Gli infiniti

Gli infiniti

Infinito per x → α

Una funzione f(x) si dice un infinito per x → α quando il limite di f(x) per x → α vale +∞, −∞ o ∞.

Esempio

La funzione f(x) = ¹⁄_{x − 1} è un infinito per x → 1 perché lim_x→1 ¹⁄_{x − 1} = ∞.

Le funzioni del tipo x, x², x³, ... e anche √x, ³√x, ... sono infiniti per x → +∞ e per x → −∞ (da quest'ultimo caso sono escluse le radici di indice pari).

Concetti analoghi agli infinitesimi

Per gli infiniti possiamo introdurre dei concetti analoghi a quelli visti per gli infinitesimi.

Se f(x) e g(x) sono entrambi infiniti per x → a, si dice che f(x) e g(x) sono infiniti simultanei.

Siano f(x) e g(x) due infiniti simultanei per x → a.

• Se lim_{x → a} ^f(x)⁄_g(x) = l ≠ 0 (l finito), si dice che f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine (essenzialmente questo vuol dire che tendono a ∞ con la stessa rapidità).
• Se lim_{x → a} ^f(x)⁄_g(x) = 0, si dice che f(x) è un infinito di ordine inferiore a g(x) (cioè f tende a ∞ meno rapidamente di g).
• Se lim_{x → a} ^f(x)⁄_g(x) = ±∞, si dice che f(x) è un infinito di ordine superiore a g(x) (cioè f tende a ∞ più rapidamente di g).
• Se non esiste il lim_{x → a} ^f(x)⁄_g(x), si dice che gli infiniti f(x) e g(x) non sono confrontabili.