Analisi e Geometria 1

Analisi e Geometria 1

Prof. Federico Lastaria

Matermatica

Numeri, Spazio, Tempo, Movimento

1. Il campo ordinato completo dei numeri reali (R)

Axiomi:

• Due operazioni: somma (+) e prodotto (·)

• Associatività: per ogni a, b, c ∈ R
  • a + (b + c) = (a + b) + c
  • (ab)c = a(bc)
• Commutatività:
  • a + b = b + a
  • ab = ba
• Elementi identici:
  • 0 e 1
  • a + 0 = a
  • a · 1 = a
• Esistenza degli opposti (rispetto a + e inversi rispetto a ·)
  • Per ogni a ∈ R ∃ un numero denotato -a, tale che a + (-a) = 0
  • Per ogni a ≠ 0 esiste un numero, denotato a^-1 o 1/a, tale che a · a^-1 = 1
• Distributività della somma rispetto al prodotto:
  • a(b + c) = ab + ac

Cosa significa che c'è un ordinamento dei numeri reali?

Assiomi di ordine

Relazione di ordine: a < b

Proprietà:

• a < a (Impossibile)
• a < b, b ≤ e o a ≤ e
• a < b ⇒ b < a ⇒ a = b (Antisimettria)

In ordine deve essere compatibile con somma e prodotto.

• Per ogni a, b, e
• Se a < b, allora a + e ≤ b + e
• Per ogni a, b e per ogni e ≥ 0
• Se a ≤ b, allora a • e ≤ b • e

Assioma di completezza

√2?

• 0
• √2

Non è un numero razionale

cercare esempio "reale"?

Siano A e B due sotto-insiemi (fette vuote) dei R che soddisfino la condizione:

∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B a ≤ b

A----------------B

Allora esiste ancehosa un numero reale λ in R per i quale si ha

∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B a ≤ λ ≤ b

Teorema (Successioni MONOTONE limimate)

Ogni successione (a_n) che non decresca a₀, a₁, a₂, a₃ ... e rappresentazione lineare è CONVERGENTE. Precisamente converge all'estremo superiore dell'insieme dei suoi elementi. Generalizzazione questa proprietà equivale all'assieme di compattezze.

Dimostrazione:

A = {a₀, a₁, a₂, ..., a_n} l'insieme dei suoi elementi

Per ipotesi A è limitato superiormente. A ≠ ∅, quindi per il teorema dell'esistenza del sup, esiste il sup A

Chiamiamolo:

• L = sup A
• È caratterizzato da:
• ∀μ ∈ ℕ a_μ ≤ L
• ∀L′ < L esiste un a_k per il grado L′ < a_k ≤ L

Dimostrare che _n→∞a_n = L

ε > 0

L - ε = L_ε

_ka_k ≤ sup A

[L - ε]

Da onde con a_k con L - ε ≤ a_k ≤ L

Allora per ogni μ > K si ha che

L - ε ≤ a_k ≤ a_μ ≤ L

Questo significa per definizione del limite che

_n→∞a_n = L

Funzioni Bioniveche (Invertibili)

A = dominio, B = codominio

f si dice INIETTIVA se vale, ∀x₁, x₂ ∈ A

f(x₁) ≠ f(x₂)

f si dice SURRIETTIVA se l'immagine di f coincide con il codominio di f

(f(A) = B) (Im(f) = B)

f si dice BIONIEVA se è sia iniettiva che suriettiva

L'inversa di f si denota f^-1 ha dominio B e codominio A.

f^-1(b₁) = a₁, f^-1(b₂) = a₂, f^-1(b₃) = a₃

f^-1 è caratterizzata da:

IDENTITÀ dell'immaere A (I_A) IDENTITÀ dell'inversoe B (I_B)

Teorema: Bolzano (BFT)

I ⊆ ℝ intervallo di ℝ f continua

Allora l'immagine di f è un intervallo.

