Domande orale Analisi II

FUNZIONI IN ℂ

ES PONENZIALE

e^z = e^x(cosy + i siny) = e^{Re z}(cos Im z + i sin Im z)

|z|² = e^{Re z} e Arg z³ = Im z

e^z = e^x cosy + i e^x siny

u(x,y) + i v(x,y)

u_x = e^x cosy u_y = -e^x siny

v_y = e^x cosy -v_x = -e^x siny

RICORDA C - R

1. ∂z/∂x = 1/i ∂z/∂y

2. ∂u x = v y u_y = -v_x

3. ∂z/∂ρ = 1/iρ ∂z/∂θ

LOGARITMO

z = e^w ⇔ w = log z

|z| = e^u u = log |z|

Arg z = v

log z è definito per z ≠ 0

log t è continuo in ℂ**

log z := log |z| + i Arg z = log ρ + i θ

POTENZE

z^α, z, α ∈ ℂ ⇒ z^α = e^{α log z}

z^z = e^{z log z}

SENO E COSENO

cos z := e^iz + e^-iz / 2

sin z := e^iz - e^-iz / 2i

SENO E COSENO IPERBOLICO

cosh z := e^z + e^-z / 2

sinh z := e^z - e^-z / 2

une è il dual dell'altra

cosh² z - sinh² z = 1

FUNZIONI IN ℂ

ESPONENZIALE

z² = e^{x( cos y + i sin y )} = e^{Re z (cos Im z + i sin Im z)}

|z|² = e^{Re z} e Arg z³ = Im z

e^z = e^x cos y + i e^x sin y

μ(x,y) + i ν(x,y)

μ_x = e^x cos y

ν_x = e^x cos y

μ_y = −e^x sin y

ν_y = e^x sin y

RICORDA C - R

1. ∂z / ∂x = 1 / i · ∂z / ∂y

2. μ_x = ν_y

   μ_y = −ν_x

3. ∂z / ∂ρ = 1 / iρ · ∂f / ∂θ

LOGARITMO

z = e^w w = log z

|z| = e^u μ = log |z|

Arg z = ν

log z è definito per z ≠ 0

log z è continuo in ℂ

POTENZE

z^α z,α ∈ ℂ z^α = l^{α log z}

z^z = e^{z log z}

SENO E COSENO

cos z := ℓ^iz + ℓ^−iz / 2

sin z := ℓ^iz − ℓ^−iz / 2i

SENO E COSENO IPERBOLICO

cosh z := ℓ^z + ℓ^−z / 2

sinh z := ℓ^z − ℓ^−z / 2

cosh ² z − sinh ² z = 1

Successioni di Funzione

Sia I un intervallo contenuto in R e per ogni m ∈ N, f_m: I → R una funzione definita in I. Consideriamo le successioni di funzioni:

f₀, f₁, f₂, ..., f_m, ...

da denotare anche con (f_m)_m∈N. Osserviamo che f_m(x) ha una doppia dipendenza: nella variabile x ∈ R e nell'indice m ∈ N.

m ∈ N fissato → la la funzione x ↦ f_m(x);

a ∈ I fissato → la la successione numerica f_m(x).

Convergenza Puntuale

(f_m)_m∈N → f puntualmente se ∀ x₀ ∈ R, ∀ ε > 0 ∃ m̅ ∈ N:

|f_m(x₀) - f(x₀)| < ε, ovvero se lim_m→∞ f_m(x) = f(x)

Convergenza Uniforme

f_m → f uniformemente ∀ ε > 0 ∃ m̅ ∈ N: ∀ m ∈ N, ∀ m ≥ m̅, ^x∈I |f_m(x) - f(x)| < ε

∀ ε > 0 ∃ m̅ ∈ N: ∀ m > m̅, ∀ ε > 0, a_m < ε ⇔ g_m → 0

lim_m→∞ ^x∈I |f_m(x) - f(x)| = 0

Teorema sulla Continuità del Limite

∀ m ∈ N f_m continua ⇒ f_m → f uniformemente ⇒ f è continua

Teorema sull'inversione del limite

\(\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to x_0} f_n(x) = \lim_{x \to x_0} \lim_{n \to \infty} f_n(x)\)

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

\(f_n\) continua su \([a,b]\)

\(\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx\)

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata

\(f_n\) continua su \([a,b]\)

\(\lim_{n \to \infty} f_n'(x) = f'(x)\)

Serie di funzioni

Definita come la successione di funzioni \(S_n(x)\) di termine generale \(f_n(x)\):

\(\sum_{m=0}^{\infty} f_m(x) = S(x)\)

Convergenza puntuale

• La serie \(\sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)\) converge puntualmente a \(S(x)\) se \(\forall x_0 \in \mathbb{R}\) \(\Rightarrow \lim \) delle successione delle somme parziali.

Convergenza uniforme

• La serie \(\sum_{n=0}^{\infty} f_n\) converge uniformemente a \(S(x)\) se \(S_n(x)\) converge unif.

Convergenza assoluta

• La serie \(\sum_{n=0}^