Analisi e Geometria 1

Analisi Matematica 1

Slide Esempi

ed

del hostaria

professor

( libro

integrati con )

tabacco

Canuto -

Insiemi

1.1 .ir

? : : : : :

Principali Numerici

Atm i

insiemi

(

X )

"

X

ad

appartiene

e

µ

• se µ

• insieme non

=

( ) .

¢ '

X X

appartiene ad naturali

NOI

se

• a ;

:

÷:

÷

÷ ÷:c:

÷::

: ÷ IR

Ì !

! •

' insieme numeri

=

XI

t.in reali ;

[

• numeri

insieme

= complessi

↳ .

A

se X

coincide allora

con -

X

contenuto PROPRIAMENTE

A è in

GACX È

Possiamo definire gli elencando

elementi ti applicare

di > ciò

• può

insieme si

un elementi

quando gli

notazione

la

}

pre I più

X

A- comune

pini pochi

sono

<

-

differenza

oppure }

(

A tali

di

' A- X

elementi

X il degli

si sottoinsieme

poi

: è

ne

= la

che verificata '

condizione è

poi

È del

degli elementi

la proprietà sottoinsieme

caratteristica

indica

)

plx , )

( altri

false

gli tutti

elementi dell' gli

tutti

vera insieme

per per

e

Esempio uguali

naturali

A dei

il :

numeri

sottoinsieme minori 4

a

o

freni

µ }

A- }

A

4

1 s

si 4

se e

; ; oppure =

= ; , predicatelo

'

N.be ' '

' di

è esempio

più 4

e un

se

=

Collezione tutti delle

X

sottoinsiemi

di di

i insieme

insieme

• un di X

parti

che -

{figIi Pag

← 0

l'

X

Tra simbolo

vuoto

esiste

di

sottoinsiemi

i insieme

- →

I 40 PIXI

e

altri

Tutti vuoti

X

di

gli sottoinsiemi propri non

sono e

ha

§ finito insiti cardinali

cardinali

tào

il

tàn ha

• insieme

: suo

un ,

Partendo X definire

di

da attraverso

sottoinsiemi

sottoinsiemi nuovi

più →

uno o che

delle sionisti

operazioni in

la -

semplice :

più A X

al sottoinsieme

complementare di

: si

è

se

passaggio un ,

Alin )

definisce are di X

" :* sia

: top

gattoniamo ;

at ←

che complementare A

il

Per accentuare Fatto

il di è

→ X

Fatto rispetto ad :

scrive

si

,

c Alcune immediate :

→ proprietà 0

GX =

• CO X

• = A

CHAI =

•

Intersezione B

i X

dati A definisce

sottoinsiemi di

due si

e ,

A il

B

di

intersezione sottoinsieme

e

ANB-fseexlxeaerc.BA

elementi B

tutti che appartengono

X Asia

ad

gli di

cioè sia e

Unione tutti (

elementi che A

: appartengono

gli ad B in

oppure senso

a

)

alternativo

non AVB.f.net/neAoppurereB#

Insieme

0 IR "

reali

dei numeri .

tutti

Non razionali

di

punti È fissi

retta unità

i numeri comunque si

una un'

= le

tutte

di misura non

,

La diagonale lunghezze

di È essere

un < possono

La l

u

nghezza d misurate

quadrato suoi

commensurabile i

è

⇐ con

non

della multipli

diagonale multipli

lato

il sotto

con o

NOI proporzionale

è È

:

:

a. no

:: l tl

proporzionalità O

di

Fattore teorema

razionale ↳ Pitagora

di applicato

:

| dei

uno

a

triangoli la

caricatevi

due

✓ rettangoli in cui

teorema Non divide quadrato

diagonale il afferma

esiste

t.li esso

. ,

che

il

alcun razionale

numero '

l'

d' ' al

!

l d

uguale

quadrato cioè

sia

mi i.

a = ,

2 Se chiamiamo proporzionalità

fattore

il di

p ( )

D= pl

lunghezza del

la elevando

tra lato ,

relazione

nella

sostituendo

quadrato

al vediamo

e ,

Proprietà !

