Infiniti ed Infinitesimi, Analisi matematica

LEZIONE 12

Forme indeterminate

(1) ( )( )

√ √ √ √

+1− +1+

lim x x x x

√ √

( ) x →+∞

⇔ ⇔

+1−

lim x x √ √

+1+

x x

x →+∞ +1−x

lim x lim 1

x →+∞ x →+∞

= =0

√ √ √ √

+1+

x+ 1+ x x x

Questa è una forma di indecisione del tipo ( . Per

+∞+¿ −∞¿

poter risolvere la forma di indecisione che si verifica

sostituendo al posto della x, occorre utilizzare una

+∞

strategia per fare in modo che la forma indeterminata non

si verifichi. In questo caso abbiamo moltiplicato il primo

fattore con un secondo fattore simile ma con segno

opposto, ma quando si aggiunge un fattore all’espressione

analitica di una funzione, per evitare di modificare il testo

originale, occorre contemporaneamente anche dividere.

Adesso nel secondo passaggio a numeratore abbiamo una

differenza per una somma, quindi un prodotto notevole. A

denominatore nell'ultimo passaggio il risultato è +∞ .

(2) √

( )

( )

1

( )

√ 2 2

⇔

+1−x −x

lim x lim x 1+ x

x →+∞ x→+ ∞

√ √

( ) ( )

1 1

√ √

2 2

⋅ ⇔ ⋅

−x −x

lim x 1+ lim x 1+

x x

x →+∞ x →+∞

( )

√

1 1

2 −1 =−∞

lim x 1+ x

3

x →+∞ 2

x

Come prima cosa raccogliamo sotto la radice la x di grado

massimo. Successivamente possiamo trasformare tale

radice in un prodotto di radici se e solo se quest'ultima è

¿

lim

maggiore di 0. Siccome stiamo calcolando il , a noi

x →+∞

interessano solo i valori positivi. Come ultimo passaggio

raccogliamo la x di grado massimo e sostituiamo il valore a

cui tende la x.

Infiniti ed infinitesimi

Definizione: Sia X e sia , sia , punto di

¿

∈

⊆ x R

R f : X →R 0

accumulazione per X.

( )=± ( )

lim f x ∞ , f x

Se è un infinito per .

x → x 0

x → x 0 ( )=0 ( )

lim f x , f x

Se è un infinitesimo per .

x → x 0

x → x 0

È possibile confrontare tra loro diversi infiniti o diversi

infinitesimi.

Confronto tra infinitesimi

Definizione: Siano f e g due infinitesimi per e sia

¿

∈

x → x R

0

∃U ( )

x

f(x)≠0 definitivamente per tale che

x → x 0

0 ¿

¿ si ha ).

(x)≠0

f

( )

( )

∀ ∈ {x ¿¿

x U x ∩ X ,

0 0

( )

lim f x

Se f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto

x → x =0 ,

0 ( )

g x

a g per In questo caso lo

( /0).

x → x limite d