Analisi e geometria 1

Divisione a, b interi positivi

a si scrive in modo unico come a = qb + r   0 ≤ r < b

Es. 63: 63 = 6x10 + 3   a = 63   b = 10

Algoritmo di Euclide per la ricerca del massimo comun divisore di a, b

a, b interi positivi, a > b

a = q₁b + r₁   0 ≤ r₁ < b

Divisioni successive

b = q₂r₁ + r₂   0 ≤ r₂ < r₁

r₁ = q₃r₂ + r₃   0 ≤ r₃ < r₂

... rm-2 = qᵐ rm-1 + rₘ   rₘ ⇒ M.C.D. (a,b)

rₘ+1 = qₘ₊₂ rₘ + 0

Numeri primi

Un numero intero > 1 si definisce primo se è divisibile soltanto per se stesso e per l'unità

Teorema di fattorizzazione unica - Teorema fondamentale dell'aritmetica

Ogni numero intero > 1 si può esprimere come prodotto di numeri primi e questo modo è unico

Condizioni di unicità

Teorema dell'infinità dei numeri primi

I numeri primi sono più numerosi di qualunque assegnata quantità di numeri primi.

Dimostrazione per assurdo

Sia α assegnata una quantità di numeri primi

a, b, c   (3 numeri primi)

Si afferma che esiste un numero primo che non è uguale a nessuno dei numeri assegnati a, b, c.

Si consideri il numero abc+1.

Se già primo si è giunti alla tesi.

Se abc+1 si suppone che non sia primo. Invocando il teorema fondamentale dell'aritmetica, abc+1 si fattorizza nel prodotto di primi.Esiste dunque un numero primo p che divide abc+1.Si suppone però assodato che d=p, perché il numero p divide abc+1 e divide abc (d=abc),allora p divide anche la differenza abc+1 - abc = 1 Assurdo [omitted text]

È stato dimostrato che esiste sempre un numero primo che è diverso da ciascunodei numeri assegnati a, b, c, e.

Numeri Nazionali ℕ

Numeri interi maggiori o uguali a 0

Numeri Interi

Numeri interi negativi

Numeri Razionali ℚ

• Tutti i numeri che sono rappresentati dai interi
• m₁/m₂, m, n ∈ ℤ, m≠0
• a/b ≈ c/d

Se due grandezze a, b si dicono commensurabili se ammettono un sottomultiplo comune

Se 1/m a = 1/n b, m, n ∈ ℕ allora a, b sono commensurabili tra solo

Teorema di irrazionalità di √2

I numeri reali rispondono all’esigenza di avere a disposizione una scala per la misura delle grandezze. Detto in termini geometrici, i numeri reali forniscono una descrizione matematica della linea retta, pensata come un continuo.A questo scopo, come probabilmente è ben noto, i numeri razionali non sono sufficienti. Ad esempio, la misura della diagonale di un quadrato, quando si assuma come unità di misura il lato del quadrato stesso, non è data da un numero razionale. Questo fatto è stato scoperto nel VI secolo a.C. dalla scuola di Pitagora (in un contesto che era però diverso da quello di una teoria matematica formalizzata).Noi enunceremo il risultato dei pitagorici nel modo seguente.Non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia uguale a 2.

1.3.2 Assiomi di ordine, compatibile con la somma e il prodotto

In ℝ è definita una relazione d’ordine, che si denota a ≤ b (si legge: a minore o uguale a b), vale a dire una relazione con le seguenti proprietà:

1. Proprietà riflessiva. Per ogni a in ℝ a ≤ a
2. Proprietà antisimmetrica. Per ogni a, b in ℝ a ≤ b e b ≤ a ⟹ a = b
3. Proprietà transitiva. Per ogni a, b, c in ℝ a ≤ b e b ≤ c ⟹ a ≤ c

Inoltre si richiede che l’ordinamento sia compatibile con la somma e il prodotto, nel senso che valgano le due ulteriori proprietà seguenti:

4. Per ogni a, b, c, se a ≤ b, allora a + c ≤ b + c
5. Per ogni a, b e per ogni c ≥ 0, se a ≤ b allora ac ≤ bc.

Useremo anche il simbolo < (minore in senso stretto). La scrittura a < b significa

a ≤ b e a ≠ b

Se a > 0, si dice che a è positivo; se a < 0, si dice che a è negativo.

Notazioni.