\ Se il

1.1 che necessariamente ? 2

numero p

p

. . quadrata

soddisfa allora

ph è radice

↳ p

non

2 p →

, (E)

di

razionale 2

7

Dimostrazione Per

: IN che

tali

da

assurdo 0

diversi

e- f-

m n p =

, .

,

Supponiamo abbiano fattori

che ed comuni

m n non .

Elevando al ?

MÌ

quadrato vale

ottiene dire m' 2n

si 2 a

= =

,

, ÀÀz

Dunque anche

m' pari

è è pari

→ m . Sostituendo !

Sarà naturale K

quindi 2K opportuno ione

m per un

= .

12kt ' n'

n' Quindi

n' ' anche pari

2k

2

4K

2 è

n

→

→

= = → = . l'

Siamo che

giunti ipotesi

alla entrambi

conclusione ed contro

è

pari ciò

sono ma

n

m ,

che )

abbiano ( Fattore

fattori avrebbero 2

comuni

essi come comune

non

'

L dall' razionale

nato

assurdo supposto

è aver p

Insieme dei reali dei

estensione razionali

numeri =

↳ i P

fornisce ad della

della

matematico retta

modello punto retta è

ogni

un associato ad solo numero

un

uno e P

reale di

detto viceversa

ascissa e

se .

,

,

IR ) che

( :

soddisfano

" prodotto

"

è

• operazioni

campo insieme 2 somma

con

→

un e

Associatività

1) del

della prodotto

somma e ;

Per "

aib

ogni e

o

, ladro

Ibrd

a+ =

b)

la albo

)

e =

2) Commutativi del

tò della prodotto

e

somma

Per IR

b

ogni e

a

, bta

atto =

ab

ab a

Distributivi

3) tà del alla

rispetto

prodotto somma

Per EIR

b

ogni e

e , , ( c)

bt abtac

=

a distributivi

Per anche la sinistra

la vale tà

commutativa

prop a

. ,

da

Ibt barca

=

4) Esistenza elementi

degli neutri .

Esistono che :

le soddisfano

) denotati

distinti 0

reali

dimostra due 1

numeri

unici

essere

si e

, ,

b

b.

ato a e

= =

,

b #

ogni ogni o

per

e

per a

Esistenza (

5) )

opposti alla

rispetto

degli somma .

Per ( che

b atto

IR IR tale

)

esiste

ogni :O

unico

ou in

in un .

b

Questo chiama di denota

opposto si

e

a

si

numero a

_ .

6) Esistenza degli ( diversi da

al )

rispetto dei

prodotto

inversi numeri zero .

Per b

IR bin tale che

) R

esiste lumino =L

in #

ogni un

a a.

o

a .

, ,

Questo b denota 1

chiama dia la

a-

inverso si

numero reciproco

si oppure

e

o .

Riassumiamo IR

questi assiomi è campo

→ un

N.B.ee )

(

la

Non la nullo

elemento

sottrazione divisione

considerano

si non

e come

per un

altre la il

definiscono ed :

usando prodotto

operazioni si somma

ma

, art a)

b) (

Divisione abit

Sottrazione b

: b : G- #

a - =

=

-

Proprietà Numeri :

Reali

dei

• (

reali analoghe

) aritmetiche )

Le definite razionali

i proprietà

estendono

operazioni si con

sui ai ;

) L' ( )

ordinamento analoghe

reali

ii razionali estende proprietà

dei ai

si con

xcy ;

I (

)

Iii reati approssimato

reale

densi

razionali ogni

nei

numeri sono può essere

numero

)

bene da

quanto vogliamo razionale

numero

un ;

(

) L' che

dei geometricamente

completo equivale

iv al fatto

reali punto

insieme numeri è ogni

reale

univocamente garantendo

di retta ad ad

associato

può numero

essere

una un ,

)

l' T2

di

esistenza

esempio (

Ordine ) : d'

ordinato definita

IR relazione ordine

è è

• una

un campo il

compatibile

totale che la ed

è somma

con

prodotto .

