Analisi e Geometria 1

Analisi e geometria 1 al Politecnico di Milano

Insiemi numerici

N: Numeri Naturali (0;1;2;3...)
Z: Numeri Interi (-2;-1;0;1;2...)
Q: Numeri Razionali (m/n - m,n ∈ Z, n ≠ 0)

Numeri razionali e irrazionali

Non sufficienti a indicare le grandezze. Diagonali sopra che non è razionale. Irrazionale. Irrazionalità di √2.

Dimostrazione per assurdo

Dimostro che la tesi non può essere falsa: non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia 2.

Premesse

• Se un numero è pari, il suo quadrato è pari.
• Se un numero è dispari, il suo quadrato è dispari.

Scomponiamo del tutto un numero razionale m/n, tale che m²/n² = 2. Pertanto:

m² = 2n², quindi m è pari.

Sostituendo nella forma m = 2h ottengo:

4h² = 2n² e quindi 2h² = n². Da ciò risulta che m è pari → n è pari.

Assurdo che m,n siano entrambi pari. Razionali non bastano.

Numeri reali

Con i razionali posso ottenere un intervallo vuoto. Bisogna introdurre numeri reali (R), che è un campo ordinato completo.

Metodo assiomatico

Assiomi di campo

• Commutativa: \( a + b = b + a \)
• Associativa: (parentesi a piacere → \( a(bc) = (ab)c \))
• Esistenza dello zero: \( a + 0 = a \)
• Esistenza dell'unità: \( a \cdot 1 = a \)
• Distribuitività: \( a(b+c) = ab + ac \)
• Esistenza degli inversi: [\( a + (-a) = 0 \), \( a \cdot (1/a) = 1 \)]

I razionali soddisfano questi assiomi.

Assiomi di ordine

• \( a \le b \)
• Proprietà:
• Riflessiva: \( a \le a \)
• Transitiva: \( a \le b \) e \( b \le c \Rightarrow a \le c \)
• Simmetrica: \( a \le b \) e \( b \le a \Rightarrow a = b \)

Se sono soddisfatte, ho un assioma d'ordine.

Assiomi di completezza (nella forma di proprietà di separazione)

Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R che soddisfino:

∀a ∈ A ∀b ∈ B \( a \le b \)

Allora esiste un numero (elemento) c ∈ R per il quale vale:

∀a ∈ A ∀b ∈ B \( a \le c \le b \)

Con questo assioma la retta non ha più buchi perché inserisco R tra i punti a e b.

Massimo 2 problemi

1. Esistenza → esistono modelli di campo ordinato completo? Sì
2. Unicità → dimostra che se K e K' sono due campi ordinati completi,

Può essere che esista un unico K'' ma K' '' sono isomorfi K → F K', biunivoca e preserva operazioni ordinamento.

R non cos'è, ma quali sono le sue proprietà!! Assiomi → metodo di definizione implicita.

Conseguenze dall'assioma di completezza

Esistenza di un estremo superiore:

\(⊆ c' R (\ne \emptyset)\)

b ∈ R si chiama una limitazione superiore da E se ∀x ∈ E x \le b.

Un numero M è il massimo di E se M ∈ E una limitazione superiore di E.

Una limitazione superiore di E, M massimo di E non esiste (non ha un massimo).

E = [0, 1], 1 è il massimo di E.

Teorema

Ogni sottoinsieme E ⊂ R non vuoto e superiormente limitato (sup. limitato), possiede una minima limitazione superiore.

Si deduce a partire dagli assiomi.

Dimostrazione

Indichiamo con Z l'insieme delle limitazioni superiori di E:

Z = {z ∈ R | ∀ x ∈ E z \ge x} = {z ∞ ∀ x ∈ E x \le z}

Per l'assioma di completezza, esiste √ ∈ R tale che:

∀x ∈ E ∃ z ∈ Z x \le z tra tutte le limiti superiori è la minore.

∃ √ è una limitazione superiore di x.

√ è una limitazione superiore: la disuguaglianza x \le z dice che √ è la minima.

A è l'estremo superiore di E.

Definizione

Se E è un sottoinsieme di R non vuoto e non limitato, si chiama "sup" E la minima limitazione superiore di E.

Successioni di numeri reali

Una successione in R è una funzione N → R che associa ad ogni elemento.

(\a_n\)\_n ∈ &isinfin;)