Analisi 1 e geometria

Estremi Sup A Inf

A = numero reale

A = {₂}

A = [1, 2]

Condizione

A = { ∈ : ≤ 0}

L = 2

Estremi Sup A Inf

A

A ∈ ℝ Numeri Reali

A ⊆ ℝ Massimo U

∀ a ∈ A a ≤ h

A = [3, 2]

A = [1, 2]

_minimo

m ∈ Ʌ

∀ a ∈ Ʌ a ≥ m Condizione

L ∈ ℝ maggioranti di A

∀ a ∈ A a ≤ L

l ∈ ℝ minoranti di A

∀ a ∈ A a ≥ l

ℓ ∈ A ammette max

L = 2

L = 3 + 2 - 4

A₁ = [1, 3, 2] 2 ∈ A

A = { x ∈ ℝ : x < 0 }

1 = -5 minimo

x̅ maggioranti

A limite superiore se ammette un maggiorante

A limite inferiore se ammette un minorante

A limite un limite superiore e inferiore

Cost

I, L, E: R^a

∀ e ∈ A INSIME LIMITATO

e ≤ e≤ L

ESTREMO SUPERIORE

A numeri #φ

supremi e limiti

MER estremo superiore ≤ A e M è il minimo dei maggiori

supernbao limiti e definito il _z k ∈ a L < < ∈ a maggiora z è il minimo deli’e maggiori

m supA M

1. Π ∀ e ∈ a A
2. ∀ e ∈Φ z ∈ e A e > Π FAFSA

Estremo Inferiore

Λ inf limit.

m = inf A = n

m = il massimo dei minori

m = inf A ⊆

1. m ≤ e _∀ e ∈ A
2. _∀ e > 0 _∃ e ∈ A:

e < m + ε

• Zd ≤ Z

min _∀ min esterno inf o sup

max = Z

m₁ min A

min ≠ m_A

max A = ε

MAX = 3/2

sup A

∃ sup A

inf A = -1

NUMERI COMPLESSI

Ei sono va risolvere le equazioni del tipo x²=-1 queste non hanno soluzione;tutt[i] e fui questi setra in geco i NUMERI COMPLESSI, il cui insieme eindicato con il simbolo C

I numeri trolli vengono indicati alte COORDINATE (a₀, b)Funzionia & xffig & et e ccipile di numeri trols (a₀, b) e sue questedefiniamo le operazioni di SOMMA e PRODOTTO nel seguente modo :

(a₀, b) + (c₀, b) = (a_c + c₀, b + b)

(a_c, b) * (c, d) =(c₀, -b₀ a_c + bd)

es:

SOMMA

(1, 2) + (2, 3) = (3, 5)

PRODOTTO

( 4 , c) * ( 2 , 3 ) = (t_u, y_l)

In fine dimeniero di volgere le tre proprietà delle equazioni inR sono quindi autosristici: e chiama questi nuovi OGGETTI A 2 COMPONENTI NUMERIe pot distrigiuniti tagu altre & die cienti di dimecito NUMERI COMPLESSI

Si, modo che i numeri del tipo (a₀) se sommani e moltiplicali tra loro generarenumuni allele stross tiges ei bbnte il postle e o li resciprotil di numoni di questoforme sono numeri allee ltre & ravor con le 2^a coordinato nulle)Possione & IDENTIFICARE e numeri del tipi (a₀, 0) con i viocchi numoritali e potivoi savicre semplicamente & el par b_e (a_c, 0)

Il numero complesso (0,1) gode di questa importante proprietà:

(0,1)·(0,1) = (t,t,0) = -1

Alla luce delle due associazioni precedenti si ha che

(e_i,b) = (e,0) + (0,i)·(b,0) = e + i·b

e prende il nome di parte reale del numero complesso

b prende il nome di parte immaginaria

Possiamo rappresentare le coordinate nel piano di Gauss

o + i·b

Piano di Gauss

NUMERI COMPLESSI:

OPERAZIONE IN FORMA CARTESIANA

GENERICA N^O COMPLESSO

z

z = a + b i

Piano di Gauss

a = Re (z) è detto parte reale

b = Im (z) è detto parte immaginaria

i è detta unità immaginaria, i² = -1

SOMMA:

Sia z₁ = a + bi e z₂ = c + di

Allora

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d) i

z₁ = 3 + 2i z₂ = 1 - 3i

z₁ + z₂ = 3 + 1 + i (2 - 3) i = 4 - i

Nel piano di Gauss si trova con la regola del parallelogramma, come la somma di 2 vettori.

SOTTRAZIONE:

Siano z₁ = a + bi e z₂ = c + di

Allora

z₁ - z₂ = (a - c) + (b - d) i

Es.

z₁ = 3 + 4i e z₂ = 1 + i

(3 - 1) + (4 - 1) i = 2 + 3i

PRODOTTO:

Siano z₁ = a + bi e z₂ = c + di due numeri complessi.

z₁ · z₂ = (a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi²

(ac - bd) + i (ad + bc)

Es: z₁ = 1 + 3i ; z₂ = 1 - 2i ; z₁ · z₂