Analisi matematica 1 - Limiti, Successioni, Continuità, Infinitesimi e Infiniti

TOPOLOGIA

p.2

• Distanza e norma p.2
• Intorni e accumulazione p.3
• Unione e intersezione di insiemi p.5

LIMITI

p.6

• Intorno p.6
• Definizione p.7
• Dirichlet p.8
• Teorema di esistenza p.9
• Teoremi sui limiti p.10
• Proprietà dei limiti p.11
• Limiti infinitesimi p.11
• Calcolo di limiti p.12
• Limiti infiniti p.12
• Continuità con i limiti p.13
• Alcuni limiti notevoli p.14
• Limiti di funzioni composte p.14
• Limiti di funzioni a più variabili p.16
• Teorema ponte (sottoinsiemi) p.16

LIMITI DI SUCCESSIONI

p.18

• Teorema di Cauchy p.19
• Sottosuccessioni p.20
• Punti di aderenza p.20
• Teorema di Bolzano-Weierstrass p.21
• Teorema ponte (sottosuccessioni) p.22

CONTINUITA'

p.23

• Teorema di Weierstrass p.23
• Teorema degli zeri p.25
• Teorema dei valori intermedi p.26
• Teoremi sulle funzioni monotone p.26
• Continuità di funzioni e funzioni inverse p.28
• Numero di Nepero p.28
• Ancora limiti notevoli p.30

TOPOLOGIA

p.2

• Distanza e norma p.2
• Intorni e accumulazione p.3
• Unione e intersezione di insiemi p.5

LIMITI

p.6

• Intorno p.6
• Definizione p.7
• Dirichlet p.8
• Teorema di esistenza p.9
• Teoremi sui limiti p.10
• Proprietà dei limiti p.11
• Limiti infinitesimi p.11
• Calcolo di limiti p.12
• Limiti infiniti p.12
• Continuità con i limiti p.13
• Alcuni limiti notevoli p.14
• Limiti di funzioni composte p.14
• Limiti di funzioni a più variabili p.16
• Teorema ponte (sottoinsiemi) p.16

LIMITI DI SUCCESSIONI

p.18

• Teorema di Cauchy p.19
• Sottosuccessioni p.20
• Punti di aderenza p.20
• Teorema di Bolzano-Weierstrass p.21
• Teorema ponte (sottosuccessioni) p.22

CONTINUITA'

p.23

• Teorema di Weierstrass p.23
• Teorema degli zeri p.25
• Teorema dei valori intermedi p.26
• Teoremi sulle funzioni monotone p.26
• Continuità di funzioni e funzioni inverse p.28
• Numero di Nepero p.28
• Ancora limiti notevoli p.30

INFINITESIMI

p.31

• Ordine tra infinitesimi p.32
• Principio di sostituzione degli infinitesimi p.33
• Asintoticità p.34
• Parte principale p.35
• "o-Piccolo" p.36
• Principio di sostituzione generalizzato p.38

INFINITI

p.38

• Ordine tra infiniti p.39
• Principio di sostituzione degli infiniti p.41

TOPOLOGIA

Distanza e norma

ℕ₁↔ln corrispondenza biunivoca con la retta orientataℕ₂↔ln corrispondenza biunivoca con il piano euclideoℕⁿ↔lns ieme delle n-uple ordinate dei numeri x: (x₁, x₂ ... x_n) conx_i ∈ ℕ, ∀i ∈ {1 ... n} per n ≥ 3 non c'è interpretazione geometricaℕ²↔retta ℕ³↔spazio tridimensionale

• Distanza tra due punti x_i, y_i con x: (x₁, x₂ ... x_n) e y: (y₁, y₂ ... y_n)

d(x, y) = (Σ_i=1ⁿ (x_i-y_i)²)^1/2con n=1 d(x, y) = | x-y |

• Norma del vettore

|x|| = (Σ_i=1ⁿ x_i²)^1/2 ←distanza dall'originese n = 1 |x| = |x|

d(a, b) = ||a-b|| → se n=1, d(a, b) = |a-b|

Proprietà

• Distanza è funzione

d: R^n x R^n -> R^1

• d(x, y) >= 0 | d(x, y) = 0 ⟺ x = y ∀ x, y ∈ R^n
• d(x, y) = d(y, x) | ∀ x, y ∈ R^n (simmetria)
• d(x, y) + d(y, z) >= d(x, z) -> diseguaglianza triangolare

Intorni e punti di accumulazione

B(x_o, R) -> palla aperta di centro x_o e raggio Rx_o ∈ R^n R > 0

B(x_o, R) = B_ε(x_o) = { X ∈ R^n : d(x, x_o) = || x - x_o || < R }

In R^2 è un cerchio, frontiera esclusaIn R^3 è una sfera con superficie sferica esclusa

B_ε è intorno di x_o

Punto di accumulazioneDato I ⊂ R^n (I qualsiasi sottoinsieme) e x̅ ∈ R^n (X può non appartenere ad I) X̅ è punto di accumulazione se:

1. ∀R > 0 in B_ε(x̅) cade almeno un punto x* ∈ I^a ≠ x̅

equivalenti