficiente a stabilire che la (indipendentemente dal fatto che essa sia regolare o

< 0.

opposto se

successione sia monotona. no):

{ }

- La successione prodotto diverge,

 +∞



SUCCESSIONI LIMITATE Dato che ogni successione positivamente se le due successioni divergono ∑ ∑

è una funzione, ha senso parlare di successioni con lo stesso segno, negativamente se le due

limitate inferiormente, limitate superiormente e =0

successioni divergono con segni opposti.  CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA DI

limitate, nonché di estremo inferiore ed estremo 1

{ }

- La successione reciproco è infinitesima. 

UNA SERIE Se la serie di termine converge,

superiore e di minimo e massimo di una successione.

  { }

TEOREMA: PERMANENZA DEL SEGNO Sia { }

allora la successione è infinitesima;

 

PROPRIETÀ VERE DEFINITIVAMENTE Una

∈ ℝ → .

una successione, sia e si supponga l’implicazione contraria è falsa.

proprietà è vera definitivamente se è vera per

> 0 ⇒ > 0 → 0

[In pratica: la condizione è necessaria ma non

∈

tutti gli n sufficientemente grandi, cioè se esiste

1.