Analisi matematica 1

N

insieme numeri naturali; {0; 1; 2; 3; ...}

operazione: + (somma)

n, m ∈ N

→ elemento di N

proprietà somma

associative: (a+b)+c = a+(b+c) = (c+a)+b

commutative: a+b = b+a

∃ elemento neutro 0: a+0 = a

∀a ∈ N ∃b ∈ N | a+b = 0

Falsa

Z

numeri relativi;

{0; 1; 2; -1; -2; ...}

Valgono le stesse proprietà della somma

∀a ∈ Z ∃-a | a+(-a) = -a+a = 0

Z è un gruppo abeliano rispetto al

inverso: somma un elemento opposto

N

insieme numeri naturali:

{0; 1; 2; 3; ...}

operazione: + (somma)

n, m ∈ N

proprietà somma

associativa (a+b)+c = a+(b+c) = (a+c)+b

commutativa a+b = b+a

∃ elemento neutro 0 a+0 = a

∀ a ∈ N ∃ b ∈ N | a+b = 0

Falsa

Z

numeri relativi:

{0; 1; 2; -1; -2; ...}

Valgono le stesse proprietà della somma

∀ a ∈ Z ∃ -a | a+(-a) = -a+a = 0

Z è un gruppo abeliano rispetto al

salvazione somma con elemento opposto

Prodotto

a, b → a·b

Proprietà:

• associativa    (a·b)·c = a(b·c)
• commutativa    a·b = b·a

&exists; elemento neutro     θε, a·1 = a

∃ inverso? θ ∃ b      a·b = 1        Falso

Insieme numeri razionali:    m/n

m e n primi tra loro (non posso semplificare la frazione)

Stesse proprietà del prodotto

θ ∃          Ø

∃ θ^-1     a·θ^-1 = 1

• elemento inverso

Q ha una struttura di campo

Le operazioni tra gli elementi di Q

(Q, +, ·) è un campo

1. (a+b)+c = a+(b+c)        somma associativa
2. a+b = b+a        somma commutativa
3. ∃ 0 | a+0 = a∃ Øε Q
4. ∃ a·θ^-1    (a+(a) = 0

5- a.b = b.a

6- (a.b).c = a.(b.c)

7- ∃ elemento neutro 1 a.1 = a. a = a

8- ∀ a ≠ 0 ∃ a^-1 | a.a^-1 = 1

9- distributiva (a+b).c = a.c + b.c

Equazione

x + 3 = 0

Trovare x | l'equazione sia vera.

x = -3

Trovare x |

x² + 2x + 1 = 0

(x + 1)² = 0

x = -1

x² - 1 = 0

x² = 1

(x - 1)(x + 1) = 0

x = 1; x = -1

In Q non trovo soluzione e l² = 2

Dimostrazione per assurdo

IP l ∈ Q

TS & non può essere vero che l² = 2

IP => TS

non TS => non IP => per assurdo

Parte da l ∈ Q | l² = 2

=> l = m/n

(m/n)² = 2 => m² = 2n² =>

m² = m2

m + pari => m = pari.

m = fase di dispari ma 2k + 1 =>

m² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(m² + k)

se m è pari m=2k => m^2 = 4k^2

u^2 = m^2 => u^2 = m^2 => n^2 è pari

m è pari

R numeri reali

Strutture decimali infinite e non periodiche

(R, +, ·) è un campo

è in corrispondenza biunivoca con i punti della retta, cioè ad ogni x ε R associo uno e uno solo dei punti di una retta e tutti i punti della retta sono associati a un numero reale

(proprietà iniettiva) se x ≠ y assegno x e y un punto diverso da quello che assegno a y

(proprietà suriettiva) ogni punto della retta è associato a un

Un controesempio è ℚ che non è in corrispondenza biunivoca con la retta.

La retta è comoda per rappresentare ℝ perchè è ordinata

In ℝ posso introdurre una relazione d'ordine che è del tipo a ≤ b per cui valgono le seguenti proprietà:

• Riflessiva, ∀ a, a ≤ a
• Antisimmetrica, se a ≤ b e b ≤ a ⇒ a=b
• Transitiva, ∀ a,b,c se a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c

ℝ è un campo ordinato totalmente ⇓ ∀ a,b ∈ ℝ a ≤ b v b ≤ a

Esempio

Insieme ordinato non totalmente

X è un insieme ℘(X) è l'insieme dei sottoinsiemi di X eeo l'insieme delle "parti"

Introduco la relazione d'ordine dell'inclusione

A: N ⊆ ℘(ℝ) B: ℤ ⊆ ℘(ℝ) P(ℝ)

A ⊆ B ⇒ N ⊆ ℤ

1-e riflessiva perchè \( A \subseteq A \)

2- è antisimmetrica perchè \( A \subseteq B, B \subseteq A \Rightarrow A = B \)

3- è transitiva perchè