① Relazione totale

d' :

ordine *

( )

transitività

allora

② IR xcz

z

se ylz

se

e

se g. e

cy

, ,

, ↳ ( )

?

confronto

teorema del

esattamente tra :

② vale

IR

se ge una

si , ,

⑤ ⑤

Compatibile il

0 :

la ed prodotto

con somma (

Se

② )

allora Lytz ogni z

z

ray set per

,

② Se allora L g. z

se z

z

e o

>

xcy .

,

Completezza M

che

proprietà caratterizza

• può

si

= , loro

equivalenti

diverse forme tra

in

esprimere ,

tutte importanti

molto .

(

Assioma di Proprietà

Completezza forma separazione )

nella di di

Se vuoti

A- IR tali

B che

di

due sottoinsiemi

sono non

e

Va tb B

A eb

e

e a

,

ldmemd deh che

allora elemento

detto tale

separatore

esiste un , ,

Va B il Eb

A. fb e

e <

a

Uso )

lo

fondamentale dell' definire caratterizzare

completezza

di

assioma un

→ attraverso

reale due

numero •

III. di numeri

i.

|

Mia ( IR che

B)

A vuoti

di di

sottoinsiemi

coppia neri

una

, ,

richiesta

soddisfi la condizione dall' di coinpletezza

assioma

\ ( A

elemento di B

)

proprietà di

di è minore

ogni

:

separazione .

Tali B

classi contigue

A positivo esistono

E

numero

sono

e comunque un

preso

se ,

,

A

b E

GB b-

elemento quali

c-

un i al

e a per . la

Se ( B) elemento

l'

classi

A contigue

di separatore

allora esistenza

è è

una cui

coppia

, ,

affermata completezza

dall' di è unico

assioma .

,

(

① TEOREMA classi

1.2 )

reali

continue di numeri

B

Se A il

classi che

EIR

reali allora

di

contigue esiste

sono numeri

e unico

un

,

soddisfa b

ed e

a BEB

AEA ogni

ogni

per per

, .

Diremo (

li

che il B)

dalla contigue A

reale definito classi

di

è numero coppia .

,

È

N.pe completezza l'

L' fondamentale affermare esistenza

di è

assioma per

elemento

dell' contigue

classi

tra le

separatore 2 .

( Il

Definizione :

IR ) )

di reale

(

reale reali oretta

retta dei numeri

campo

campoordinatoecompleto.tt

IR è un

totale

( Ordinamento ) dal

ad geometrico

vista

punto di

→ esempio se cy ,

,

, trova

significa che di

il retta

sulla

punto si

ascissa se

del punto

alla sinistra di ascissa y .

Dato

:

VALORE ASSOLUTO chiamiamo modulo

assoluto

valore

reale

• numero

un se o

,

il reale

di :

numero

se

"I: ÷

:

:

÷:÷ .

Teorema ( )

del

Unicità )

completo enunciata

ordinato isola

• campo

Due (

ordinati completi isomorfi sola

esiste corrispondenza

campi sono una

che

biunivoca preserva

INTERVALLI

•

Definizione : reali

siano b Eb

tali che

due

1.2 numeri

a a

e .

Chiamiamo intervallo l'

eb

estremi

chiuso di insieme

a

fxe }

[ b) IN aeseeb

a =

,

Se b

estremi

alb chiamiamo intervallo aperto di

invece a e

,

l' insieme }

tu ERI

b)

Ia xcb

al

=

,

¥ [

] b

tale

equivalente

notazione

Una insieme è

* a

per ,

Rappresentazione geometrica ?_?

