Domande Orale Analisi 2

Domande orale Professore Michiel Bertsch

cos’è una Forma differenziale chiusa?

Una forma differenziale si dice chiusa se le derivate parziali in croce coincidono

se una forma differenziale è chiusa in un insieme semplicemente connesso, allora è anche esatta per il

teorema di poincarè

il rotore sarà 0 quindi il campo di forze agenti nell’insieme è conservativo

il campo sarà irrotazionale

possiamo dimostrare che l’insieme è semplicemente connesso

cos’è un campo rotazionale?

un campo rotazionale è un campo di forze che hanno rotore non nullo altrimenti detto campo irrotazionale

il rotore è un campo vettoriale costituito con le derivate parziali delle componenti del campo vettoriale dato

rotore nullo è condizione necessaria ma non sufficiente affinchè la forza descritta del campo vettoriale sia

conservativa.(deve essere in un insieme semplicemente connesso)

esiste una dimostrazione nella quale si fa vedere che:

se il rotore è nullo, non è detto che la forza assegnata ammette potenziale

se la forza ammette potenziale, il rotore deve essere nullo.

Perchè una forma differenziale esatta è sempre chiusa?

una forma esatta è sempre chiusa solo se l’insieme in cui si trova è semplicemente connesso.

ovvero l’insieme è fatto di un semplice pezzo e non presenta buchi (almeno in r2)

perciò prendo 2 punti qualsiasi dell’insieme, la curva che li collega sta sempre dentro l’insieme

in R3 ogni insieme è semplicemente connesso perchè posso evitare i punti di discontinuità.

Cosè un insieme semplicemente connesso?

Un insieme semplicemente connesso è un insieme fatto di un semplice pezzo e non ha buchi.

Due curve si dicono omotope (dal greco homos e topos,stesso luogo) se una delle due può essere

deformata con continuità nell’altra, tale trasformazione è detta omotopia.

è una strategia per trovare i buchi all’interno di un insieme

e non è altro che dire che il lavoro su due percorsi diversi è lo stesso se partono e arrivano dallo stesso

punto,quindi il campo è conservativo.

Nel caso un insieme non sia semplicemente connesso si può comunque calcolare il lavoro separando i

tratti del percorso in parti di lavoro conservativo e parti di lavoro non conservativo e sommarli.

Come la regola della catena c’entra con le forme differenziali e il potenziale?

la regola della catena è una somma di prodotti.

è derivata dal polinomio di taylor per funzioni a più variabili.

Sarebbe la somma delle derivate di funzione composta.

la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione

composta di due funzioni derivabili.

Dato che una forma differenziale è una derivata di funzione composta anche il potenziale è legato alla

regola della catena.

quindi integrano il campo si trova la funzione potenziale,

la funzione potenziale è una funzione composta

cosa serve per passare da un integrale doppio ad un integrale curvilineo?

il teorema di gauss-green, perchè mette in relazione due tipologie di integrale, l’integrale di seconda specie

lungo una curva e gli integrali doppi aventi dominio di integrazione la parte del piano delimitata da tale

curva.le condizioni sono:dominio regolare,ovvero un insieme il cui bordo può essere delimitato da una o più

curve regolari a tratti. orientamento positivo (immaginando di camminare sulla frontiera della curva il nostro

dominio si deve trovare sulla sinistra) senso antiorario.

Quindi praticamente gauss-green ti può semplificare la vita in 2 modi:

se devi calcolare un integrale curvilineo di una figura semplice allora ti può convenire trasformarlo in un

integrale doppio e calcolarne l’area.

se invece ti si chiede di calcolare l’area di una figura complessa allora forse può convenire trasformarlo in

in integrale curvilineo e calcolarlo.

cos’è l’integrale doppio?(o integrale multiplo) come è definito?

l’integrale multiplo è una forma di integrale definito esteso a più variabili.

cos’è un insieme misurabile?

una funzione si dice misurabile se esiste l’integrale che ne misura l’area

cosa sono le derivate direzionali?

la derivata direzionale è il grafico della pendenza lungo una direzione indicata da un vettore(versore)

è un’estensione del concetto di derivata rispetto ad una variabile

la derivata direzionale della funzione f nel punto x con 0 e y con 0 lungo un cammino indicato dal vettore di

norma unitaria v è uguale al prodotto scalare tra il vettore e il gradiente della funzione valutata nel punto.

ovviamente f deve essere definita in un insieme aperto D e con valoro in R e differenziabile nel punto

altrimenti non potresti calcolare il gradiente.

cosa sono le Derivate parziali?

le derivate parziali sono un caso particolare di derivate direzionali

sarebbe il limite dal rapporto incrementale

geometricamente la derivata parziale rispetto una variabile di una funzione rappresenta l’andamento della

pendenza della retta tangente al grafico della curva,

non a caso le derivate direzionali lungo il vettore 1,0 e 0,1 sono esattamente le derivate parziali rispetto a

x,y. trovare la soluzione del sistema di più derivate parziali poste uguali a 0 vuol dire trovare quel punto in

cui rispetto ad ogni variabile si ha tangensa orizzontale , vale a dire che si ha un punto di massimo o un

punto di minimo.

cos’è il moltiplicatore di lagrange?

lambda è una variabile inserita nel teorema dei moltiplicatori di lagrange, è il valore reale per cui sia nullo il

gradiente della funzione lagrangiana.

geometricamente è il coefficiente di correzione dell’eventuale antisimmetria o lunghezza dei vettori

gradiente di f e gradiente di g che si eguagliano e si mettono a sistema per trovare i punti di massimo e

minimo vincolati

cos’è il teorema della divergenza(flusso del campo vettoriale)?

