Appunti Analisi e Geometria 2

Rette e piani in ℝ³ (richiami)

• Retta passante per l'origine con direzione assegnata _v

  Nella descrizione di una retta, posso utilizzare la forma parametrica._P = _P(t) → è un moto_P - 0 = t_v→ scrittura in forma parametrica

• Retta per un punto _P0 = (x₀, y₀, z₀) e direzione _v

_P - _P0 = _vt{ x = x₀ + aty = y₀ + btz = z₀ + ct}

Al tempo t = 0 mi trovo in _P0, passata un'unità di tempo mi sposto in un _P(t) con t = 1 → equazione di un moto.

PIANI IN ℝ³

Utilizzo il prodotto scalare tra due elementi _u e _v.Quindi definisco:_u = (μ₁, μ₂, μ₃)_v = (v₁, v₂, v₃)

_u • _v = μ₁ • v₁ + μ₂ • v₂ + μ₃ • v₃→ fornisce una condizione di ortogonalità.

Due vettori hanno prodotto scalare nullo se e solo se sono ortogonali.

Nel definire un piano, chiamiamo "direttrice" del piano la direzione di qualsiasi retta passante e ortogonale al piano.

• Piano per _P0 con direzione _vDevo scrivere l'equazione di un generico punto _P.

Rette e piani in IR³ (richiami)

• Retta passante per l'origine con direzione assegnata

  Nella descrizione di una retta, posso utilizzare la forma parametrica.

  P = P(t)

  P - 0 = tv

  → scrittura in forma parametrica

• Retta per un punto P₀ = (x₀, y₀, z₀) e direzione v

  P - P₀ = vt

  • x = x₀ + at
  • y = y₀ + bt
  • z = z₀ + ct

  Al tempo t=0 mi trovo in P₀, passata un'unità di tempo mi sposto in un P(t) con t=1 → equazione di un moto.

PIANI IN IR³

Utilizzo il prodotto scalare tra due elementi u e v.

Quindi definisco:

• u = (u₁, u₂, u₃)
• v = (v₁, v₂, v₃)

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

→ fornisce una condizione di ortogonalità.

Due vettori hanno prodotto scalare nullo se e solo se sono ortogonali.

Nel definire un piano, chiamiamo "direttrice" del piano la direzione di qualsiasi retta passante e ortogonale al piano.

• Piano per P₀ con direzione v

  Devo scrivere l'equazione di un generico punto A.

Quindi:

(P - P₀) ⊥ π ⇔ (P - P₀) · π = 0↓ equazione del piano considerato

combinazione lineare delle variabili x, y, z con coefficienti a, b, cSe il termine noto è nullo, il piano passa per l'origine.

Esercizio

Trovo il punto di intersezione tra r ∩ π (sarà un punto)

Il moto di P₀ è lineare con direzione π.

Data una retta r:

x è l'intersezione di due piani

Da scrittura parametrica di una retta ad a, oltre alla retta, un sistema di riferimento, origine (per t = 0)

SISTEMI LINEARI

Introduzione

Cerco la soluzione di problemi di ottimizzazione. Quindi avrò funzioni di tipo z = f(x₁, x₂, x₃, ... x_m) e cercherò max e min di esse. Le variabili che appaiono sono, però' sottoposte a VINCOLI.

a₁ x₁ + a₂ x₂ + ... + a_m x_m = b → equazione lineare

Nei sistemi lineari accoppio combinazioni lineari di x₁, x₂, ... x