Analisi matematica 1

TEORIA DEGLI INSIEMI

Gli insiemi si indicano con la lettera maiuscola (X, Y, Z, A, B...)

Un elemento appartenente ad un insieme si chiama preferibilmente come esso, ma con la lettera minuscola.

x ∈ X

Quando lavoro con gli insiemi, devo specificare in che insieme ambiente opero (ℝ, ℚ, ℕ...)

In un insieme ambiente è possibile trovare più sottoinsiemi.

Es.: A ⊆ X

Un insieme è incluso se ogni suo elemento appartiene all'insieme ambiente in cui esso si trova.

Quindi: a ∈ A ⇒ a ∈ X ⇒ A ⊆ X

L'inclusione può essere come sopra descritta oppure può essere stretta, o propria. (A ⊂ X), per cui vale sempre la condizione di inclusione.

In un'inclusione stretta esiste un elemento x che sta in X ma non in A. In simboli:

∃ x ∈ X tale che x ∉ A

Preso un qualsiasi insieme, possiamo sapere se esso sia incluso o meno in un insieme ambiente.

OPERAZIONI CHE COINVOLGONO UN UNICO INSIEME

P(X), ovvero l'insieme delle parti di X, è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di X.

P(X) = {A ⊆ X | A è sottoinsieme d X}

Un insieme può essere indicato per:

• elencazione (se l'insieme possiede pochi elementi definiti)
• per proprietà caratteristiche degli elementi (se l'insieme possiede elementi infiniti)

∅, ovvero l'insieme vuoto, è un insieme che non contiene alcun tipo di elemento.

∅ ∈ P(X) ∅ ⊆ X

In un qualsiasi insieme ambiente è possibile trovare sempre almeno due sottoinsiemi: l'insieme vuoto (∅) e l'insieme stesso: entrambi impropri.

Gli altri insiemi possibili sono generalmente propri.

Definito un insieme X = {a, b, c}, il suo insieme delle parti P(X) sarà:

P(X) = {∅, {a, b, c}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}}

L'ordine di elencazione degli elementi in questo caso non ha importanza. Infatti:

{a, b} = {b, a}

Dato un insieme di certi elementi, P(X) quanti elementi contiene?

Si può dimostrare che un insieme n di elementi ha per insieme delle sue parti P(X) un insieme contenente 2ⁿ elementi.

Il caso si riferisce ad insiemi a cardinalità finita, ossia contenenti un numero limitato di elementi.

Ad esempio un insieme a cardinalità infinita risulta essere quello dei numeri naturali, IN.

IN = {0, 1, 2, ...}      P(X) = ∞

La cardinalità di un insieme si indica con il simbolo #

#X = n      →      #P(X) = 2ⁿ

INSIEMI NUMERICI

IN = insieme dei numeri naturali = {0, 1, 2, 3, ...} = {n | n ∈ IN}

Z = insieme dei numeri relativi = {0, ±1, ±2, ±3, ...} = {±n | n ∈ IN}

Q = insieme dei numeri razionali = {n/m | n ∈ Z, m ∈ IN, n ≠ 0}

L'insieme dei numeri razionali Q è un insieme di difficile elencazione, poiché i suoi elementi sono tutti punti densi. Non sono però tutti punti appartenenti alla retta dei numeri.

È possibile visualizzare l'insieme Q per elencazione nel modo seguente:

Q = {1/1, 1/2, 2/1, 1/3, ...}

L'elencazione avviene in diagonale.

Geometricamente è possibile notare che in qualunque intervallo ci sono presenti infiniti numeri razionali.

IR = insieme dei numeri reali

L'insieme dei numeri reali è l'unico che mette in diretta corrispondenza i numeri con la retta.

L'ordine di inclusione fra insiemi numerici (inclusione stretta) è il seguente:

IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR

1. Il primo tratto di inclusioni (IN ⊂ Z ⊂ Q) è di facile comprensione.
2. L'ultimo (Q ⊂ IR) necessita di maggiori spiegazioni.

Procedere in una dimostrazione

Presa una tesi p e un'ipotesi q, tale che p ⇒ q, il suo contronominale sarà q_n ⇒ p_n.