è il calcolo del flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.

Sotto opportune ipotesi di regolarità possiamo trasformare un integrale curvilineo o di superficie in un

integrale di volume.

il teorema dice:

l’integrale di una superficie orientata positivamente nel campo vettoriale è uguale al volume della sua

divergenza.

il teorema della divergenza o teorema di stokes non è altro che il teorema di gauss-green ampliato ad un

concetto tridimensionale in R3 ansichè in R2(nel piano)

cosè una funzione differenziale?

è il grafico del piano tangente infatti è una funzione che quantifica la variazione infinitesimale della funzione

rispetto ad una variabile indipendente. è la migliore approssimazione lineare della funzione in un punto

cosè una funzione regolare a tratti?

una funzione regolare a tratti è una funzione con derivata prima continua a tratti, la definizione è:

Una funzione definita in un intervallo si dice a tratti se esiste uno o più intervalli in cui la funzione è regolare

regolare vuol dire che è derivabile infinite volte con derivate continue

cos’è una superficie orientabile?

una superficie semplice e regolare si dice orientabile se, prese 2 qualunque parametrizzazioni regolari e

semplici esse sono tra loro congruenti, perchè due diverse parametrizzazioni congruenti generano vettori

normali aventi la stessa direzione.

oppure basta che esiste un vettore normale che è funzione continua su tutta la superficie.

ci si chiede e sia possibile percorrere un tragitto sulla superficie in modo tale da trovarsi capovolti tornando

al punto di partenza.

in particolare una superficie tale che fissato un orientamento in un suo punto sia possibile trasportare

questo orientamento in modo univoco sopra tutti gli altri punti.

un esempio di una superficie non orientabile è il nastro di moebius, in genere è sempre possibile scegliere

un vettore normale continuo, ma non in questo caso.

cos’è la formula di stokes (rotore nel campo vettoriale)?

sotto opportune ipotesi è possibile eliminare una dimensione al calcolo vettoriale

l’integrale di linea lungo il bordo di una superficie è pari all’area della superficie per il rotore del campo

vettoriale

in fisica il flusso può essere rappresentato dalla quantità di massa che attraversa una superficie nell’unità

di tempo (la superficie perpendicolare rispetto alla direzione del flusso diviso l’area della superficie

considerata.

infatti il flusso dipende dall’intensità del campo(densità della materia) dell’estensione della superficie (area

della superficie del tubo) e dall’orientazione della superficie rispetto al flusso.

è come se volessi calcolare il volume del liquido che passa nella sezione in un intervallo di tempo.

trasforma un integrale curvilineo integrale di superficie

comunque è un metodo di semplificazione dei conti

grazie al teorema del rotore posso passare dal calcolo di un integrale di superficie al calcolo di un integrale

lungo la frontiera di quella superficie.

cos’è e a cosa serve una parametrizzazione?

la parametrizzazione consiste nello assegnare un parametro, ed esprimere le variabili in funzione di questo

parametro. a livello fisico, questo teorema è utile perchè permette di comprendere come si muove un punto

materiale lungo una traiettoria.

la parametrizzazione serve a semplificare i conti perchè diventa possibile trasformare una funzione in più

variabili ad una funzione ad una variabile sola

un parametro spesso utilizzato è t che sta per tempo.

due parametrizzazioni si dicono equivalenti se esiste un cambio di parametro che porti una

parametrizzazione nell’altra e viceversa.

cos’è il teorema del valor medio in analisi 1?

ci si assicura che esiste un valore medio che è l’equivalente del volume sottostante ad una funzione

cos’è l’integrazione per fili?

calcolo il filo che è una variabile compresa tra 2 funzioni e la estendo all’area del domino

cos’è l’integrazione per piani?

calcolo il piano che è un integrale doppio e potrebbe variare l’area anche in funzione dell’altezza e poi lo

estendo all’altezza

cos’è una matrice jacobiana?

e l’approsimazione che corregge l’errore dovuto ad un cambio di variabile

cos’è il metodo diretto per il calcolo di massimi e minimi di una funzione?

trovando una parametrizzazione per il vincolo ricavo x e y scritti in una variabile e dipendenti da una

variabile ansichè due

sostituisco x,y e f(x,y) e trovo f(gamma) la derivata di questa posta = a 0 troverò