Appunti Analisi e Geometria 2

Rette e piani in IR³ (richiami)

• Retta passante per l'origine con direzione assegnata _v

Nella descrizione di una retta, posso utilizzare la forma parametrica.

• _p = _p(t)   e' un moto
• _p - ₀ = t _v   scrittura in forma parametrica

• Retta per un punto _p0 = (x₀, y₀, z₀) e direzione _v

_p - _p0 = t_v

• x = x₀ + at
• y = y₀ + bt
• z = z₀ + ct

Al tempo t = 0 mi trovo in P₀, passata un'unità di tempo mi sposto in un P(t) con t = 1 => equazione di un moto.

PIANI IN IR³

Utilizzo il prodotto scalare tra due elementi _u e _v. Quindi definisco:

• _u = (u₁, u₂, u₃)
• _v = (v₁, v₂, v₃)

_u • _v = u₁ • v₁ + u₂ • v₂ + u₃ • v₃

• fornisce una condizione di ortogonalità.

Due vettori hanno prodotto scalare nullo se e solo se sono ortogonali.

Nel definire un piano, chiamiamo "direttrice" del piano la direzione di qualsiasi retta passante e ortogonale al piano.

• Piano per _p0 con direzione _v

Devo scrivere l'equazione di un generico punto _p.

Quindi:

P - P₀ ⊥ π ⇔ (P - P₀) ⋅ π = 0

⇐ equazione del piano considerato

a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0

2x + by + cz = (ax₀ + by₀ + cz₀) = 0

combinazione lineare

delle variabili x,y,z con coefficienti a,b,c

Se il termine noto è NULLO, il piano passa per l'origine.

Esercizio

π: 5x + 3y + z = 0

P₀: (5,4,1) ∉ π

Cerco Q simmetrico.

r:

• x = 5 + 5t
• y = 4 + 3t
• z = 1 + t

Trovo il punto di intersezione tra r ∩ π (sarà un punto)

• x = 5 + 5t
• y = 4 + 3t
• z = 1 + t

25 + 25t + 12 + 9t + 1 + t = 0

38 + 35t = 0

t = -38/35

• 5x + 3y + z = 0

Q:

• 5 + 5 (-38/35) 2
• 4 + 3 (-38/35) 2
• 1 + 2 (-38/35)

Il moto di P è lineare con direzione r.

Data una retta r:

• { x = 1 + 3t
• y = 2 + 2t
• z = -1 + t

scrivo la sua eq. cartesiana:

• r:
• { x = 1 + 3(z+1)
• y = 2 + 2(z+1)

x è l'intersezione di due piani

da scrittura parametrica di una retta ... oltre alla retta, un sistema di riferimento, ORIGINE (per t = 0)

Oss. W ⊆ C⁰(R)

Non è solo un sottoinsieme!

Si definisce sottospazio

Chiamiamo quindi sottospazi vettoriali tutti i sottoinsiemi di uno

spazio vettoriale.

es. IR² è sottospazio vettoriale di IR³

IR² = { (x, y, z) ∈ IR³ : z = 0 }

prendo un sottoinsieme di IR³

Affinché IR² sia un sottospazio, devo verificare che

sia chiuso rispetto alle comb. lineari.

(x₁, y₁, 0) + (x₂, y₂, 0) = (x₁+x₂, y₁+y₂, 0)

α(x₁, y₁, 0) = (αx₁, αy₁, 0)

es. Sottospazi vettoriali in IR²

L'insieme V non è un sottospazio

vettoriale.

Nessun sottoinsieme limitato può

essere un sottospazio vettoriale.

Nemmeno V_a è un sottospazio

vettoriale.

v = { (x, y) ∈ IR² : y = 2x + 1 }

Le rette non sono sottospazi vettoriali

a meno che non passano per

l'origine.

z = { (x, y) ∈ IR² : y = αx }

ū₁ = (x₁, αx₁)

ū₂ = (x₂, αx₂)

ū₁ + ū₂ = (x₁+x₂, α(x₁+x₂))

k ū₁ = (kx₁, αkx₁)

Tutti e soli sottospazi

vettoriali sono rette

passanti per l'origine.

Matrice quadrata: num. di righe uguale al num. di colonne (m = m) .

Matrice trasposta (AT): matrice che ottengo da A cambiando le righe con le colonne. Cioè se A = [a_ij] con i = 1, ..., m e j = 1, ..., m allora AT = [a_ji]

Tra le matrici quadrate identifico:

• Matrici diagonali: se a_ij = 0 ∀ i ≠ j diagonale principale (dove i = j)
• Matrici identità (o identiche) I: sono matrici diagonali: a_ij = 0 ∀ i ≠ j ∧ a_ii = 1 ∀ i ⎡1 0 0⎤ ⎢0 1 0⎥ = I₃ ⎣0 0 1⎦
• Matrici triangolari: matrici che hanno solo 0 sopra o sotto la diagonale principale.
  • Triangolari superiori: Se sotto la diagonale ha zeri.
  • Triangolari inferiori: Se sopra la diagonale ha zeri.
• Sottomatrice estratta da A: posso rimuovere righe e/o colonne dalla matrice data. Quindi: A_ij è A rimuossa la i-esima riga e la j-esima colonna;

Operazioni

• Somma di matrici (A + B) A e B devono essere entrambe (m, n). A + B = C , C è (m, n) e c_ij = a_ij + b_ij ∀ i, j es. A = ⎡1 2 1⎤ B = ⎡1 -1 1⎤ = C = ⎡2 1 2⎤ ⎢0 1 3⎥ + ⎢1 0 1⎥ ⎢1 1 4⎥
• Prodotto per uno scalare (α A) con α ∈ ℝ Se A ∈ (m, m), α A = C , C ∈ (m, n) : c_ij = αa_ij ∀ i, j Ovvero α moltiplica tutti gl' elementi della matrice. es. A = ⎡1 2⎤ α = 2 => C = α A = ⎡2 4 ⎤ ⎣3 4⎦ ⎣6 8⎦

es. Inversa della (2,2)

A = ^{[1 2]} _{[3 4]} det A = -2

A^* = ^{[4 -2]} _{[-3 1]} B = -¹/₂ ^{[4 -3]} _{[-2 1]}

Verifico che B è la matrice inversa di A :

A · B = ^{[1 2]} _{[3 4]} · ^{[4 -3]} _{[-2 1]} = -¹/₂ ^{[2 0]} _{[0 -2]} = ^{[1 0]} _{[0 1]}

Generalizzo

A = ^{[a b]} _{[c d]} A^* = ^{[d -c]} _{[-b a]} A^-1 = 1/_ab-bc ^{[d -b]} _{[-c a]}

Infatti

A · A^-1 = ^{[a b]} _{[c d]} · 1/_ad-bc ^{[d -b]} _{[-c a]}

= 1/_ad-bc ^{[a b]} _{[c d]} · ^{[d -b]} _{[-c a]} = 1/_ad-bc ^{[ad-bc 0]} _{[0 ad-bc]}

= ^[1] _[1] ← dimostrato!

(2) A è invertibile ↔ det A ≠ 0

• A è singolare se det A = 0

Quindi :

1. A ha righe/colonne lin. dipendenti;
2. A non è invertibile.

Esercizio: data A calcolo A^-1

A = ^{[1 1 1] [1 0 2]} _{[2 2 0]} det A = 2

A^* = ^{[-4 4 2] [2 -2 0]} _{[2 -1 -1]}

A^-1 = 1/_{det A} · [A^*]^T