Analisi e geometria 1

Divisione a, b interi positivi

a si scrive in modo unico come a = qb + r

0 ≤ r ≤ b

Es. 63 : 6 = 10 + 3 a = 63 b = 10

Algoritmo di Euclide per la ricerca del massimo comun divisore di a, b

a, b interi positivi, a ≥ b

a = q1 b + r1 0 ≤ r1 < b

Divisioni successive

b = q2 r1 + r2 0 ≤ r2 < r1

...

r_m-2 = q_m r_m-1 + r_m r_m → M.C.D. (a, b)

r_m r_m + 0

Numeri primi

Un numero intero > 1 si definisce primo se è divisibile solamente per se stesso e per l'unità

Teorema di fattorizzazione unica o teorema fondamentale dell'aritmetica

Ogni numero intero > 1 si può esprimere come prodotto di numeri primi e questo modo è unico

Condizione di unità

Teorema dell'infinità dei numeri primi

I numeri primi sono più numerosi di qualunque assegnata quantità di numeri primi

Dimostrazione per assurdo

Sia assegnata una quantità di numeri primi assegnata

Enunciato di Euclide

Sia a, b, c (3 numeri primi)

Si afferma che esiste un numero primo che non è uguale a nessuno dei numeri assegnati a, b, c

Si consideri il numero abct + 1

DIVISIONE a, b INTERI POSITIVI

a si scrive in modo unico come a = qb + r

0 ≤ r < b

Esempio. 63 = 6⋅10 + 3 a = 63 b = 10

ALGORITMO DI EUCLIDE PER LA RICERCA DEL MASSIMO COMUN DIVISORE DI a , b

a , b INTERI POSITIVI, a > b

a = q₁b + r₁ 0 ≤ r₁ < b

DIVISIONI SUCCESSIVE

b = q₂r₁ + r₂ 0 ≤ r₂ < r₁

rₘ₋₂ = qₘrₘ₋₁ + rₘ

rₘ _⊚ rₘ₊₁ _⊚ 0 → M.C.D. (a, b)

rₘ = qₙrₙ ≤ rₘ _⊚ rₘ₋₁

NUMERI PRIMI

Un numero intero > 1 si definisce primo se è divisibile soltanto per se stesso e per l'unità

TEOREMA DI FATTORIZZAZIONE UNICA O TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA

Ogni numero intero > 1 si può esprimere come prodotto di numeri primi e questo modo è unico

Condizioni di unicità

TEOREMA DELL'INFINITÀ DEI NUMERI PRIMI

I numeri primi sono più numerosi di qualunque assegnata quantità di numeri primi.

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO

Sia assegnata una quantità di numeri primi

b c a

Si afferma che esiste un numero primo che non è uguale a nessuno dei numeri assegnati a b c

Si consideri il numero abct

Se g è primo si è giunti alla tesi.

Se abc ≠ 1 si suppone che n non sia primo, invocando il teorema fondamentale dell'aritmetica, abc + 1 si fattorizza nel prodotto di primi.

Esiste dunque un numero primo d che divide abc + 1.

Si suppone per assurdo che d = 1. Poiché il numero d divide abc + 1, d divide abc (d | abc), allora d divide anche la differenza abc + 1 - abc = 1.

È stato dimostrato che esiste sempre un numero primo che è diverso da ciascuno dei numeri assegnati a, b, c.

Numeri naturali N :

Numeri interi maggiori o uguali a 0

Numeri interi relativi Z :

Numeri razionali Q :

Tutti i numeri che sono rapportati di interi ^m/_n, m/n; ∈ Z, n ≠ 0 Si dicono equivalenti se mn' = m'n.

Date due grandezze a, b si dicono commensurabili se ammettono un sottomultiplo comune.

Se ∃ ^m/_n = a/b, m, n ∈ N allora a, b sono commensurabili tra loro.

(Teorema di irrazionalità di √2)

I numeri reali rispondono all'esigenza di avere a disposizione una scala per la misura delle grandezze. Detto in termini geometrici, i numeri reali forniscono una descrizione matematica della linea retta, pensata come un continuo.

A questo scopo, come probabilmente è ben noto, i numeri razionali non sono sufficienti. Ad esempio, la misura della diagonale di un quadrato, quando si assuma come unità di misura il lato del quadrato stesso, non è data da un numero razionale. Questo fatto è stato scoperto nel VI secolo a.C. dalla scuola di Pitagora (in un contesto che era però diverso da quello di una teoria matematica formalizzata).

Noi enunceremo il risultato dei pitagorici nel modo seguente.

Non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia uguale a 2.

Dimostrazione per assurdo:

Si suppone esistano due numeri \( m,n \in \mathbb{N} \) tali che

^(m)/₂ = \( \frac{m}{n} = 2 \)

\( m = 2n \)

Non è costrittivo pensare che \( m,n \) siano primi tra loro, cioè senza fattori primi comuni tra loro.

Da ^a scelgo che \( m \) sia pari, dunque anche \( m \) è pari.

Se \( m \) fosse dispari \( m = 2h+1 \) allora anche \( m^{2} \) sarebbe dispari:

\( m^{2} = (2h+1)^2 \Rightarrow g \Rightarrow 4h^{2} + 4h + 1 = 2(2h