Domande orale Analisi II

Funzioni in ℂ

Esponenziale

e^z = e^x(cos y + i sin y) = e^{Re z}(cos Im z + i sin Im z) |z|² = e^{Re z} e Arg z³ = Im z e^z = e^x cos y + i e^x sin y u(x,y) + i v(x,y) u_x = e^x cos y u_y = -e^x sin y v_y = e^x cos y -v_x = -e^x sin y

Ricorda C - R

1. ∂z/∂x = 1/i ∂z/∂y
2. ∂u x = v y u_y = -v_x
3. ∂z/∂ρ = 1/iρ ∂z/∂θ

Logaritmo

z = e^w ⇔ w = log z |z| = e^u u = log |z| Arg z = v log z è definito per z ≠ 0 log t è continuo in ℂ log z := log |z| + i Arg z = log ρ + i θ

Potenze

z^α, z, α ∈ ℂ ⇒ z^α = e^{α log z} z^z = e^{z log z}

Seno e coseno

cos z := e^iz + e^-iz / 2 sin z := e^iz - e^-iz / 2i

Seno e coseno iperbolico

cosh z := e^z + e^-z / 2 sinh z := e^z - e^-z / 2 une è il dual dell'altra cosh² z - sinh² z = 1

Funzioni in ℂ esponenziale

z² = e^{x( cos y + i sin y )} = e^{Re z (cos Im z + i sin Im z)} |z|² = e^{Re z} e Arg z³ = Im z e^z = e^x cos y + i e^x sin y μ(x,y) + i ν(x,y) μ_x = e^x cos y ν_x = e^x cos y μ_y = −e^x sin y ν_y = e^x sin y

Ricorda C - R

1. ∂z / ∂x = 1 / i · ∂z / ∂y
2. μ_x = ν_y
3. μ_y = −ν_x
4. ∂z / ∂ρ = 1 / iρ · ∂f / ∂θ

Logaritmo

z = e^w w = log z |z| = e^u μ = log |z| Arg z = ν log z è definito per z ≠ 0 log z è continuo in ℂ

Potenze

z^α z,α ∈ ℂ z^α = l^{α log z} z^z = e^{z log z}

Seno e coseno

cos z := ℓ^iz + ℓ^−iz / 2 sin z := ℓ^iz − ℓ^−iz / 2i

Seno e coseno iperbolico

cosh z := ℓ^z + ℓ^−z / 2 sinh z := ℓ^z − ℓ^−z / 2 cosh² z − sinh² z = 1

Successioni di funzione

Sia I un intervallo contenuto in R e per ogni m ∈ N, f_m: I → R una funzione definita in I. Consideriamo le successioni di funzioni: f₀, f₁, f₂, ..., f_m, ... da denotare anche con (f_m)_m∈N. Osserviamo che f_m(x) ha una doppia dipendenza: nella variabile x ∈ R e nell'indice m ∈ N.

m ∈ N fissato → la funzione x ↦ f_m(x); a ∈ I fissato → la successione numerica f_m(x).

Convergenza puntuale

(f_m)_m∈N → f puntualmente se ∀ x₀ ∈ R, ∀ ε > 0 ∃ m̅ ∈ N: |f_m(x₀) - f(x₀)| m→∞ f_m(x) = f(x)

Convergenza uniforme

f_m → f uniformemente ∀ ε > 0 ∃ m̅ ∈ N: ∀ m ∈ N, ∀ m ≥ m̅, ^x∈I |f_m(x) - f(x)| ∀ ε > 0 ∃ m̅ ∈ N: ∀ m > m̅, ∀ ε > 0, a_m m → 0 lim_m→∞ ^x∈I |f_m(x) - f(x)| = 0

Teorema sulla continuità del limite

∀ m ∈ N f_m continua ⇒ f_m → f uniformemente ⇒ f è continua

Teorema sull'inversione del limite

\(\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to x_0} f_n(x) = \lim_{x \to x_0} \lim_{n \to \infty} f_n(x)\)

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

\(f_n\) continua su \([a,b]\) \(\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx\)

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata

\(f_n\) continua su \([a,b]\) \(\lim_{n \to \infty} f_n'(x) = f'(x)\)

Serie di funzioni

Definita come la successione di funzioni \(S_n(x)\) di termine generale \(f_n(x)\): \(\sum_{m=0}^{\infty} f_m(x) = S(x)\)

Convergenza puntuale

La serie \(\sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)\) converge puntualmente a \(S(x)\) se \(\forall x_0 \in \mathbb{R}\) \(\Rightarrow \lim\) della successione delle somme parziali.

Convergenza uniforme

La serie \(\sum_{n=0}^{\infty} f_n\) converge uniformemente a \(S(x)\) se \(S_n(x)\) converge unif.

Convergenza assoluta

La serie \(\sum_{n=0}^