Infiniti e infinitesimi

INFINITI e INFINITESIMI

Si dice infinitesimo per x→x₀ una funzione che tende a 0 per x→x₀.

ex.

• sinx x^b ln(1+x) x→0
• x, x², ..., x^h infinito quando x→0

Si dice infinito per x→x₀ ogni funzione che tende a ±∞

ex.

• ln x infinito x→0⁺
• infinito x→±∞
• infinitesimo x→±1

Siano f e g due infinitesimi per x→x₀consideriamo il limite

lim_x→x0 ^f(x)/_g(x) =

• 0
• c ≠ 0
• infinito (±∞)
• ±∞

1. f(x)/g(x) = 0 f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g
2. f(x)/g(x) = ∞ f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g
3. f e g sono infinitesimi dello stesso ordine
4. f e g non sono confrontabili

ex.f(x)=sinx lim_x→0 sinx/x =1 ⇒ sinx e x hanno lo stesso ordine di infinitesimog(x)=x sinx va a zero con velocità 1 (x⁻¹)

ex.f(x) = 1-cosx lim_x→0 1-cosx/x = 1/2 1-cosx ha velocità 2 (x²)

INFINITI E INFINITESIMI

Si dice INFINITESIMO per x → x₀ una funzione che tende a 0 per x → x₀

ex.

• sin x x^b ln(1+x) x → 0
• x, x², ..., xⁿ infiniti: cambiano x → 0

Si dice INFINITO per x → x₀ ogni funzione che tende a ±∞

ex.

• ln x infinito x → 0⁺
• infinito x → ±∞
• infinitesimo x → ±1

Siano f e g due infinitesimi per x → x₀

consideriamo il limite

lim (x → x₀) f(x)/g(x)

• = 0
• = il finito ≠ 0
• = infinito (±∞)
• ≠

1) f(x)/g(x) = 0 f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g

3) f(x)/g(x) = ∞ f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g

2) f e g sono infinitesimi dello stesso ordine

4) f e g non sono confrontabili

ex.

• f(x) = sin x lim (x → x₀) sin x / x = 1 ⇒ sin x e x hanno lo stesso ordine di infinitesimo sin x va a zero con velocità 1 (x⁻¹)

ex.

• f(x) = 1 - cos x lim (x → x₀) 1 - cos x / x² = 1/2 1 - cos x ha velocità 2 (x²)

ex.

lim_x→0 ^1-cosx⁄_sinx > 0

(1-cosx velocita 2(sinx velocita 1

f(x) = e^x-1 → velocita 1

lim_x→0 ^ex-1⁄_x = 1

Siano f e g infiniti per x→x₀

lim_x→x₀ ^f(x)⁄_g(x)

1) 02) e finito ≠03) ±∞ 4) ≠

1) f e un infinito di ordine inferiore rispetto a g

2) f e g non infiniti dello stesso ordine

3) f e un infinito di ordine superiore rispetto a g

4) f e g non sono confrontabili

Situazione tipicaf infinito di ordine superiore rispetto a f x→x₀ g infinitimo

[⁰⁄₀ lim_x→x₀ ^f₁(x)⁄_g lim_x→x₀ ^f⁄_g lim_x→x₀ ln(1+ ^f⁄_g)]⁰

velocita piu relevante a zero

Simbolo di LANDAU

1) O(.) "o piccolo" f(x) = o(g(x)) "f(x) e un o-piccolo di g(x)"se lim_x→x₀ ^f(x)⁄_g(x) = 0cioe f e un infinitimo di ordine maggiore rispetto a g

es.

x² = o(sinx) infinito: lim_x→0 ^x2⁄_sinx x→0

x ≠ o (sinx) porque lim_x→0 x ⁄_sinx = 1 ≠ 0

Osservazione

f(x) = o(1) per x → x₀ questo significa che f è un infinitesimo infatti:

2) simbolo ∼ ("asintotico")

f(x) ∼ g(x) "f(x) è asintotico a g(x)" per x → x₀ se f(x) lim ------- = 1 x→x₀ g(x)

f e g vanno a zero con lo stesso ordine

es.

• sin x ∼ x infatti: lim sin x/x = 1
• e^x - 1 ∼ x x → 0
• (1 - cos x) ∼ x²/2 lim_x→0 (1 - cos x)/(x²/2) = 1
• ln(x + 1) ∼ x x → 0

Proposizione x → x₀

f ∼ g ↔ f = g + o(g)

dim.

f(x) - g(x) = h(x) = o(g)

f ∼ g ↔ lim_x→x0 f(x)/g(x) = 1

f ∼ g ↔ lim_x→x0 [f(x) - g(x)]/g(x) = 0

x³ = o(x) infatti: lim_x→0 x³/x = 0

x² = o(3x) lim_x→0 x²/3x = 0

Algebra degli o piccoli

1) _λ ∈ ℝ

o(_λf) = o(f) → o(_λf) = o(o(f))

g = o(ff) → g² = o(_λf)

^lim

_x→∞

_f

^lim

_x→∞

_g

f

2) o(xⁿ) + o(x^p) = o(xⁿ)

3) o(xⁿ) + o(x^p) = o(x^min{n,p})

o(x²) + o(x)=o(x)

f_true=o(x³)

g_false=o(x)

lim f→g

_x→0

o f

4) o(xⁿ) - o(_λxⁿ) = o(xⁿ)

o(x²) - o(x²) = o(x²)

x-sin x = o(√x)

5) o(xⁿ) . o(x^p) = o(x^n+p)

lim f(x)=o

_x→0

lim g→0

_x→0

o g(x)

6) x^p . o(x^p) = o(x^p+p)

x o(x) = o(x²)

f→o(x)

lim f(x) o

_x→0

g(x) . o(x⁴)