Domande Orale Analisi

Dimostrazione della decrescenza e convessità di f

Quindi, per dimostrare che f è decrescente e convessa, utilizzeremo il teorema di Lagrange. Per prima cosa, prendiamo due punti x1 e x2 con x1 < x2.

Per la continuità di f, esiste un punto c compreso tra x1 e x2 tale che f(c) = (f(x2) - f(x1))/(x2 - x1).

Ora, consideriamo il rapporto incrementale tra f(x2) - f(x1) e x2 - x1. Possiamo scrivere:

f(x2) - f(x1) = f'(c)(x2 - x1)

Passando al limite quando x2 tende a x1, otteniamo:

lim(x2->x1) [f(x2) - f(x1)]/(x2 - x1) = f'(c)

E dato che c è arbitrario, possiamo calcolare il limite quando x tende a x1:

lim(x->x1) f'(x) = f'(x1)

Quindi, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, possiamo scrivere:

f(x) - f(x1) = ∫[x1,x] f'(t) dt

Dal teorema della media integrale, sappiamo che esiste un punto d compreso tra x1 e x tale che:

f(x) - f(x1) = f'(d)(x - x1)

Ora, consideriamo il rapporto incrementale tra f'(x) e x - x1. Possiamo scrivere:

f'(x) = f''(d)(x - x1)

Se la funzione è continua e la sua derivata è positiva, allora f''(d) ≥ 0. Quindi, possiamo scrivere:

f'(x) ≥ 0

Quindi, abbiamo dimostrato che f è decrescente e convessa.

F(x) = ∫e^x * sin(x^4) dx

F(x) = ∫e^x * (x^4)' dx

F(x) = e^x * (x^4) - ∫(e^x * 4x^3) dx

F(x) = e^x * (x^4) - 4∫(e^x * x^3) dx

F(x) = e^x * (x^4) - 4(e^x * (x^3) - ∫(e^x * 3x^2) dx)

F(x) = e^x * (x^4) - 4(e^x * (x^3) - 3∫(e^x * x^2) dx)

F(x) = e^x * (x^4) - 4(e^x * (x^3) - 3(e^x * (x^2) - ∫(e^x * 2x) dx))

F(x) = e^x * (x^4) - 4(e^x * (x^3) - 3(e^x * (x^2) - 2∫(e^x * x) dx))

F(x) = e^x * (x^4) - 4(e^x * (x^3) - 3(e^x * (x^2) - 2(e^x * x - ∫e^x dx)))

F(x) = e^x * (x^4) - 4(e^x * (x^3) - 3(e^x * (x^2) - 2(e^x * x - e^x)))

F(x) = e^x * (x^4) - 4e^x * (x^3) + 12e^x * (x^2) - 8e^x * x + 8e^x + C

where C is the constant of integration.

Therefore, the integral of e^x * sin(x^4) dx is e^x * (x^4) - 4e^x * (x^3) + 12e^x * (x^2) - 8e^x * x + 8e^x + C.

DELipotesi f ty g gttpH notety cony p gHot yoydimostrazione linearela soluzione il deldetermina metododell'equazione fattoreconintegrante tettiuh gtttutti playyIF IT Ètutti lettAse alloraquindipH se scrivereeµ µ possiamoaltoteconHtt gaµgtra t.atIntegro fe.hrgiàdaultdyltdulttyltt vii Asostituisco µ comoditàe 1impongo perµÈde figheyet daye ÈÈ etdi p djpgas e eg cambio di variabilesÈ LÌ fÈ e agas de eg e ÈÈportodentro la fcost poieÈ degliesponenzialida ftp.legsarplicoeaproprèyal ey gas Soluzione che ilunica datoinizialerispetta ultiSenza sostituireil inizialedato scritto quindi senzaavremmoyo die il costituiscedi famiglia solerziavariare unacf deGIA ga Ledifferenzialedell'equazione curve corrispondentisonoe e dette integrali no curvecurveEquazioni secondoDifferenziali OMOGENEE15 ORDINEDELipotesi ft inizialif dati gita yy y y g'HA yalt RA GttPitt y yyMt

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Dimostrazione costanticoefficientia

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