Appunti di Analisi I, prof. Raffaella Capitanelli

Libro di testo consigliato: A. Ghizzetti, F. Rosati. Analisi Matematica - Vol. 1, Zanichelli; le dimostrazioni dei teoremi contrassegnate con (*) vanno sapute ai fini dell'esame.

Programma:
Insiemi di numeri reali: generalità ed esempi; estremo inferiore e superiore di un insieme (no dim.); punti di accumulazione (*); insiemi chiusi (no dim. Teorema 2.3.II); il numero e; logaritmi naturali (no dim.).

Funzioni di una variabile: il concetto di funzione; rappresentazione geometrica: grafico; le funzioni elementari; alcune nozioni generali sulle funzioni; estremo inferiore e superiore in una funzione; funzioni composte e inverse; le funzioni circolari inverse; le successioni.

Successioni: successioni convergenti, divergenti; definizione di limite (no dim. Teorema 5.1.III); unicità del limite (*); primi teoremi sui limiti; sottosuccessioni, disuguaglianze (no dim.); limiti di successioni monotone; il numero e (no dim.); operazioni sui limiti: forme indeterminate (no dim.); alcuni limiti fondamentali (no dim.); confronto tra infinitesimi o tra infiniti (no dim.); criterio di convergenza di Cauchy (*).

Limiti di funzioni di una variabile: limiti all’infinito; limiti in un punto; osservazioni sui limiti di funzioni (no Teorema 7.3.I, no dim. Teorema 7.3.II); teorema sui limiti delle funzioni; calcolo di due limiti fondamentali; confronto tra infinitesimi o tra infiniti (no dim.).

Funzioni continue di un variabile: definizioni e prime proprietà; esempi di funzioni continue (no dim.); punti singolari di una funzione; continuità a sinistra e a destra; operazioni sulle funzioni continue (no dim.); teoremi fondamentali sulle funzioni continue (no dim., no definizione di funzione uniformemente continua e relativi teoremi); funzioni inverse (no dim.).

Nozioni di calcolo differenziale per le funzioni di una variabile: definizione di derivata; applicazioni del concetto di derivata; funzioni differenziabili e proprietà del differenziale; regole di derivazione (no dim.); derivazione della funzione inversa (no dim. Teorema 9.5.I); derivazione di una funzione composta (no dim.); funzioni iperboliche e loro derivate; tabella delle derivate fondamentali; derivate successive (no formula di Liebnitz); crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi ( no dim. Teorema 9.11.I); teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange (*); conseguenze del teorema di Lagrange; crescenza in grande (no dim. Teorema 9.13.III, senza Osservazione I); forme indeterminate: teorema di de L’Hopital (no dim. Teorema 9.14.I, no Teorema 9.14.II); asintoti; ricerca del minimo e del massimo assoluti di una funzione; funzioni concave o convesse in un punto, flessi (no Esempi 1-2, no Teorema 9.17.I, II, no dim. Teorema 9.17.III, IV); concavità e convessità in grande (no dim. Teorema 9.18.I, III, IV, no Teorema 9.18.II); studio del grafico di una funzione.

Nozioni di calcolo integrale per le funzioni di una variabile: funzioni primitive; integrale di una funzione continua estesa ad un intervallo (no dim.); significato geometrico dell’integrale; proprietà dell’integrale (no dim.); integrali definiti (no dim.); esistenza delle primitive di una funzione: teorema di Torricelli-Barrow (*); integrali indefiniti; integrazione per parti (*); integrazione per sostituzione (no dim.); integrazione definita per parti e per sostituzione (no dim.); alcune applicazioni, aree e funzioni integrali (no Esempi 4-5-6).

Serie numeriche: serie convergenti, divergenti, indeterminate (no Esempio 4); il criterio generale di convergenza (no dim. Teorema 6.2.III, IV); proprietà ed operazioni (no dim.); serie a termini di segno costante (no dim. Teorema 6.4.II, no definizione di regolarità incondizionata); serie assolutamente convergenti (no dim. Teorema 6.5.II, senza prodotto di due serie); criteri di convergenza assoluta (no dim., no Teorema 6.6.III, III’’, IV, V, V’); criterio di convergenza non assoluta (no dim. Teorema 6.7.I, II).

Numeri complessi: introduzione; definizioni; conseguenze delle definizioni precedenti (no dim. Teorema 12.3.I); operazioni inverse, numeri coniugati; rappresentazione geometrica dei numeri complessi (no dim. Teorema 12.5.II); radici di numeri complessi; esponenziale: formula di Eulero (no dim.); logaritmo di un numero complesso."> NB: questi appunti sono validi anche per i professori Christian Casalvieri e Bruna Germano di Analisi Matematica I di Ingegneria Edile-Architettura de "La Sapienza".Libro di testo consigliato: …