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Proprietà dell'operatore di integrazione
1) Linearità: se $f$ e $g$ sono funzioni integrabili, allora $af + bg$ è integrabile per ogni numero reale $a$ e $b$.
2) Monotonia: se $f \leq g$ per ogni $x$ in un intervallo $[a, b]$, allora $\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx$.
3) Additività: se $f$ è integrabile su $[a, c]$ e su $[c, b]$, allora $f$ è integrabile su $[a, b]$ e $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$.
4) Invarianza per traslazione: se $f$ è integrabile su $[a, b]$, allora $f(x - c)$ è integrabile su $[a + c, b + c]$ e $\int_{a+c}^{b+c} f(x - c) dx = \int_a^b f(x) dx$.
5) Proprietà del rettangolo: se $f$ è integrabile su un rettangolo $R$, allora $M$ e $m$ sono rispettivamente il massimo e il minimo di $f$ su $R$ e l'area del rettangolo circoscritto a $R$ è $M \cdot \text{base}(R) \cdot \text{altezza}(R)$.
6) Assoluta integrabilità: se $f$ è integrabile su un intervallo $[a, b]$, allora $|f|$ è integrabile su $[a, b]$ e $\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$.
7) Prodotto di funzioni integrabili: se $f$ e $g$ sono funzioni integrabili su $[a, b]$, allora il loro prodotto $fg$ è integrabile su $[a, b]$.
NON ORIENTATI
Sistono ORIENTATI
integrale d'tipi :2 e)
Integrale( OrientatoDet• .Se b definizionepera> si pone ,, [↳ FIN da daFIN-=l' uguaglianzada qui µ !=p d. sddxdi» » +( )vale qualunquebscelta lorodi la reciprocaposizioneogni siaper a c, , INTEGRALETEOREMA MEDIADELLA• Rca DenotiFsia ]be amo, . FMF Fin sopm ==l' estremoinferiore AlloraFl' diestremo ba;superiore sue .!/f. #fin endume aSe ][ taleinoltre cheF punto :bcontinuo esisteè inun ae, § FIN{ Fcc #da )=a >DIMOSTRAZIONE : (Da )]ferie relaisM t segueen [ pattini find.amdx e ← daossia a)mpb.at Fin da MlbL -Di tesilasubito #qui segue .F [continua ;DSupponiamo ora su a . fattoriilPer {le dadisuguaglianze # numero, al'inferiore dil' estremo Ftra Mestremoe- superiore incompreso m eb)[ai . f tutti ilcontinuaPoichè tra estremovaloriè compresii suoassume,inferiore il estremo superioree suoQuindi . qualeil valeesiste ebpunto tra percun aforza! da
La funzione integrale
Definizione: una funzione F è integrabile se il suo sotto grafico ha area finita tra due punti a e b.
La continuità della funzione integrale
Teorema: se una funzione F è continua su un intervallo [a, b], allora la sua integrale è derivabile e la sua derivata è la funzione stessa.
Teorema fondamentale del calcolo
Se una funzione G è derivata di una funzione F, allora per ogni punto x nell'intervallo [a, b], si ha che l'integrale di G da a a x è uguale a F(x) - F(a).
Dimostrazione della formula di Newton-Leibniz
Fissiamo un punto a in un intervallo [a, b]. Allora, se F è una funzione continua su [a, b], si ha che l'integrale di F da a a b è uguale a F(b) - F(a).
Quando h tende a zero compreso, sia e << sea << sea. Fish è poiché continua tende a FLD, quindi ea, Firth! Flnt.iq Fini)- = ' Fise. Dunque F in ) ) = . che funzione Giri Sia derivabile tale qualunque2 ora una Fish ' G lui =. Poiché 'g FIN faiche =[FlnFunzioni hanno la Le Gin stessa Flttdt derivata due )e = Ca b) sull' intervallo. Quindi costante differiscono: per una Gcxtfaflttdt te Ponendo uguaglianza sottraendo questa sub poi in prima e se ea =, la tesi: ottienesi È !(fàlhdtt c) =/]) Htt Già 6lb dt Hdttc -- breve(TFCIDimostrazione in • ini ÷: ÷÷::::: :: ..÷ Esistere Lrinth) Firth Fishf- del " " Area rettangoli: grigiono = base Fifa FIE fini) ))X. 1h = peri o→ = .: segue del Integraleteorema Fondamentale calcolo )continuose F è > gaglioffi, d) fai = PER PARTIINTEGRAZIONE °IFipotesi ITeorema SIR IR derivabile: : i• suIÌF ,G''intervallo Fun g. = =, TESI l'formula
indefinitointegrale: :di integrazione partie per per| ffgFGFg = -Formula integrazionedi !l'integrale definitoparti2 perper[ figb)FINGI FlaviaFg )= - -IpotesiTeorema ::• talk 8 liI derivatiR intervallo I.I > su un,Tesi integrazione integraledell'Formula d': 1 partiperindefinito : ffg ffigFg' = -integrazioned'l'Formula definitointegrale :2 parti perper [[ haiflblglb)f. figgia'g = -DIMOSTRAZIONE / ff !F. f.Dimostriamo formulala ' gg g-=LeibnizDalla regola di• '( Égtfg)Fg '=!F- ( F)Fg'ricaviamo gg = - .leggiamo cheDa f. sottraendodi ottieneprimitiva ' siqui guna fig( )lfgf- di'da primitiva primitivadi ) unag .In breve ffg ftigf., ' g-=ghftblglb-flaglat-faf.ge!/formula immediataLa un'conseguenza . SOSTITUZIONEINTEGRAZIONE PERTeorema• °I 9ft FunzioneICIR )siano intervalloun > una,derivabile FF continuafunzioneIR Fune9 diprimitivauna>, , .(Allora Funzione )la F haEI'
primitiva lagirl chq se come,Funzione ) ,(F que) .breveIn :si scrive, qiqdse-ffflgidyfg.geSEI )) Flynnqui tee,costante arbitrariaRdove èce unaFormalmente 'dy dr9 Cny )que)si =pone =e, .notazioni laLeibnizLe regoladi• meccanicasuggerisconofredda ftp.dffzd.LY:7?jfsto )CAMBIO VARIABILI INTEGRALI DEFINITINEGLIdiTeorema• ' 7kIpotesi la ]:b continua seni: e ise ;,4] LaCa ] ' derivabile'parametro:b cambiop di;z > ,)(01 0sq se= .Supponiamo (B)(a) =3q4 a: = ,4 la ;D?;D >a \f- '04 ✓- → IR[ ftp.qyotdo-fafinidsetesi :Esempio : [ Fdacalcolare : ) È0=410 OEOE01radsinx > Idolo dada cosal' == :[" ioszodoTÈfrenare .iocosa- .Poiché primitiva di costo è :una{ (Odo )cos' Ot{ sinocoso=fjthosodofftsinocoso ]! IL=INTEGRALI I(Generalizzati " "impropriOpportuni limiti integrati Riemannordinaridi di .Un generalizzatointegrale :dice questidi casiin unosi [Dominio Esempio :limitatointegrazione "
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