Analisi 1 e geometria

ESTREMI

Sup

A inf

A₀ min_sotto ins_I

A₁E max_sopra ins_I

∀x∈A n ≤A

xn∈A m∈

Condizione

∀x∈A x∈m

L∈ℝ

maggiori di A

∀x∈A, x ≤ L

l∈ℝ min_imale di A

∀x∈A, x ≥ l

x A annulla max sub

∃L

Mai maggiore

A={1,2} L=2

L=2 1+3-5=2-1=L

A={1,3,2} 2∈A

A= {x ∈ℝ : x>0}

1 max non ≤ l

l=-3 minimal

∅ maggiore

A limite superiore se ammette un maggiorante

A limite inferiore se ammette un minorante

A ammette un limite superiore e inferiore se è

insieme limitato

L, L₁ ∈ ℝ⁺

∀ a ∈ A

a ≤ L

estremo superiore

A numeri reali, superiormente limitato

∃ L ∈ ℝ estremo superiore di A

L è il minimo dei maggioranti

quando limite

definizione L ∈ ℝ A t ∈ A t è un maggiorante L è il minimo dei maggioranti

L = sup A

[k, 2]

k = 2

L = 3

L ≤ 25

il più piccolo dei maggioranti

1. M ≥ a ∀ a ∈ A
2. ∀ ε > 0, ∃ z < ε ∈ A L

ε < M - ε

NUMERI COMPLESSI :

OPERAZIONE IN FORMA CARTESIANA

GENEROCO N^O COMPLESSO → Z

Z = a + bi

• a = Re (Z) E' DETTO PARTE REALE
• b = Im (Z) E' DETTO PARTE IMMAGINARIA
• i E' DETTA UNITA' IMMAGINARIA, i² = -1

Z = a + bi

SOMMA:

SIANO Z₁ = a + bi e Z₂ = c + di

DUE NUM. COMPLESSI

ALLORA Z₁ + Z₂ = (a + c) + (b + d)i

es. Z₁ = 3 + 2i Z₂ = 1 - 3i ⇒ Z₁ + Z₂ = (3 + 1) + (2 - 3)i = 4 - i

NEL PIANO DI GAUSS SI RISOLVE CON LA REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA, COME LA SOMMA DI 2 VETTORI

SOTTRAZIONE:

SIANO Z₁ = a + bi e Z₂ = c + di

DUE NUM. COMPLESSI

ALLORA Z₁ - Z₂ = (a - c) + (b - d)i

es. Z₁ = 3 + 3i Z₂ = 1 - 4i ⇒ (3 - 1) + (3 + 4)i = 2 + 7i

RADICI e POTENZE di NUMERI COMPLESSI

(α + i β)^m =

_m ^{e i θ} _m ^{ρ i θ}

ELEVARE IL MODULO ALLA m

MOLTIPLICARE L'ARGOMENTO PER M

⁵

• CONVERTO IN FORMA ESPONENZIALE
• p = √2
• 1 + i = √2 e^{i π/4}

• ELEVO ALLA 5^a
• 1 + i = (√2)⁵ · e^{i 5 π/4}

• TORNO IN FORMA CARTESIANA

= 4√2

FORMULA di DE MOIVRE

z̅^m = ρ^m[cos(m θ) + i sin(m θ)]

(1 + i)⁵ =

4√2 e ^{i 5 π/4}

Funzione Pari

f(x) = f(-x)

Simmetrica rispetto asse y

Funzione Dispari

f(-x) = -f(x)

Simmetrica rispetto all'origine

Funzioni Monotone

• x₁ < x₂ → f(x₁) ≤ f(x₂)
• Crescente
• x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂)
• Strettamente Crescente

f(x) = 1/x

• x₁ < x₂ → |f(x₁)| > |f(x₂)|
• Decrescente
• x₁ < x₂ → |f(x₁)| > |f(x₂)|
• Strettamente Decrescente

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE

ENUNCIATO

Il limite f(x) per x che tende a x₀ è uguale a L e il limite è unico.

TESI

L è unico.

POTESI

lim_x→x0 f(x) = L

PER ASSURDO

lim_x→x0 f(x) = L'

Con L' ≠ L *

Possiamo un ε positivo tale che

ε < L' - L / 2

lim_x→x0 f(x) = L

∀ε < II (x₀), ∀x ∈ I (x₀) con x ≠ x₀, risulti |f(x) - L| < ε

lim_x→x0 f(x) = L'

∀ε < I (x₀), ∀x ∈ I (x₀) con x ≠ x₀, risulti |f(x) - L'| < ε

Contraddizione: l'intersezione tra i due intervalli

I(r') ∩ I(x₀)

Cioè, |f(x) - L| < ε

|f(x) - L'| < ε

Così:

{ L - ε < f(x) < L + εL' - ε < f(x) < L' + ε

* ma questo significa: L meno L'

L - ε < L + ε < L - ε < L' < L + ε

Cioè:

| L' - ε < L < L' + ε

L - ε < L' + εL' - L < 2ε

Implicando

ε > L' - L / 2

Questo è un controsenso e quindi il limite è unico.

POLINOMI, per x → +∞

lim_{x → +∞} ^{a_nxn + a_n-1xn-1 + … + a₀}/_{bmx^m + … + b0 =}

Il POLINOMIO è ASINTOTICO per x → +∞ al suo monomio di grado massimo:

lim_{x → +∞} ^{a_kxk + … + a₀}/_{bkx^k + … + b0 ~ anx^k}

POLINOMI, per x → 0:

lim_{x → 0} ^{c_mxm+k + … + c_mxm+1 + a_nxn}/_emx^m =

Il polinomio è asintotico, per x → 0, al suo monomio di grado minimo MINIMO

cos x = sin (π/2 - x)

Se x > 0

arc

x

x

Se x < 0

arc

x

x

DISCONTINUITÀ

1° SPECIE

se lim_{x → x0^-} f(x) = l, lim_{x → x0⁺} f(x) = l

2° SPECIE

se almeno uno dei limiti a sx oppure dsx non esiste

3° SPECIE

(1) esiste ed è finito il limite di f(x) per x0 ∃ N: ∀ n> N |aₙ-a|