Analisi e geometria 2

20.4

SPAZI AFFINI EUCLIDEI

Per poter sviluppare l'analisi in Rⁿ dobbiamo definire i concetti di:

• PUNTO
• SPOSTAMENTO
• DISTANZA

A questo scopo definiamo gli spazi affini euclidei.

Questa è una struttura matematica costituita da:

1. una insiemi di oggetti chiamati punti;
2. uno spazio vettoriale i cui vettori finiscono gli spostamenti tra i punti;
3. una regola per associare ad ogni coppia di punti un unico spostamento;
4. una regola per misurare le lunghezze degli spostamenti.

i) + ii) + iii) = spazio affine

i) + ii) + iii) + iv) = spazio affine euclideo

Assiomi di Weyl

(Definizione 7.1, 10.1)

Siano \( A \) un insieme non vuoto, \( V \) uno spazio vettoriale e \(\Psi\) una funzione

\( \Psi: A \times A \rightarrow V \)

\((P, Q) \mapsto \overrightarrow{PQ}\)

La struttura \((A, (A,V,\Psi)) \) è uno spazio affine se:

1. per ogni punto fisso \( P \in A \), la funzione

\(\Psi_P: \{P\} \times A \rightarrow V \)

\((P,Q) \mapsto \overrightarrow{PQ}\)

è biettiva;

2. valendo le regole del parallelogramma, ... di Chasles

\(\Psi(P,Q) + \Psi(Q,R) = \Psi(P,R)\)

per ogni \( P,Q,R \in A \).

Se \( V \) è dotato di prodotto scalare, la struttura \( A \) si dice spazio affine euclideo.

Spiego:

1. Partendo da qualunque punto \( P \) posso raggiungere ogni altro punto \( Q \) con un unico vettore \(\overrightarrow{PA}\) e viceversa.

\(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{PQ}\)

i) d(P₁, Q₁) = || PQ ||

ii) d(P₁, Q₁) = || PQ || = || -PQ || = || QP || = d(QP₁)

iii)

d(P, Q) + d(Q, R) ≥ d(P, R)

(Rⁿ, d) è uno spazio metrico

Definizione 7.5, 10.4

• In E^m un sistema di riferimento è uno (m+1)-upla (O, v₁, ..., v_m) ∈ Ax V* dove O è un punto detto origine e (v₁, ..., v_m) è una base di R^m.
• La funzione φ_BO: A → Mat(m, A; R)
• P → [P]_BO = [OP]_BO
• è detta mappa delle coordinate e [P]_BO non sarebbe coordinato di P rispetto BO.
• Se (v₁, ..., v_m) è una base ortonormale, allora il sistema di riferimento BO si dice cartesiano e le coordinate [P]_BO si dicono cartesiane.

X = { (x₁,x₂) ∈ ℝ² | x₂ = x }

X̅ = φ ⟹ X non è aperto

∂X = X

ℝ² \ X = { punti esterni di X }

ℝ² \ X è aperto ⟺ X è chiuso

X non è dominivo

X = { (x₁,x₂,z) ∈ ℝ³ | x=0, y>0, z≥0 }

X = φ ⟹ X non è aperto

∂X = X ∪ { x=0, z=0, z>0 }

∪ X = punti esterni

ℝ² \ X ❲ non è aperto ⟹

ℝ² X non è chiuso

X non è dominivo

Definizione 3.

Un sottoinsieme A ⊆ ℝⁿ è detto aperto, o insieme aperto, se ogni punto di A è interno ad A.

Osservazione 4.

Se A' è un aperto, allora vale l'uguaglianza A = ∘A.

Proposizione 5.

In ℝⁿ valgono:

1. ∅ ed ℝⁿ sono aperti;
2. se {Aᵢ | i ∈ I} è una famiglia (anche infinita) di insiemi aperti, allora ⋃ᵢ∈I Aᵢ è un insieme aperto;
3. se A₁, …, Aₙ sono un numero finito di insiemi aperti, allora A₁ ∩ … ∩ Aₙ è un insieme aperto.

X chiuso e limitato -> X compatto

Sia {p_k} ⊆ X -> {p_k = (x₁(k₁), x₂(k₁), ..., x_m(k₁))}

X è chiuso e limitato lungo tutte le dimensioni ->

-> {x_i(k_j)} ⊆ ℝ varia in un intervallo chiuso e limitato.

Per il teorema di Bolzano - Weierstrass esiste una sottosuccessione

-> {x_i(k_i1)} converge ad x̅_i ->

{p_kj = (x₁(k_j1), x₂(k_j1), ..., x_m(k_j1))} -> (x̅_i, ...)

Ripetiamo il ragionamento su {k_j2} partendo dalla seconda

coordinata ->

-> {p_k<j1,j2> = (x₁(k_j1,j2), x₂(k_j1,j2), ..., x_m(k_j1,j2))} -> (x̅₁, x̅₂, ...)

