Analisi matematica 1 - Limiti, Successioni, Continuità, Infinitesimi e Infiniti

TOPOLOGIA

p.2

• Distanza e norma p.2
• Intorni e accumulazione p.3
• Unione e intersezione di insiemi p.5

LIMITI

p.6

• Intorno p.6
• Definizione p.7
• Dirichlet p.8
• Teorema di esistenza p.9
• Teoremi sui limiti p.10
• Proprietà dei limiti p.11
• Limiti infinitesimi p.11
• Calcolo di limiti p.12
• Limiti infiniti p.12
• Continuità con i limiti p.13
• Alcuni limiti notevoli p.14
• Limiti di funzioni composte p.14
• Limiti di funzioni a più variabili p.16
• Teorema ponte (sottoinsiemi) p.16

LIMITI DI SUCCESSIONI

p.18

• Teorema di Cauchy p.19
• Sottosuccessioni p.20
• Punti di aderenza p.20
• Teorema di Bolzano-Weierstrass p.21
• Teorema ponte (sottosuccessioni) p.22

CONTINUITA'

p.23

• Teorema di Weierstrass p.23
• Teorema degli zeri p.25
• Teorema dei valori intermedi p.26
• Teoremi sulle funzioni monotone p.26
• Continuità di funzioni e funzioni inverse p.28
• Numero di Nepero p.28
• Ancora limiti notevoli p.30

INFINITESIMI

p.31

• Ordine tra infinitesimi p.32
• Principio di sostituzione degli infinitesimi p.33
• Asintoticità p.34
• Parte principale p.35
• "o-Piccolo" p.36
• Principio di sostituzione generalizzato p.38

INFINITI

p.38

• Ordine tra infiniti p.39
• Principio di sostituzione degli infiniti p.41

TOPOLOGIA

Distanza e norma

ℝ in corrispondenza biunivoca con la retta orientata

ℝ² in corrispondenza biunivoca con il piano euclideo

ℝⁿ insieme delle n-uple ordinate dei numeri x_i(x₁, x₂, ... x_i) con x_i ∈ ℝ ∀i ∈ { 1, ... n } per n>3 non c'è interpretazione geometrica

ℝ² = retta ℝ³ = spazio tridimensionale

• Distanza tra due punti x,y,x con x:(x₁, x₂... x_n) e y:(y₁, y₂... y_n)

d(x,y): (Σ_i=1ⁿ (x_i-y_i)²)

con n=1 d(x,y) = |x-y|

Norma del vettore

|x| : (Σ_i=1ⁿ x_i²)1/2 ← distanza dall'origine

se n=1 |x| = |x|

d(a,b) = │a-b│ ⇒ se n=1, d(a,b) = │a-b│

Ax aperto

Ax aperto ⟹ (_k A_k) è aperta

Supponendo {X} insieme non vuota

X ∈ (_k A_k) ⊨ (X ∈ A_k)_{∀ k}

X ∈ A_k ⊨ (∃ S_k S_k(X) ⊆ A_k, i ∈ 1..., K

Dato che {S_k} è finito, si può prendere il minore dei S_k

min(S_k) S₀ ⊆ S_k &sub _k A_k)

essendo contenuto S₀(X) &sub _k A_k) ⟹ quindi intersezione è aperta per definiziona di intersezione

Bx chiuso

Bx chiuso ⟹ Bx è chiusa

Si dimostra che il complementare è aperto

-B^c = _K B^{Kc aperto, in quanto B_K è chiusa}

Poiché l'intersezione di aperte è aperta, l'unione di chiusa è quindi chiusa

B_x chiuso ⟹ B_x › è chiusa

Stesso procedimento del precedente caso _k B_k^c aperta

Insieme limitato

K ⊆ ℜⁿ è limitato se ∃ R › 0: B_R(0) › K

Insieme compatto

Un insieme è compatto se è chiuso e limitato (valido in ℜⁿ)

K compatto ⟹ chiuso e limitato

Limiti min e max

K ⊆ ℜⁿ, K compatto ⟹ ∃mink e ∃maxk

essendo limitato, esiste il supk per il teorema di completezza

∃ supk. L = supkL

Supponendo L ∉ K &forall S ⇒ X ∈ E- K, X≤L- ε

L- ε ⟹ L+ ε X ∉ B_ε (L)

X punto di accumulazione = contraddizione perchè L non sta in K, L dovrebbe contenere l'accumulatazione in quanto chiusa

Perciò L ∈ max

Limiti per funzioni reali di variabile reale

Intorno

Intorno ⟹ I (sull'asse X)