> '

:-b

la ;D la ;D

È escludere

anche possibile solo estremo :

un ( }

;D la

}

la nefando

;D

trenta ncb =

e

: ✓ v

intervallo aperto

intervallo sinistra

destra

aperto semi

semi a a

- -

INSIEMI LIMITATI

O Diciamo

Definizione Sia A

! A

che limitato

IR

di superiormente

sottoinsieme è se

un .

reale b tale che

esiste numero

un b A

ogni

<

se set

per

b

Ogni tale A

che di

detto

soddisfa relazione maggiorente

viene un .

A limitata

Si che che

tale

dice interiormente reale

esiste

è un

se numero a

A

a te ogni

se se c-

per A

tale

che relazione

Ogni soddisfa detto ente di

viene minor

un

a .

Si infine limitato

che A superiormente

contemporaneamente

dice è

è se e

interiormente limitato . ( (

1 Appunti

I. Esistenza )

estremo

dell' prof

dell'

conseguenza assioma

superiore .

. R )

completezza di

di

Sia ECIR ( )

vuoto IR

di

sottoinsieme non

un

Un limitazione

ben chiama E

di

• numero superiore se

si una

ttxe web

E be

NI che

NOI richiede E

si . limitazioni

limitato

Un superiormente

E di E

esistono

dice

insieme superiori

se

si .

limitazione

Un M IR di

chiama E

• E massimo è

numero e

si superiore

se una

ad E :

appartiene Me E tt rete

E

a ne limitazione

Un chiama inferiore E

di

EIR

• numero si se

a ¥ E al

re n

NI che

NON richiede E

a

si c- .

Un limitazioni

limitato

E inferiori di

interiormente

dice esistono E

insieme si se .

limitazione

IR chiama inferiore

di E

Un di

il E

è

minimo

• me una

se

numero e

si E

inoltre appartiene :

a

E E

ogni

poi mese

me see

e

N.pe limitato

Un reali il

di il

minimo

→ numeri

insieme massimo

può avere

non o .

il il

Se è

esiste unico

minimo massimo

o , .

(

L' )

forma

completezza proprietà IMPLICA PROPRIETÀ

di LA

di

di separazione

- assioma

ESISTENZA DELL'

DI ESTREMO SUPERIORE

.

TEOREMA

O MINIMA SUPERIORE

LIMITAZIONE

Ogni limitato

ECIR

sottoinsieme vuoto possiede

superiormente minima

non e una

limitazione superiore . denota

- estremo di E

E

superiore sup

si

e .

Estee

:

Denoti fzc.IR/V-zeeEnez

2- }

amo = (

l' L'

tutte le limitazioni E Z ipotesi

vuoto perché

di di insieme E

insieme è

superiori non per

. ,

,

)

limitato

superiormente

e- . le

4

Per che disuguaglianze

di due

l' soddisfa

completezza :

esiste un

assioma numero

tre 2 he

tfz

E z

e see

La disuguaglianza

prima ei

V. E

see se

che 4 limitazione

dice di E

sup

= .

.

La disuguaglianza

seconda il

yz.cz EZ

X limitazioni

la tutte

limitazione le

fatto fra

il che E

di

è

esprime minima superiore cioè

,

4 il

E dell'

ed

la

di piccola è quanto

più unica minimo

è in è insieme

superiori , ,

2 maggiorenti

dei . Proprietà

SECONDA FORMA ASSIOMA di completezza : Esistenza

DELL' di

dell' Estremo superiore

Ogni limitato

CIR

E limitazione

superiormente

vuoto possiede

sottoinsieme more minima

una

e

superiore .

PROPRIETÀ Di ARCHIMEDE

( )

seconda versione Allora

Teorema tale

Siano che

naturale

b reali esiste

positivi

numeri

2.2 numero n

a. un

.

b

na > (

Fissato b

fissato (

)

piccolo positivo

quanto "

"

> per

a numero

e

essere

numero 0 un

possa

per

un che b

quanto " grande " multiplo

esiste di

) supera

ma

essere un

sempre a

possa .

Supponiamo che proprietà

che !

soddisfi queste

CEIR 2

un numero

sia

[ } ( qualche

ALLORA naturale

altrim