TEORIA DEGLI INSIEMI
Gli insiemi si indicano con la lettera maiuscola. (X, Y, Z, A, B...)
Un elemento appartenente ad un insieme si chiama preferibilmente come esso, ma con la lettera minuscola.
x ∈ X
Quando lavoro con gli insiemi, devo specificare in che insieme ambiente opero (ℝ, ℚ, ℕ...)
In un insieme ambiente è possibile trovare più sottoinsiemi.
Es.:
A ⊆ X
Un insieme è INCLUSO se ogni suo elemento appartiene all'insieme ambiente in cui esso si trova.
Quindi:
a ∈ A ⇒ a ∈ X ⇒ A ⊆ X
L'inclusione può essere come da sopra descritta, oppure può essere stretta, o propria. (A ⊂ X) Per cui vale sempre la condizione d'inclusione.
In un'inclusione stretta esiste un elemento x che sta in X ma non in A
In simboli:
∃x ∈ X tale che x ∉ A
Preso un qualsiasi insieme, possiamo sapere se esso sia incluso o meno in un insieme ambiente.
OPERAZIONI CHE COINVOLGONO UN UNICO INSIEME
℘(X), ovvero l'insieme delle parti di X, è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di X.
℘(X) = { A ⊆ X | A è sottoinsieme di X }
Un insieme può essere indicato per:
- elencazione (se l'insieme possiede pochi elementi definiti)
- per proprietà caratteristiche degli elementi (se l'insieme possiede elementi infiniti)
∅, ovvero l'insieme vuoto, è un insieme che non contiene alcun tipo di elemento
∅ ∈ ℘(X)
∅ ∉ X
In un qualsiasi insieme ambiente è possibile trovare sempre almeno due sottoinsiemi:
l'insieme vuoto (∅) e l'insieme stesso, entrambi impropri.
Gli altri insiemi possibili sono generalmente propri.
Definito un insieme X = {a, b, c}, il suo insieme delle parti ℘(X) sarà:
℘(X) = { ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }
L'ordine di elencazione degli elementi in questo caso non ha importanza. Infatti:
{a, b} = {b, a}
TEORIA DEGLI INSIEMI
Gli insiemi si indicano con la lettera maiuscola (X,Y,Z,A,B...).
Un elemento appartenente ad un insieme si chiama preferibilmente come esso, ma con la lettera minuscola.
x ∈ X
Quando lavoro con gli insiemi, devo specificare in che insieme ambiente opero (ℝ, ℚ, ℕ,...).
In un insieme ambiente è possibile trovare più sottoinsiemi.
Es.:
A ⊆ X
Un insieme è incluso se ogni suo elemento appartiene all'insieme ambiente in cui esso si trova.
Quindi:
a ∈ A => a ∈ X => A ⊆ X
L'inclusione può essere come da sopra descritta, oppure può essere stretta, o propria. (A ⊂ X), per cui vale sempre la condizione di inclusione.
In un'inclusione stretta esiste un elemento x che sta in X ma non in A
In simboli:
∃x ∈ X tale che x ∉ A
Preso un qualsiasi insieme, possiamo sapere se esso sia incluso o meno in un insieme ambiente.
OPERAZIONI CHE COINVOLGONO UN UNICO INSIEME
P(X), ovvero l'insieme delle parti di X, è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di X.
P(X) = {A ⊆ X | A è sottoinsieme di X}
Un insieme può essere indicato per:
- elencazione (se l'insieme possiede pochi elementi definiti)
- per proprietà caratteristiche degli elementi (se l'insieme possiede elementi infiniti)
∅, ovvero l'insieme vuoto, è un insieme che non contiene alcun tipo di elemento
∅ ∈ P(X) ∅ ⊆ X
In un qualsiasi insieme ambiente è possibile trovare sempre almeno due sottoinsiemi: l'insieme vuoto (∅) e l'insieme stesso, entrambi impropri.
Gli altri insiemi possibili sono generalmente propri.
Definito un insieme X = {a,b,c}, il suo insieme delle parti P(X) sarà:
P(X) = {∅, {a,b,c}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}}
L'ordine di elencazione degli elementi in questo caso, non ha importanza. Infatti:
{a,b} = {b,a}
Dato un insieme di certi elementi, P(X) quanti elementi contiene?
Si può dimostrare che un insieme di n elementi ha per insieme delle parti P(X) un insieme contenente 2n elementi.
Il caso si riferisce ad insiemi a cardinalità finita, ossia contenenti un numero limitato di elementi.
Ad esempio un insieme a cardinalità infinita risulta essere quello dei numeri naturali IN.
IN = {0, 1, 2, ...} P(X) = ∞
La cardinalità di un insieme si indica con il simbolo #.
#X = n → #P(X) = 2n
INSIEMI NUMERICI
IN = insieme dei numeri naturali = {0, 1, 2, 3, ...} = {n ∈ IN}
Z = insieme dei numeri relativi = {0, +1, -1, +2, -2, +3, ...} = {±n, n ∈ IN}
Q = insieme dei numeri razionali = {n/m : n ∈ Z, m ∈ N, n ≠ 0}
L'insieme dei numeri razionali Q è un insieme di difficile elencazione, poiché i suoi elementi sono tutti punti densi. Non sono però tutti punti appartenenti alla retta dei numeri.
È possibile visualizzare l’insieme Q per elencazione nel modo seguente
x 0 1 2 3 4 ...1 0/1 1/1 2/1 3/1 4/1 ↑ ↑ ↑ ↑2 0/2 1/2 2/2 3/2 4/2 ↗ |3 0/3 1/3 2/3 3/3 4/3 ↗ |4 0/4 1/4 2/4 3/4 4/4 ↗Q = {1
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