Per svolgere una dimostrazione per assurdo avrò:

(q ∧ p) ⇒ r_n = (q ∧ p)_n = r ∧_n r_n

Esempio

Dimostro che √2 è un numero irrazionale. Per farlo, utilizzo il ragionamento per assurdo.

Proposizione: "√2 è un numero irrazionale"

Dimostrazione:

1. √2 è un numero irrazionale = √2 ∈ ℝ ∖ ℚ
2. √2 è un numero razionale = √2 = m/n m, n ∈ ℕ \ 0
3. m ed n non hanno fattori comuni

Quindi:

√2 = m/n = √2n = m = 2n² = m² = m è pari = p m è pari = p m = 2k

√2n = (2k) = 4k = √2k² = n² posso n è pari = p

n ed m hanno un fattore in comune ossia

√2 è vera

risulta quindi dimostrata per assurdo

Predicati

Un predicato è una proposizione con almeno una variabile x.

A seconda di x può essere vero oppure falso.

P(x) = "x è un numero pari"

P(2) = VERA

P(3) = FALSA

Ho una certa proprietà (X pari) e quindi vado a mettere in A tutti gli insiemi che rendono il predicato vero.

A = {x | P(x)}

A = {x = 2n; n ∈ ℕ}

FATTORIALI

Un fattoriale è una quantità che tende a crescere velocemente.

0! = 1; 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; n! = n (n-1) = n (n-1)...1

SIMBOLO BINOMIALE

(n k) con n, k ∈ N k ≤ n

Il simbolo binomiale permette di ricavare i coefficienti di sviluppo di un binomio.

(n k) = n! / (k! (n-k)!)

Il simbolo binomiale può anche essere ricavato dalla seguente formula:

(n k) = n! / (k! (n-k)!)

= (n (n-1)(n-k+1))/(k! (n-k)!)

Per simboli binomiali differenti (ad esempio (n n-k)) viene applicato la definizione di (n k)

(n k) = n! / (n-k)! k! = (n! / (n-k)! k!)

(n 0) = n! / (0!(n-0)!) = 1

(n n-1) / (n-1 k) = (n n-1) / (n-1 k) = (n k) = n! / (k!(n-k)!)

TRIANGOLO DI TARTAGLIA

Attraverso il triangolo di Tartaglia si dimostra che tutti i binomiali sono numeri interi.

(0 0) (1 0) (1 1) (2 0) (2 1) (2 2)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

MONOTONIA

Def: f: _IR → _IR f è monotona crescente nell’intervallo I ⊆ _IR ⇔ ∀x₁,x₂ ∈ I, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

f è strettamente crescente se f(x₁) < f(x₂)

f è monotona decrescente se f(x₁) ≥ f(x₂)

f è strettamente decrescente se f(x₁) > f(x₂)

ESEMPIO:

La mantissa non è una funzione iniettiva. È una funzione strettamente crescente

f: _IR → [0,1) → [0,1) → [0,1) Funzione è funzione inversa coincidono

N.B. Qualunque intervallo del tipo [n,n+λ) ha funzione e funzione inversa uguali

Prop: f: _IR → _IR f è strettamente monotona in I ⇒ f è iniettiva in I

Dim: f è strettamente crescente strettamente monotona ⇒ iniettiva ⇒ invertibile

∀x₁,x₂ ∈ I con x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) ⇒ f(x₂) ≥ f(x₁) ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

N.B. Non è detto che una funzione iniettiva sia strettamente monotona

Questa funzione è iniettiva ma non strettamente monotona

In questo caso si entra il concetto di CONTINUITÀ

FUNZIONE COMPOSTA

fi: X → Y

Se esco al di fuori del dominio della funzione successiva non posso più proseguire

g: Y → Z

Dom f_i → Im g

Dom g → Im g

g_o = f(x) = g(f∘α)

CONTROIMMAGINE

dom g_i = f^-1(Im g dom_g)

IMMAGINE

Im_go = g(Im f dom_g)

Se la controimmagine contiene un unico punto è possibile definire la funzione inversa

g ∘ f: = f^-1

Dom (g_o f^-1) = f_-1(Im g Dom_g)

Im (g_o f^-1) = g(Im f dom_g) ∩ Im g ∩ Dom_g