“L'immagine continua di un intervallo è un intervallo”

Dimostrazione:

Siano a,b ∈ f(I), a ≤ b

Sia W tale che a' < W ≤ b',

dimostriamo che W ∈ f(I)

Consideriamo la funzione f(x) - W = g(x), g(x) definita

• a ≤ x ≤ b e soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri:
• è definita nell'intervallo [a,b]
• è continua
• g(a) = f(a) - W = a' - W < 0
• g(b) = f(b) - W = b' - W > 0

Per il teorema degli zeri, f ha un punto c ∈ (a,b), tale che:

g(c) = 0, ossia g(c) = f(c) - W = 0 => f(c) = W => W ∈ f(I)

APERTI e CHIUSI in uno spazio metrico

• X spazio metrico euclideo (es. X = R, X = R⁴)

• U ⊂ X si dice aperto in X se ∀ x ∈ U &exists; ϵ > 0, tale che il disco di centro x₀, e raggio ϵ, D_ϵ(x) ⊂ U

Es. X = R

• U = (a, b) o a, b ∈ R a < b è aperto

[0; 1) non è aperto perché x_n x = 1 ∀ ϵ non &exists; un intorno di x contenuto tutto nell’intersezione presa.

X = R²

• U = {(x, y) ∈ R² / x + y < 1} è aperto!

non chiuso e non limitato (0₁, +∞) oppure (0; 1) ∪ (3; +∞)

R è aperto e chiuso f è aperto e chiuso

Teorema

K ⊂ R (e di Rⁿ) è compatto se e soltanto se è chiuso e limitato

Teorema:

L'immagine continua di un compatto è un com-patto (se K ⊂ R è compatto e f: K → R continua allora f(K) (immagine di K tramite f) è compatto).

Teorema (Weierstrass):

Sia f: K → R, K compatto ⊂ R^u continue Allora esistono due punti a, b ∈ K tali che ∀x ∈ K, _mf(a) = f(x) ≤ f(b) ^M ammette un minimo e un massimo.

Dim (Weierstrass):

L'immagine f(K) deve essere un compatto di R, dove f(K) è chiuso e limitato in R. Siccome f(K) è limitato in esistono superiore e estremo inferiore finiti: inf f(K) = m sup f(K) = M

─────────── inf f(K) H-sup f(K) ───────────

Essendo vera l'esistenza dei demierni di f(K) che converg evan M Potédé f(K) è un chiuso, il punto massimo H deve appar tenere a f(K) Analodi esiste un punto b ∈ K tale che f(b) = M. Analogamente esiste un pauolari a → K tale che f(a) = m.

f differenziabile in x₀

f(x₀+h) = f(x₀) + f'(x₀)h + θ(h)

oppure f(x₀+h) - f(x₀) = f'(x₀)h

Approssimazione lineare al 1° ordine di f in x₀

seguire alla tangente a f in x₀

Regola di derivazione:

[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

dove:

• ipotesi (f,g derivabili):
• f(x+h) = f(x) + f'(x)h + o(h)
• g(x+h) = g(x) + g'(x)h + o(h)

(f⋅g)(x+h) = f(x+h)⋅g(x+h) =

• [f(x) + f'(x)h + o(h)][g(x) + g'(x)h + o(h)] =
• = f(x)g(x) + [f'(x)g(x) + f(x)g'(x)]h + f'(x)g'(x)h² + f(x)o(h) + o(h)g(x)+g'(x)h + o(h)]
• = f(x)g(x) + [f'(x)g(x) + f(x)g'(x)]h + o(h)

=> [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

In modo euristico (come avrebbe fatto Newton):

Sia h “molto piccolo” tale che “h²”≈0, si ha:

f(x₀+h) ≈ f(x₀) + f'(x₀)h

Per cui la dimostrazione della regola di derivazione in stile newtoniano sarà:

f(x+h)g(x+h) = [f(x) + f'(x)h][g(x) + g'(x)h] =

f(x)g(x) + [f'(x)g(x) + f(x)g'(x)]h + f'(x)g'(x)h²

o(h²) (quantitativo trascurabile!)