Intorno ⟹ J (sull'asse Y)

I(X₀^ε) = {X∈ ( ℜⁿ . |X-X₀^ε|}

Teorema del confronto (o dei carabinieri)

f, g, h : A ⊂ ℝ → ℝ M ∈ D(fA) se domin. Sono diversi. si intersecano, e M e all' accumulazione dell' intersezione → lim_x→M f(x) : ∃ l ∈ I(m) ∀ x ∈ I(m) ⋂ A f(x) = g(x) & h(x) → g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Funzioni maggioranti/minoranti. Se lim = ±∞ serve solo il minorante se = -∞ solo il maggiorante, se è = l servono entrambi.

→ lim_x→M f(x) = l → ∀ x ∈ I_q ⋂ A ( f(x) - ε ) < l < ε

Si fissa un x ∈ I_h ⋂ A x ∈ I_q ⋂ A ( f(x) - ε ) < l < ε Si prende I₃ come intorno que è intersezione I₃ = I_q ⋂ I_h ⋂ A ( f - quelli dell protese, intorno quanto intersezione ∀ x ∈ I₃ ⋂ A ; f - ε ≤ f(x) ≤ g(x) ≥ h(x) ≤ l + ε _{h perchè contiene i punti di Ia e Iz} |g(x) − ε| ≤ l → lim_x→M g(x) = ε

Proprietà dei limiti

1. lim_x→M f(x) = l → lim_x→M |f(x)| = |l| N contrario vale solo se ε=0 < ε/ε/ε < el
2. |f(x)| - |ε| l |(f(x) - ε| < ε se esiste il limite, ε > 0 ∃ I_ε(m) ∀ “ x l ∈ I_ε(m) ⋂ A ( f(x) - ε ) ≤ | ε Per lo sesso intorno | ( f(x) - |ε| l | < ε ) per la disuguagianza precedente Quindi | ε| è il limite di | f(x)| per l' intorno considerato
3. Se una Funzione ha limite allora è localmente limitata () non vale il viceversa se l f ≠ o M ∈ D = (fA) se lim_x→M f ( x ) = ε → f ( x ) localmente limitata ∃ I_ε(m) ∀ x I (ε⋂m ε / A) ( f( x )| ) ≤ |A < / li < ε |

Infinitesimi

Una funzione si dice infinistesima in μ se il limite = 0 non a detto che f si annulli in M

1. Proprietà lim_x→M f( x ) - ε → f ( x ) - ε = infinistsima in μ quindi lim_x→M ( f ( x ) -ε ) = 0
2. F infinistesma in μ se ε solo so se il suo valore assoluto | f | Somma di Infinitesimi ε & infinistesima g infinistesima in M e g infinistesima in M f(x)±g(x) infinitesima

_x→0 lim ^sen(itαx)⁄_{tanx t→0} lim ^{sen t}⁄_t = 1

g(t) = ^{sen t}⁄_t f(x) = ^tanx

Limiti sono utili per prolungare per continuità

t(x) ^sen(tαx)⁄_{tanx x→0} ^x+⁄_x

LIMITI DI FUNZIONI A PIÙ VARIABILI

Intorno in ℝⁿd ω ⇒ I(ω) = Im(ω) x è un'impla di numeri I_{x ε ℝⁿ|‖x‖≤ M } I2{x ε ℝⁿ|‖x-x0 ≤ s} in ℝⁿ}

M_ω = {x₀₁, x₀₂ ..., x_on³}

I f: A (c ℝⁿ) ⇒ ℝ (f scalare) MJ ε D (A) devere intersecare sfere articolatamente grandi

_λ→x0 lim f(x) = λ ε x_ω ε I(m)

se M = ω sarà I ₁ se M ≠ = ω sarà I ₂

in ℝⁿ vale:

• unicità del limite
• permanenza del segno
• teorema dei carabinieri
• locale limitatezza ⇏ se ammette il limite e ssiste un intorno sfenico per
• (contrario valido solo se λ =0)
• Proprietà ed operazioni sui limiti

Teorema sui sottoinsiemi → in ℝⁿ vale solo sulle successioni

TEOREMA PONTE (SUI SOTTOINSIEMI)

f: A (c ℝⁿ) ⇒ ℝ M_ε D(A) A^k = A M^ε D(A * ) = il sottoinsieme del dominio deve accumulare nel punto in cui si calcola il limite

_{x → x0} lim f (x) = A^k

∀ M_o ε D(A⁺) L'insieme de sottoinsiemi