Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Capitanelli Raffaela

NB: questi appunti sono validi anche per i professori Christian Casalvieri e Bruna Germano di Analisi Matematica I di Ingegneria Edile-Architettura de "La Sapienza". Libro di testo consigliato: A. Ghizzetti, F. Rosati. Analisi Matematica - Vol. 1, Zanichelli; le dimostrazioni dei teoremi contrassegnate con (*) vanno sapute ai fini dell'esame. Programma: Insiemi di numeri reali: generalità ed esempi; estremo inferiore e superiore di un insieme (no dim.); punti di accumulazione (*); insiemi chiusi (no dim. Teorema 2.3.II); il numero e; logaritmi naturali (no dim.). Funzioni di una variabile: il concetto di funzione; rappresentazione geometrica: grafico; le funzioni elementari; alcune nozioni generali sulle funzioni; estremo inferiore e superiore in una funzione; funzioni composte e inverse; le funzioni circolari inverse; le successioni. Successioni: successioni convergenti, divergenti; definizione di limite (no dim. Teorema 5.1.III); unicità del limite (*); primi teoremi sui limiti; sottosuccessioni, disuguaglianze (no dim.); limiti di successioni monotone; il numero e (no dim.); operazioni sui limiti: forme indeterminate (no dim.); alcuni limiti fondamentali (no dim.); confronto tra infinitesimi o tra infiniti (no dim.); criterio di convergenza di Cauchy (*). Limiti di funzioni di una variabile: limiti all’infinito; limiti in un punto; osservazioni sui limiti di funzioni (no Teorema 7.3.I, no dim. Teorema 7.3.II); teorema sui limiti delle funzioni; calcolo di due limiti fondamentali; confronto tra infinitesimi o tra infiniti (no dim.). Funzioni continue di un variabile: definizioni e prime proprietà; esempi di funzioni continue (no dim.); punti singolari di una funzione; continuità a sinistra e a destra; operazioni sulle funzioni continue (no dim.); teoremi fondamentali sulle funzioni continue (no dim., no definizione di funzione uniformemente continua e relativi teoremi); funzioni inverse (no dim.). Nozioni di calcolo differenziale per le funzioni di una variabile: definizione di derivata; applicazioni del concetto di derivata; funzioni differenziabili e proprietà del differenziale; regole di derivazione (no dim.); derivazione della funzione inversa (no dim. Teorema 9.5.I); derivazione di una funzione composta (no dim.); funzioni iperboliche e loro derivate; tabella delle derivate fondamentali; derivate successive (no formula di Liebnitz); crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi ( no dim. Teorema 9.11.I); teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange (*); conseguenze del teorema di Lagrange; crescenza in grande (no dim. Teorema 9.13.III, senza Osservazione I); forme indeterminate: teorema di de L’Hopital (no dim. Teorema 9.14.I, no Teorema 9.14.II); asintoti; ricerca del minimo e del massimo assoluti di una funzione; funzioni concave o convesse in un punto, flessi (no Esempi 1-2, no Teorema 9.17.I, II, no dim. Teorema 9.17.III, IV); concavità e convessità in grande (no dim. Teorema 9.18.I, III, IV, no Teorema 9.18.II); studio del grafico di una funzione. Nozioni di calcolo integrale per le funzioni di una variabile: funzioni primitive; integrale di una funzione continua estesa ad un intervallo (no dim.); significato geometrico dell’integrale; proprietà dell’integrale (no dim.); integrali definiti (no dim.); esistenza delle primitive di una funzione: teorema di Torricelli-Barrow (*); integrali indefiniti; integrazione per parti (*); integrazione per sostituzione (no dim.); integrazione definita per parti e per sostituzione (no dim.); alcune applicazioni, aree e funzioni integrali (no Esempi 4-5-6). Serie numeriche: serie convergenti, divergenti, indeterminate (no Esempio 4); il criterio generale di convergenza (no dim. Teorema 6.2.III, IV); proprietà ed operazioni (no dim.); serie a termini di segno costante (no dim. Teorema 6.4.II, no definizione di regolarità incondizionata); serie assolutamente convergenti (no dim. Teorema 6.5.II, senza prodotto di due serie); criteri di convergenza assoluta (no dim., no Teorema 6.6.III, III’’, IV, V, V’); criterio di convergenza non assoluta (no dim. Teorema 6.7.I, II). Numeri complessi: introduzione; definizioni; conseguenze delle definizioni precedenti (no dim. Teorema 12.3.I); operazioni inverse, numeri coniugati; rappresentazione geometrica dei numeri complessi (no dim. Teorema 12.5.II); radici di numeri complessi; esponenziale: formula di Eulero (no dim.); logaritmo di un numero complesso.

NB: queste dimostrazioni sono valide anche per i seguenti professori di Analisi Matematica I di Ingegneria Edile-Architettura de "La Sapienza": Germano Bruna, Christian Cavalieri, Capitanelli Raffaela Unicità del limite, lim (senx/x) =1 per x->0, lim [1+(1/x)]^x per x->+inf, differenziabilità, teorema di Rolle, teorema di Lagrange, funzione continua e derivabile in un punto ed in un intervallo, teorema di Torricelli-Barrow, integrazione per parti, punto di accumulazione per un insieme, criterio di convergenza per la serie, serie numerica, successione delle somme parziali, serie convergente-divergente-indeterminata, serie numerica assolutamente convergente, serie geometrica e suo comportamento, serie armonica e suo comportamento, successione monotona crescente e decrescente, teorema del limite di successioni monotone, criterio di convergenza assoluta (confronto, radice, rapporto, Liebnitz), numeri complessi (modulo, argomento, formula logaritmo), elenco limiti.

Schemi, prodotti dal publisher tramite studio autonomo sul libro "Elementi di Calcolo" incrementati con appunti personali presi alle lezioni della prof.ssa Capitanelli ed esercizi svolti. Argomenti trattati: Matrici, Operazioni con le matrici, Determinante di una matrice 2x2, Determinante 3x3, Determinante nxn, Matrici inverse, Rango di una matrice.