Analisi matematica 1

N

insieme numeri naturali: {0; 1; 2; 3; ...}

operazione: + (somma)

m, n ∈ N

proprietà somma

associativa (a+b)+c = a+(b+c) = (a+c)+b

commutativa a+b = b+a

∃ elemento neutro 0 a+0 = a

∀a ∈ N ∃ b ∈ N | a+b=0

Falsa

Z

numeri relativi:

{0; 1; 2; -1; -2; ...}

Valgono le stesse proprietà della somma

∀e ∈ Z ∃ −e | e+(−e) = −e+e = 0

Z è un gruppo abeliano rispetto al

sottrazione somma e elemento opposto

Prodotto

a, b → a ⋅ b

Proprietà:

• Associativa: (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
• Commutativa: a ⋅ b = b ⋅ a
• Elemento neutro θ∈, a ⋅ 1 = a
• Inverso? θ ∉ b | a ⋅ b = 1 Falso

Insieme numeri razionali: ^m/_n

m e n primi tra loro (non posso semplificare la frazione)

Stesse proprietà del prodotto

θ ∉ Q ℚ ∃ q^-1 | a ⋅ q^-1 = 1

Elemento inverso

Q ha una struttura di campo

In tali operazioni uso gli elementi: 0 e 1

(Q, + , 0) è un campo

1. (a + b) + c = a + (b + c) somma associativa
2. a + b = b + a somma commutativa
3. ∃ θ 0 | a + 0 = a ∀ a ∈ Q
4. ∀ θ ∈ a ∃ -a ∈ ref(-a) = 0

Un controesempio è ℚ, che non è in corrispondenza biunivoca con la retta.

La retta è comodo per rappresentare ℝ perché è ordinata.

In ℝ posso introdurre una relazione di ordine che è del tipo a ≤ b per cui valgono le seguenti proprietà:

1. Riflessiva, ∀a, a ≤ a
2. Antisimmetrica, se a ≤ b e b ≤ a allora a = b
3. Transitiva, ∀a, b, c se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c

ℝ è un campo ordinato totalmente ∀a, b ∈ ℝ a ≤ b ∨ b ≤ a

Esempio

Insieme ordinato non totalmente

X è un insieme P(X) è l'insieme dei sotto-insiemi di X, cioè l'insieme delle "parti"

Introduco la relazione di ordine dell'inclusione A ∈ N ⊆ P(ℝ) B ⊆ Z ⊆ P(ℝ) A ⊆ B ⟹ N ⊆ Z

Osservazioni

_ℝ² → ℝ₂ + → (x; 0)

si comporta bene rispetto alle operazioni:

• x + y ↦ (x; 0) + (y; 0)
• x ∙ y ↦ (x; 0) ∙ (y; 0)

etc.

1 ↦ (1; 0)

(0; 1)(0; 1) = (0 ∙ 1; 0) = (-1; 0)

-1 ↦ (-1; 0)

ℝ₂² è il campo dove posso risolvere x² = -1

Considero i punti del piano come numeri complessi. In particolare chiamo i = (0; 1) e metto ℝ₂ sulla retta (x; 0)

(0; 1)²(0; 1)² = (-1; 0) ⇒ i² = -1

z ∙ z̅ = (a + ib)(a - ib) = a² - (ib)² = a² + b² > 0

Si definisce |z| (modulo di z)

|z| = √(a²+b²) = √(z ∙ z̅)

|z| > 0, |z| = 0 <=> z = 0

perché √(a²+b²) = 0 <=> a²+b² = 0 <=> a = b = 0

2- |z| = |z̅|

3- |Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z|, |z| ≤ |Re z| + |Im z|

4- |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| disuguaglianza triangolare

Esercizio:

z² + i Im z + 2 z̅ < 0

x² + (i y)² + 2 ix y + i y + 2 x - 2 i y < 0

x² - y² + 2 x - i (2 x y - y) = 0 + i 0

Deve essere due:

• x² - y² + 2x = 0
• 2(2x - y) = 0 => x=1

z̄ = -2

z = -2

z = 0

z = ⟨x + i y

Soluzione

z=0 z=-2

z= 1/2 + √5/2 i

z= 1/2 - √5/2 i

z = √3 + i

|z| = √3+1 = 2

sen θ = ½

cos θ = √3/2

z = 2 (cos 1/6 π + i sen π/6)

