Domande orale Analisi I, prof. Raffaella Capitanelli

Dimostrazioni (da sapere)

Unicità del limite

• Una successione convergente non può avere due limiti distinti.
• Dim.: Supponiamo per assurdo che ∃ due limiti distinti, ossia supponiamo che _n → a e _n → b con a ≠ b.

prendiamo ε = |a - b| / 2 (>0)

• ∃ ₁ / |_n - a| < ε ∀ n ≥ ₁
• ∃ ₂ / |_n - b| < ε ∀ n ≥ ₂

prendendo ₂ = max {₁, ₂}, le relazioni sopra scritte vengono contemporaneamente verificate (grazie alla disuguaglianza triangolare |x₁ + x₂| ≤ |x₁| + |x₂|).

|a - b| = |(a - _n) + (_n - b)| ≤

≤ |a - _n| + |_n - b| =

=|a - _n| + |_n - b| < ε + ε = |a - b| ⟹ |a - b| < |a - b| {

ASSURDO

lim _{x → 0} senx / x = 1

• Dim.: lim _{x → 0} senx / x = 0
• lim _{x → 0} x = 0

per 0 < x < _√ / 2, dimostra che:

senx < x < tgx

concluso: AÔB ≥ A₁Ô₂ (z₁ ≥ z₂) senx = 1 se ux

AÔB ≥ A₁Ô₂ (z₁ ≥ z₂) senx = 1 se ux

con angolo x αupó

con angolo compresò

BH = sefyx; OH è cosex

AC: BH = OA: OH

√tgx · senx = 1 : cosx

∠ACB → ∠ABC = OA ⋅ AC = tgx = 1 ⋅ tgx

2 2 2

per 0 < x < π, conosco: ∠A < ∠A < ∠A

2 AOB ABC AOC

senx x < x < tgx

2 1 2 (semificchio 1)

2

Divisione per senx (

1 < x <

senx

cosx < senx < 1

1 < x < 1

sen

Reparto esci inverso:

cosx < 1

senx

x

una: lim cosx = 1, lim 1 = 1

x→0 x→0

f(x) (h(x))

per il TEOREMA DEL CONFRONTO (*) avró:

• se lim f(x) = e lim h(x)
• se: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

avendo: cosx ≤ senx ≤ 1 allora:

x

lim cosx = 1

x→0

lim senx = 1

x→0

c.v.d.

lim (4+1)

x→0

asola la funzione, con I =

lim (1 + )^x = e

x→0

la poniamo primo per

Funzione continua e derivabile in un punto ed in un intervallo

a) f(x) continua in un punto

Sia x₀ ∈ [a, b], f(x) è continua in un punto su [a, b] se:

lim_x→x₀⁻ f(x) = lim_x→x₀⁺ f(x) = f(x₀)

b) f(x) derivabile in un punto

Sia x₀ ∈ [a, b], f(x) è derivabile in un punto su [a, b] se:

lim_x→x₀ ^{f(x) - f(x₀)} ⁄ _{x - x₀} = f’(x₀)

c) f(x) continua in un intervallo

Una funzione f(x) è continua in ogni punto dell'intervallo.

d) f(x) derivabile in un intervallo

Sia x₀ ∈ (a, b), (f) con f derivabile un punto, se esiste il limite finito del rapporto incrementale:

lim_h→0 ^{f(x₀ + h) - f(x₀)} ⁄ _h, f(x) è derivabile in un intervallo quando è

→ derivabile in ogni punto dell'intervallo.

Teorema di Torricelli-Barrow: Il Stesso

• Ogni funzione f ∈ C⁰ (A) è un’astratta di una sua funzione primitiva
• Detta C una costante arbitraria ed “a” un arbitrario passato punto di A, tutte le primitive F(x) di f sono date da:

F(x) = C + ∫_a^x f(t) dt, ∀x ∈ A, e risultano di classe C¹(A)

(* )

• Dim.: basta provare che: F’(x) = f(x)
• Tenendo conto della formula degli integrali definiti:

∫_a^b f(x) α = -∫_a^b F(x) dx, se a > b, e tenendo conto della:

• Proprietà dell'additività:

ΔF = F(x + Δx) - F(x) =

= [ C + ∫_a^x+Δx f(t) dt ] - [ C + ∫_a^x f(t) dt ] =

= ∫_x^x+Δx f(t) dt - ∫_a^a f(t) dt =

alla qui sopra c'è:

S = ∑_k=1ⁿ (V_k + V_k) = ∑_k=1ⁿ (V_k - V_k) = 2 ⇒ S = ∑ V_k

N.B. La proprietà commutativa continua a valere, purché una delle serie risulti convergente.

SERIE GEOMETRICA E SUO COMPORTAMENTO:

∀ x ∈ ℝ, si considera la somma degli infiniti termini 1, x, x², x³, …

… 1 + x + x² + … = ∑_k=1^∞ x^k, la cui "regolarità" dipende dal fissato x.

- Se |x| > 1, si ha S_n ⇒ ∞ e perciò S ⇒ ± ∞.

- Nel caso x = 1, S_n = 1 + x + x² + … + xⁿ = 1 - xⁿ / 1 - x = 1 - xⁿ

- Decade ciò se |x| < 1 risulta xⁿ ⇒ 0 e quindi S_n ⇒ 1 se invece x = -1 per cui xⁿ ha limite per n ⇒ ± ∞. Essa (H) non è regolare.

La serie geometrica (H) è una regolare se x < -1, è divergente a +∞ se x Se |x| < 1, e si ha:

∑_k=0^∞ x = = ∀ x ∈ (-1; 1)

SERIE ARMONICA E SUO COMPORTAMENTO:

- Condizione necessaria perché la serie:

1/m_n + 1/m_n+1 ... 1/m_p ≤ K, ∀ p ∈ ℕ

(ponendo p = 1) sia convergente e che risulti:

lim x_n = 0, ( K ⇒ ∞)

- Ciò che abbiamo appena scritto è irrinunciabile per avere la convergenza di una serie, ma in generale non è sufficiente:

∑_k=1^∞ 1 / k^α, α ∈ ℝ⁺

- Nel caso di α=1, tale serie è detta ARMONICA; negli altri casi, è detta ARMONICA GENERALIZZATA di parametro α.

Segno:

a)

• f(x) ≤ K
• -K < f(x) < K

f(x) ≥ -K f(x) < K ➔ la soluzione e' l'INTERSEZIONE degli intervalli (S1∩S2)

b)

• f(x) < K
• -f(x) < -K

f(x) > K ➔ la soluzione e' l'UNIONE degli intervalli (S1∪S2)

Disequazioni:

a)

• f(x) ≤ g(x)

f(x) > 0 g(x) ≥ 0 f(x) < g²(x)

b)

• f(x) ≥ g(x)

f(x) ≥ 0 g(x) < 0 ➔ ∪ g(x) > 0 f(x) > g²(x)

( n√aˣ = a^x/_n )