Appunti di Analisi I, prof. Raffaella Capitanelli

Insiemi Numerici

• Intervallo chiuso di estremi a/b: l'insieme dei numeri x tali che verificano la disuguaglianza a <= x <= b; [a,b].
• Intervallo aperto di estremi a/b: l'insieme dei numeri x tali che verificano la disuguaglianza a < x < b; (a,b).
• Intervallo chiuso/aperto di estremi a/b: l'insieme dei numeri x tali che verificano a <= x < b; [a,b) o (a,b].

Questi intervalli si dicono limitati. L'intervallo (a,+∞) opp: l'insieme dei numeri x la disuguaglianza x > (oppure ) .

Per cui (a,+∞) opp: l'insieme degli intervalli si dicono illimitati.

• (-∞,+∞) opp: .

Questi intervalli si dicono illimitati.

• Superiori per i numeri reali con punti di protratta della condizione, si individui tutto il sistema di differenza della non e quindi verifichi su di gruppo di numeri reali.
• Indotti di punti X in gruppo di insiemi dei numeri reali.

Per intervalli limitati si verifica il caratterizzato sui punti della relativa serie (intero). Per intervalli illimitati nel gioco si spiega su la comprensione con la senza del loro punto di stipulato (c.f. intervallo).

• Dato un qualsiasi intervallo E (circoscritto o illimitato) ∀ x∈E, c'è una sola che risiede su definito interno ad E.

Dato un insieme E ⊆ ℝ, possiamo esaminare se esista in E un numero minimo (min) oppure un numero massimo (max).

1. Se E è un numero finito, i due numeri min e max esistono e trattano se:
   • ^E = {15, 19, 23, 29, 31}
   Min E = 17 Max E = 31
2. Se E è un numero infinito, non è più detto che esista min o max.

Proposizione: Se si ordina tutti i numeri di E di due classi, A, B, tali che per ogni a∊A e b∊B si ha a < b, questo verifica solo se doby un unico stipulato o si chiamano di elementi d'insieme di due altre stesse.

• Sono se: x∊B con x max de A, x numero o elemento di separazione delle due classi, t del.
• Le due classe A, B si dicono anche costruiti nella sezione del suddetto R.

Estremo inferiore e superiore:

Dato un insieme E R, si dice che x è limitato inferiormente se esiste un numero α R tale che α ≤ x, x E.

α prende il nome di minorante, esso è sempre ≥ di qualcosa all’interno di un’infinità detta anche limitato inferiormente se esiste un numero α R tale che α ≤ x, x E.

Dato un insieme E R, si dice che x è limitato superiormente se esiste un numero β R tale che x ≤ β per x E, β prende il nome di minorante, come definizione la parte inferiore dell’infinità detta anche limitato inferiormente se esiste un numero α tale che α ≤ x, x E.

Oppure semplicemente che è limitato si intende anche che è limitato inferiormente e superiormente.

Un parto

Chiamasi:

• A = {9/x9, x E} → minoranti
• B = {b E, x ≤ b} → maggioranti

Estremo Inferiore (INF E = ∧A):

1. tutti i numeri x E sono maggiori o uguali di ∧.

x≥∧, x E

2. anzichimen suvunque un numero positivo ε, nell’insieme E. almeno un numero E si avvicini al numero di ∧ + ε

∀ε>0 x E0 x E0

2) Funzione quadratica → y = ax² calcolato b = 0

1. Il grafico ha un andamento diverso nei due casi:
2. a) per a < 0 il coefficiente è [-∞ ; 0[ e la funzione sarà:
   • Decrescente in [0 ; +∞[
   • Crescente in ]-∞ ; 0]

   Es. #1

   a = -1

   b = 0

3. b) per a > 0 il coefficiente è ]-∞ ; 0] e la funzione sarà:
   • Crescente in [0 ; +∞[
   • Decrescente in ]-∞ ; 0]

   Es. #2

   a = 1

   b = 0

3) Funzione cubica y = ax³ calcolato a ≠ 0 e b ≠ 0

1. La funzione è simmetrica, grafico simmetrico rispetto agli opposti degli assi:
2. a) per a > 0 la funzione è crescente
3. b) per a < 0 la funzione è decrescente

Es. #1

a = 1

b = 0

Funzioni Circolari Inverse:

Fissato un dato x in R, si chiarano gli eventuali y=f per i quali "f^-1x=y".

Si riduce il problema ammetta soluzione e indichiamo che allora x∈ [-1,1].

1. Arcocseno y = arcocsx, con x∈[-1,1], y∈[-π/2, π/2]

   • Funzione inversa di y=sinx
   • sin(arcosenx)=x, ∀ x∈[-1,1]
   • arcosen(siny)=y, ∀ y∈[-π/2,π/2]
   • Il loro grafico è l'arco sinusoide

2. Arcocoseno y = arccosx, x∈[-1,1], y∈[0,π]

   • Funzione inversa di y=cosx
   • cos(arcosx)=x, ∀ x∈[-1,1]
   • arcos(cosy)=y, ∀ y∈[0,π]

3. Arcotangente y = arctgx, con x∈R, y∈(-π/2, π/2)

   • Funzione dispari e presente
   • tg(arctgx)=x, x∈R
   • arctg(tgy)=y, ∀ y∈(-π/2, π/2)

Teorema

Se f(x) con x→∞ tende a l regolare, risulta regolare anche f(log_b(x))

• f(x) = log_e(x) se An = 1/x→0
• se f(x) = 1/x^p e An = 1/x log_b(1/An)→0

Teorema

Se f(x) con x→∞ tende a l regolare associato all'esterno, risulta regolare anche dentro b.log; n!

• f(x^p); se ∫x
• Indipendente anche rispetto all'1/x
• Si richiedono le verif generiche est w se μ compresa tra An e (An+μ)

Confronto tra Infinitesimi

• Se non f(x), f’(y) due successioni infinitesimi e non due tendenze.
• Se |An| con f'(x) biene regolarizzato:
• f(x) è infinitesimo di ordine superiore rispetto b(n) per x→∞ se:
• f(x) 1/n→0
• se f'(n)

N se caso in cui iterata f(|u - An| = l 0, per infinitesimo di Cato, stesso b(n)

la denominazione poi generata come infinitive di ordini fungono modalità di diffusione di (An no ref)

0 < (''-''+''-''/0