Analisi e Geometria 1

ANALISI

E

GEOMETRIA

1

Politecnico di Milano

Ingegneria Aerospaziale

Analisi e Geometria 1

• N: Numeri naturali (0;1;2;3...)
• Z: Numeri interi (...-2;-1;0;1;2;3...)
• Q: Numeri razionali n/m _{m ≠ 0}

* Descrizione matematica della linea retta continua

Non sufficienti a indicare le grandezze

* Pitagora scopre che non è razionale irrazionale

Irrazionalità di √2

Dimostrazione (per assurdo - dimostro che la tesi non può essere falsa)

Non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia 2.

Premesse: Se un numero è pari, il suo quadrato è pari.

Se è pari, si può esprimere come somma di due numeri uguali.

Ammettiamo che esista un numero razionale ^n/m tale che n² / m² = 2 (m e n primi tra loro)

m² = 2n²

n² è pari → n è pari

m = 2h

m² = 4h²

Sostituendo in m² = 2n² ottengo 4h² = 2n² → 2h² = n²

n² è pari → n è pari → n ≠ pari

Risultato: Assurdo che n, m siano entrambi pari. I razionali non bastano.

[a₁, b₁] a_α ∈ x < x₁ b_x

Bisogna introdurre numeri reali (R)

R è un campo ordinato completo

Assiomi di campo

• a + b = b + a
• Commutativa [a + b, b + a]
• Associativa [Parentesi a piacere] a(bc) = (ab)c
• Esistenza dello zero: a + 0 = a
• Esistenza dell'unità
• Distribuitiva a(b + c) = ab + ac
• Esistenza degli inversi [(-a)c ≤ 0 ⇔ a(c ≤ 0)]

N.B.: 5 * 0 = 0 → Non assioma si dimostra!

I razionali soddisfano questi assiomi

f(x) = x + ^x2

D: x > 0

x-> +∞

²

^x / x

1

y = 0

as orizzontale per x->+∞

x-> 0⁺

x + 1 / e ^x2

->0⁺

->0

x->0^-

e^x2

->0

+ ∞

as verticale per x->0^-

x¹

F(x)

ln_x - 3

x^x2

x->0⁺

ln x / ln_x - 3

x

ln_x - 3

m = 1

3/

ln_x - 3

∫ log_x^e

y = f(x)

y = f(λx)

F(^x/_λ)

Pari

Dispari

f(x)=f(-x)

f(-x)=-f(x)

Specchio Y

Specchio origine

1^a cosa da vedere PARI o DISPARI? Poi dominio!!

Giro il foglio, vedo "inclinata" traccio una bisettrice

es.

C(1 x > 0

0 C x = 0

C 1 x < 0

Dispari!!

|x| = parte intera

LxJ

F(x) = x

Dispari

lim_x→0⁺ x^x=1

perché

lim_x→0⁺ sen x₁-cos x₊0;

lim_x→x0 f(x)=L dove f: D⊂R x₀∈R L∈R

per ogni intorno V del punto x₀ esiste un intorno U del punto x₀ tale che per ogni x che appartiene all'intorno diverso da x₀ f(x) dista da L meno di ε→ appartiene all'int. V

x= U∩D ⇒ (f(x)∈V

altri casi di limite

lim_x→x0 f(x)=+∞ significa che,

∀M>0 ∃S>0 | ∀x 00 ∃N>0 | ∀x x₀0 ∃N>0 ∀x x>0 xM

lim_x→0⁺ x^{1/log_α x} +∞ d>0

lim_x→0⁺ e^x/xⁿ +∞ prevalgano esp sui log

Ad ora AGT

1. L'intersezione di tutti gli intervalli non è vuota
2. Se inoltre l'ampiezza degli intervalli tende a zero: lim b_n-a_n = 0, allora unico c'e' un punto x ∈ R che appartiene a I_n per ogni n.

sempre dicotomia (dividere per 2)

contiene a dividere sempre a metà:

L'intersezione non è mai vuota in R e nel processo dicotomico esiste almeno 1 punto

Teorema

densità di q in R

Se a, b ∈ R a < b

allora esiste un numero q ∈ Q tale che a < q < b

ogni R(non q) si approssima bene in a.

Dimostrazione (Teorema successioni monotone)

a₁, a₂, a₃, a_n, ...

e discutiamo A = (a₁, a₂, a_n, ....)

Poniamo L = sup A → ottenuto già dimostrato la sorte

L ≥ a_m

sottostante T: a_n ≤ L ∀n ∈ N → L limitazione superiore

2. Per ogni L'<L deve esistere un termine della successione a_n ≥ L'.

Altrimenti L non avrebbe la limitazione superiore migliore tra tutte.

Prendiamo un numero ε>0

Ricorre L - ε ≤ L, esiste un intero X ∈ N tale che x - ε < a_x

tale che successione e' crescente per tutte a_m a<k

Si concludo che lim a_n = a_n→+∞

- Deve esistere almeno un a_x compreso tra L - ε ed L, altrimenti se a_n ≤ L - ε

Non è possibile.

Teorema

Weierstrass: ogni funzione continua in un intervallo compatto [a,b] è limitata e ammette oltre che anche il punto m in cui F assume il suo valore massimo vi è un punto in cui assume un suo valore minimo

f(a) ∈ f(x), f(x) ∈ f(b)

x ∈ [a,b]

In modo equivalente se f è continua in un intervallo compatto [a;b] allora la sua immagine è un intervallo compatto

F(I) = [m,M]

m = minimo assoluto, M = massimo assoluto

Osservazione:

f(−1-1/2;2 2) ∈ {over R} R

f(x), f °₉, x

(−∞,−∞) (∞,∞)∫_R R

f(x) = x

Chiuso ma non limitato

L'idea della dimostrazione di Weierstrass

estrarre variazione da AC

L = sup f([a:b]; I)

f(x) ∈ [a,b]

In almeno uno delle due metà [a,c] e [c,b] l'estremo superiore di f deve essere L

I₀ = [a,b]

I₁ = [a,c]

I₂ = [c,b]

I₁ ⊃ I ⊃ I₂ ⊃ I₀

Processo dicotomico

si generano che pervà il rap di f * sde L

Più il tessere degli intervalli annstata

∩ I_n = {p}

Poiché f è continua in p quindi eso anche un δ>0 tale che per tutti gli x ∈ (p-δ,p+δ)

f(p) - ε < f(x) < f(p) + ε

Gli intervalli I_n per n abbastanza grande sono tutti contenuti in (p-δ, p+δ)

(x+3)^3 (x-5)^4 (x^2 + 6x - 5) >= 0

(x+3) (x-5)^4 (x^2 + 6x -5) > 0

1. F(x) = { x^2 se x ≤ 1 ax + b se x > 1

per quale a e b F continua in R?

2. g(x) = { e^x se x ≥ 2 1/3 x + K se x < 2

per quale K g è continua?

Continuità: F: I → R, x₀ ϵ I

F continua in x₀ ⇔ lim_x→x₀ F(x) = F(x₀)

x→1 lim_x→0 2x³ = 2

x = a+b

ax+ b x → 1+

lim ax + b = a+b

a - 2 = b b = 2 - a

K x→2 lim e^x = e²

e²/3 + K

e² = 2/3 K

K = e²/3

f(x) = { cos x se x ≥ 0 ax - 3 se x < 0

lim cos x = cos 0⁺ = 1

lim ax-3 = -3 x → 0-

lim DX ≠ lim SX -> la funzione non è continua