Hence: {k_j1, j₂ ... j_m} -> (x̅₁, x̅₂, ... x̅_m) ∈ X ->

-> X compatto.

F(x,y) = √(1 - x² - y² - c²)

D = {(x, y) ∈ R² | x² + y² ≤ 1}

D = chiuso, limitato, compatto, connesso, è dominio

D = D∪∂D

D_c = {(x, y, z) ∈ 0 | √(1 - x² - y² - z = c)}

D_c = ∅ se c < 0

c ≤ 0 : 1 - x² - y² - c² = 0 ⇒ x² + y² + c² = 1

0 < c ≤ 1 : x² - y² = 1 - c²

c = 1 : x² + y² - c² = 1 ⇒ x² + y² = 0 = D(x,y) = (0,0)

R = 1/2, x² + y² = 1/2 = 1 - c²

⇒ c² = 3/4 ⇒ c = √3/2

f(D) = [0, 1]

: 0⧸ : f(x,0) = 0

Cosa succede se → 0 ?

∫(cos, ∫sin) = 2

∫(cos², sin)

∫(cos²+sin²)

(u⧸x)

(2k • x)_m

se m > 2

se m ≠ 2

≠ UH NON ESISTE

Definizione 7. Sia f : D → R una funzione reale, con D ⊆ Rⁿ, e sia P₁ ∈ D un punto di accumulazione per D. Diciamo che f è continua in P₀ se lim_{P → P0} f(P) = f(P₀). Sia D' ⊆ D formato da punti di accumulazione per D. Diciamo che f è continua in D' se f è continua in P₀, qualunque sia P₀ ∈ D̅:

, : dom. suc. costr.min.lim., dom. suc. costr.^-1()=0

Teorema 8 (di Weierstrass). Sia f : D →R una funzione continua su D, con D comp.

atto, Allora f(D) è un insieme compatto di R, ossia è un insieme chiuso e limitato.

Osservazione 9. Data f continua su compatto D, f(D) è chiuso e limitato. Essendo limitato, esistono due numeri reali a,b che verificano a = inf(f(D)) e b = sup(f(D)). Essendo (D) chiuso, allora a, b ∈ f(D), e quindi a = min f(D), b = max f(D). Quindi, esiste P₁ ∈ D per cui a = f(P₁) ≤ f(P), ed esiste P₂ ∈ D per cui b = f(P₂) ≥ f(P), entrambe le disuguaglianze per ogni P ∈ D. In conclusione, f ammette minimo e massimo.

f continuo euclideo compatto in compatti

ESEMPIO:

f(x,y) = x e^x2

∀f(x,y) = (x,2y) = λ e₁ + 2y e₂

f(x,y) = y x^y

x^1/3, √^{x ² y}, y √^x + √^y x ^q

∇f = _[0,0]

se x ≠0 e y ≠0

se (x,y) = (0,0)

non esiste altrove

è derivabile

se

∅

∅

∅

∅

∅

f è differenziabile

se

f (0;0)

se

Verificare

f è differenziabile

∅

f

f

∅

f

Definizione 11.

Sia \( f : A \rightarrow \mathbb{R} \) una funzione, con \( A \) aperto, e sia \( P_0 \in A \). Si chiama rapporto incrementale di \( f \) in \( P_0 \) lungo la direzione \( e \), con \( |e| = 1 \), la quantità

\( \frac{\Delta f}{\Delta e}(t;P_0) = \frac{f(P_0 + t \cdot e) - f(P_0)}{t} \)

Si dice che \( f \) ammette derivata nella direzione \( e \) in \( P_0 \) se esiste finito

\( \lim_{t \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta e}(t; P_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(P_0 + t \cdot e) - f(P_0)}{t} \).

Detto \( \ell \in \mathbb{R} \) il valore di tale limite, diciamo che la derivata direzionale di \( f \) nella direzione \( e \) in \( P_0 \) vale \( \ell \), e scriviamo

\( \frac{\partial f}{\partial e}(P_0) = \ell \).

ESEMPIO

\( F(x,y) = \begin{cases} \frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^4}} & , \text{ se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & , \text{ se } (x,y) = (0,0) \end{cases} \)

\( e = \cos \frac{\pi}{4} e_1 + \sin \frac{\pi}{4} e_2 \)

\( \frac{\Delta F}{\Delta e} (t; [0,0]) = \frac{f(t \cos \frac{\pi}{4}, t \sin \frac{\pi}{4}) - f(0,0)}{t} = \frac{1}{t} \cdot \frac{2t^2 \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{4}}{t} = \sin \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{4} \)

\(\frac{\partial F}{\partial e}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta e} (t; [0,0]) = \lim_{t \to 0} \sin \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad , \quad e \in \mathbb{R} \)