Infiniti ed Infinitesimi, Analisi matematica

Ordine di infinitesimo

Definizione: Sia f un infinitesimo per x → x, con lim x → x 0. Se esiste α ∈ R tale che lim f x → x 0, allora f è un infinitesimo di ordine α per x → x 0.

Quando il numeratore tende a 0 (f è un infinitesimo), il denominatore sarà sempre un 0 positivo (poiché x e x 0 hanno lo stesso valore e sono contenuti all'interno di un modulo). α è la velocità con cui il denominatore va a 0.

In questo caso numeratore e denominatore hanno la stessa velocità.

Definizione: Sia f un infinitesimo per x→±∞:

lim f(x) = α

Se esiste α ∈ R tale che:

lim x→±∞ αx = 0

Anche in questo caso abbiamo un quoziente tra due infinitesimi poiché il numeratore è appunto infinitesimo (quindi tende a 0) e al denominatore abbiamo il rapporto di 1 fratto (e quindi ± ∞ su uno 0 positivo). Questi due infinitesimi (numeratore e denominatore) sono dello stesso ordine.

1 α| |e x−x sono detti infinitesimi campioni poiché con essi è possibile confrontare tutti gli altri infinitesimi.

Ordine di infinito:

Definizione: Sia f un infinito per x→±∞:

lim f+¿ x→±∞

Se esiste α tale che:

lim x→±∞ αx

∉=L∈ R 0¿∃α ∈ R αxα per In questo caso abbiamo un quoziente di duex → ± ∞.infiniti, poiché a numeratore abbiamo un infinito e sesostituiamo la x a denominatore, otteniamo .±∞Numeratore e denominatore sono infiniti dello stesso ordine(vanno all’infinito con la stessa velocità).Definizione: Sia f un infinito per , con .x → x x ∈ R0 0(x )lim f α| |x → x { }+¿ ( )=L∈⋅ ∉=lim x−x f x R 00Se tale che , f è un01¿∃α ∈ R x → x 0α| |x−x 0infinito di ordine α per . Anche in questo casox → x 0abbiamo il quoziente di due infiniti, poiché a numeratoreabbiamo un infinito e se sostituiamo la x a denominatoreotteniamo il rapporto tra 1 e 0 e quindi .positivo ± ∞1αx e sono i due infiniti campione .α| |x−x 0Applicazione dei teoremi:Sia 4 2( )=x −2 +3f x x x−1

( )2 3 1( )4 2 4−2 +3 = + − =+lim x x x−1 lim x 1− ∞2 3 4x x xx →+∞ x →+∞f(x) è un infinito per .x →+∞

Qual è l’ordine di infinito di f(x)? (lim f x)+¿Bisogna trovare il valore tale che { }x →± ∞ ∖=L∈ R 0¿∈α R αx

Quindi: ( )2 3 14 + −lim x 1−4 2−2 +3lim x x x−1 2 3 4x x xx→+ ∞x →+∞ =α αx x{ 4 2−2 + −1lim x x 3 x>40 se α x→+ ∞ { }⇔ ∈ ∖=1 R 0=41 se α αx+ <4∞ se αè l’ordine di infinito di f per .=4α x →+∞

Sia ( )7 2( )= −2 +f x x x x ( )2 1( )7 2 7−2 + = + =+∞lim x x x lim x 1− 5 6x xx →+∞ x→+ ∞f(x) è un infinito per .x →+∞