Nel seguito, useremo queste notazioni:

• ℝ_≥0 = [0, +∞) = {x ∈ ℝ | x ≥ 0} è l’insieme dei numeri reali maggiori o uguali a 0 (non negativi);
• ℝ_＞0 = (0, +∞) = {x ∈ ℝ | x ＞ 0} è l’insieme dei numeri reali maggiori di 0 (positivi);
• ℝ_≤0 = (-∞, 0] = {x ∈ ℝ | x ≤ 0} è l’insieme dei numeri reali minori o uguali 0 (non positivi);
• ℝ_＜0 = (-∞, 0) = {x ∈ ℝ | x ＜ 0} è l’insieme dei numeri reali minori di 0 (negativi);

Proprietà di Archimede

I versione

L'insieme N non è limitato superiormente

Si suppone che L = sup. N siccome L è la minima L.S., L - 1 non può essere una limitazione sup. per N,

cioè ∃ n₀ ∈ N tale che n₀ > L - 1. Ma allora n₀ + 1 > L assurdo

II versione

Sia a, b ∈ R positivi a < b, allora esiste un numero naturale n tale che n.a > b

Supponiamo che lo tesi sia falso: ∀ n ∈ N non n.a > b cioè *n ≤ b / a*

∃ n

N sarebbe limitato ma non può esserlo.

Teorema

Se A e B sono classi contigue di numeri reali, allora esiste un unico x ∈ ℝ che soddisfa

a ≤ x ≤ b

per ogni a ∈ A e b ∈ B

Riepilogo Convergenza dell’assioma di completezza

1. Esistenza dell’estremo superiore
2. Convergenza delle successioni monotone limitate
3. Proprietà degli intervalli compatti e insiemi limitati
4. Esistenza e unicità dell’elemento separatore di due classi contigue di numeri reali

Unicità del limite

Teorema (Unicità del limite)

Una successione in ℝ ha al più un limite.

Lʹʹ = ^Lʹ_{– ε} Lʹʹ = ^Lʹʹ_{+ ε}

Dimostrazione. Supponiamo che a_n → Lʹ, a_n → Lʹʹ e Lʹ ≠ Lʹʹ.

Prendiamo ε = ¹/₂ |Lʹ – Lʹʹ| > 0. Per definizione di convergenza, esistono K', K'' ∈ ℕ tali che

n > K' ⟹ |a_n – Lʹ| < ε,

n > K'' ⟹ |a_n – Lʹʹ| < ε

Poniamo K = max{K', K''}. Per ogni n > K abbiamo allora:

|Lʹʹ – Lʹ| = |Lʹʹ – a_n + a_n – Lʹʹ| ≤ |Lʹʹ – a_n| + |a_n – Lʹʹ| < ε + ε = |Lʹʹ – Lʹ|

Assurdo. Concludiamo che Lʹʹ = Lʹ.

Q.E.D.

Definizione funzione continua

Siano D ⊆ ℝ una funzione f, D ⊂ ℝ, x_o ∈ D. Si dice che f è continua nel punto x_o ∈ D se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 il quale è soddisfatta questa condizione: per ogni x ∈ D, se |x - x_o| < δ allora |f(x) - f(x_o)| < ε.

D ⊆ ℝ, si dice continua se g è continua in ogni punto del suo dominio D.

In simboli D ⊆ ℝ continua in x_o ∈ D se:

• ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D d(|x - x_o| ≤ δ ⇒ d(f(x_o), f(x)) < ε

Formulazione intuitiva

• Sia y = f(x) il legame tra due grandezze. f è continua in x_o se si può approssimare la misura f(x) con una precisione arbitraria ε > 0. Diremo allora che si è fatta una misurazione di f(x) con una continuità d.
• Una funzione f continua se i valori f(x) restano vicini per x con d vicini a x_o quando ε è abbastanza piccolo.
• Una f continua in un punto è soddisfatta questa condizione: se la distanza ε è piccola, allora la distanza d(x, x_o) è piccola.
• Ma tutte queste formulazioni non sono espresse in linguaggio matematico. Sono suggestive, ma vaghe e inutilizzabili.
• Arriviamo adesso a una definizione rigorosa.

Esempi

1. Ogni funzione ℝ → ℝ costante è continuaf si dice costante se:(∃k ∈ ℝ) (∀x ∈ ℝ) (f(x) = k)
2. La funzione identità ℝ → ℝ (per ogni x, |x| = x) è continua (δ = ε)
3. La funzione reciproco ℝ \ {0} → ℝ che manda ogni x ≠ 0 in g(x) = 1/x, è continua.

Riparto dalla definizione, proponiamo ε > 0Supponiamo x_o > 0y_o = 1/x_o > 0 proponiamo ε > 0 tale che y - _o - ε > 0Chi chiediamoci per quali valori di x sia soddisfatta la disuguaglianzay₀ - ε < 1/x < y₀ + ε (1)