Prodotto

z₁ = ρ₁ (cos θ₁ + i sen θ₁)

z₂ = ρ₂ (cos θ₂ + i sen θ₂)

z₁ . z₂ = ρ₁ ρ₂ cos θ₁ cos θ₂ + i ρ₁ ρ₂ sen θ₁ cos

+ i ρ₁ ρ₂ cos θ₁ sen θ₂ + ρ₁ ρ₂ sen θ₁ sen θ₂ =

= ρ₁ ρ₂ (cos θ₂ cos θ₁ - sen θ₁ sen θ₂ + i (sen θ₁ cos θ₂

+ cos θ₁ sen θ₂) =

= ρ₁ ρ₂ (cos (θ₁ + θ₂) + i sen (θ₁ + θ₂))

modulo prodotto, angolo somma

z³ = 1 → equazione polinomiale

Voglio trovare z tali che z³ = -1

z = 1 (cos π + i sen π)

1 (cos π + i sen π)

ρ³ = 1 → stesso modulo

3θ = π + 2kπ → stesso argomento

ρ = 1

θ = π/3 + 2kπ/3

k ∈ ℤ

θ₀ = π/3 → k = 0

θ₁ = π/3 + 2/3 π = π → k = 1

θ₂ = π/3 + 4/3 π = 5/3 π → k = 2

Soluzioni

1. z₁ = (cos π/3 + i sen π/3)
2. z₂ = (cos π + i sen π)
3. z₃ = (cos 5π/3 + i sen 5π/3)

In generale se ho

Im generale se ho Teorema pag. 43

zⁿ = w ∈ ℂ, ν ≠ 0 → z = ρ (cos φ + i sen φ)

|z|² = √1 + 3 = 2

z² = 2 (cos ^2π/₃ π + i sin ^2π/₃ π)

k = 0  z₀ = √2 (cos ^2π/₃ π + π) + i sen ^2π/₃ π ⋅ 1/₂)

k = 1  z₁ = √2 (cos ^2π/₃ π + ^2π/₂) + i sen ^2π/₃ π

= √2 ⎛-¹/₂ - √³/₂

osservo che  z₀ = z₁

Posso quindi semplificare le formule in campo complesso

z₁ = -i ± i √4 + √3i

basta considerare il π perché la radice complessa dà Due soluzioni opposte cioè raddvce la divisione di π uno dell’altro

Source -  z₂ = -i + z₀ = -i + √2 ( ¹/₂ + i√³/₂) = √²/₂ - i ⎛√³/₂ - 1⎞

z₃ = -i + z₁ = -i + √2 ⎛-¹/₂ −√³/₂⎞ = -√²/₂ = -⎛+¹ + ^√3/₂⎞

z = π - z₀

(ℝ, +, ⋅) è un campo

La relazione d'ordine totale ≤

La relazione vero e: effetti gode di 3 proprietà:

1. a ≤ a ∀ a ∈ ℝ
2. Antisimmetrica: a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b ∀ a, b ∈ ℝ
3. Transitiva: ∀ a, b, c ∈ ℝ a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c

La relazione è totale perché ∀ a, b ∈ ℝ

a ≤ b ∨ b ≤ a

Questa relazione d'ordine è compatibile con la struttura algebrica di campo, cioè:

1. ∀ a, b, c ∈ ℝ se a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
2. ∀ a, b, c ∈ ℝ, c > 0 ⇒ a ⋅ c ≤ b ⋅ c

Osservo che se voglio risolvere in ℝ

2x + 6 ≤ x + 1

2x + 6 - x ≤ x + 1 - x

x + 6 - 6 ≤ 1 - 6

x ≤ -5

Sfrutto la 1° proprietà

A = {1, ¹⁄₂, ¹⁄₃, ¹⁄₄, ...} = {x ∈ ℝ | x = ¹⁄_n, n ∈ ℕ}

A = {x ∈ ℚ, x > 0, x² ≤ 2}

0 ≤ x ≤ √2

A ⊂ ℚ

A ⊂ ℝ

osservo che √2 non è maggiorante in ℚ perché √2 ∉ ℚ

E limitato sia in ℚ che in ℝ