Unicità del limite
Una successione convergente non può avere due limiti distinti. Assurdo: Supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti, ossia supponiamo che an → a e an → b, con a ≠ b. Poniamo ε = |a - b| > 0.
Esistono v1: ∀ n > v1, |an - a| e v2: ∀ n > v2, |an - b|. Ponendo v = max{v1, v2}, le relazioni sopra scritte valgono contemporaneamente ∀ n > v, ≠ 0.
|a - b| = |(a - an) + (an - b)| ≤ |a - an| + |an - b| = |an - a| + |an - b|. Assurdo.
Limite del rapporto seno su x
lim (sen x)/x = 1 per x → 0.
lim sen x = 0 per x → 0.
lim x = 0 per x → 0 ⇒ 0 ⇒ sen x.
Analogia
AÔB ≥ AÔ2Bcos x(z = 1)
AÔB ≥ AÔ4Bcos x/2(z = ⊬) con angolo compreso AC = tg x, AB = OA · cos x
Unicità del limite (seconda dimostrazione)
Una successione convergente non può avere due limiti distinti. Assurdo: Supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti, ossia supponiamo che an → a e an → b, con a ≠ b. Poniamo ε = |a - b| / 2 (> 0).
Esiste n1: ∀n ≥ n1, |an - a| < ε, ∀n ≥ n1.
Esiste n2: ∀n ≥ n2, |an - b| < ε, ∀n ≥ n2.
Poniamo n = max{n1, n2}, le relazioni sopra scritte valgono contemporaneamente ∀ n ≥ n (grazie alla disuguaglianza triangolare |x1 + x2| ≤ |x1| + |x2|).
|a - b| = |(a - an) + (an - b)| ≤ |a - an| + |an - b| < ε + ε = |a - b| < |a - b|. Assurdo.
Limite del seno su x
\[lim_{x \rarr 0}\] \[\frac{senx}{x}\] = 1
Dimostrazione: \[lim_{x \rarr 0}\] \[senx = 0\] lim_{x \rarr 0} x = 0. ∴ 0 ≤ x ≤ \[\frac{π}{2}\] ∴ \[senx\] ≤ \[x \le; tgx\]
Corollario
AÔB ≥ AnÔBn ⇒ (\[\frac{z}{z - 1}\]) \[senx = 1\] con angolo X compreso
AÔB ≥ AnÔBn ⇒ (\[\frac{z}{z - 2}\]) \[senx ≤ \frac{x}{2}\] con angolo compreso
\[AC = tgx\], \[\overline{AO} = OC = τ = 1\]
AH = \[senx\], OH = \[cosx\]
AC: BH = \[\overline{CA} \cdot \overline{OH}\]
\[tgx \cdot senx = 1 \cdot cosx\]
\[t\]Δ̂C → ̂ = ̂ = : 2 = tg =2 12 tg.
• per c 2, avico: Δ Δ̂ Δ Δ sen 1 2 + tg 2 2 tg 2 (SEMPLICIO 12) divido per sen (so): sen (tg = sen) cos sen sec sen ✓ (sen) 1 (sec
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