Analisi Complessa - Analisi Matematica 3 - Metodi Matematici

Analisi Complessa

C = { z = x + i y | x, y ∈ ℝ ed i unità immaginaria }

C'è corrispondenza biunivoca tra C e ℝ² → z = x + i y = (x, y)

• x = Re(z) = parte reale
• y = Im(z) = parte immaginaria

CONIUGATO: z = x + i y → z̅ = x - i y

Re(z̅) = Re(z) Im(z̅) = - Im(z)

SOMMA E PRODOTTO

• z₁ + z₂ = (x₁ + i y₁) + (x₂ + i y₂) = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)
• z₁ · z₂ = (x₁ + i y₁) (x₂ + i y₂) = (x₁x₂ - y₁y₂) + i (x₁y₂ + x₂y₁)

Oss. x²₂ = - x²₂ = 0 z₁ · z₂ = z̅₁·z̅₂ = i² = -1

MODULO |z|² = z · z̅ = (x + i y) (x - i y) = x² + y² → |z| = √(x² + y²)

DISTANZA z,w ∈ C d(z, w) := |z - w|

Oss. Isometria z ∈ C → (x, y) ∈ ℝ² cioè C ed ℝ² coincidono dal

punto di vista topologico

INVERSO z ∈ C | z ≠ 0 1/z = z̅/|z|²

COORDINATE POLARI z = x + i y → { x = g cos ➍

arg z = Θ (un Θ fissato)

Si ha |z| = β mentre J = Arg(z) è doppio argomento

Osserviamo che grazie alla periodicità di seno e coseno si ha

J ∈ Arg(z₁) ⇒ β ∈ {5} + 2kπ ∈ Arg(z) ∀k∈L

Oss. Arg(z) = β/4 + 2kπ β ∈ ℝ k∈{Z}

arg c_z = Θ (un Θ fissato)

Def.

Rev ℝ∖{0}, definamo numero complesso eᶜᵈ, z = cosΘ + i senΘ

Allora ∀ z ∈ C z = g eᶜᵈ con |z| = g e J ∈ Arg(z)

Cos:

|e^it| = 1 ∀ t ∈ ℝ

e^it, e^iτ = (cos(t₁)cos(t₂) − sin(t₁)sin(t₂)) + i(sin(t₂)cos(t₁) + cos(t₂)sin(t₁)) =

= cos(t₁ + t₂) + i sin(t₁ + t₂) = e^i(t₁+t₂)

Allora z₁ = ρ₁ e^iα₁, z₂ = ρ₂ e^iα₂, z₁ z₂ = ρ₁ ρ₂ e^{i(α₁+α₂)}

Allora |z₁ z₂| = |z₁| |z₂| e arg(z₁ z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)

Allora ¹/_z2 = ¹/_|z|² e^−iα se z = ρ e^iα

Allora |¹/_z| = ¹/_|z| e arg(¹/_z) = − arg(z)

Quoziente z₁, z₂ ∈ ℂ { z₂ ≠ 0 } z₂ = z₁ : z₂ = ^z₁/_z2 = ^ρ₁/_ρ2 e^{i(α₁−α₂)}

Inoltre |^z₁/_z2| = ^ρ₁/_ρ2 e arg (^z₁/_z2) = arg(z₁) − arg(z₂)

Potenza n z ∈ ℂ, n ∈ ℕ zⁿ = (ρ e^iα)ⁿ = ρⁿ e^inα

Se n ∈ ℕ₋ ⇒ zⁿ = ρⁿ e^inα e uso gli inversi per n _{≤ 0}

Radice n z ∈ ℂ, n ∈ ℕ n√z = {√ⁿρ e^{i((α + 2kπ)/_n)} k = 0, 1, …, n−1}

Es. n = 3

Def.

Siano z_n, z_o ∈ ℂ, ∀n. Si dice che z_n converge a z_o → z_o,

sse d (z_n, z_o) = |z_n − z_o| → 0 sse √((x_n−x_o)² + (y_n−y_o)²) → 0

sse {Re(z_n)}_→ Re(z_o)

{Im(z_n)}_→ Im(z_o)

Per hp f e derivabile, allora è anche differenziabile, cioè

lim_h→0 [(f(x₀+ih)-f(x₀)-f'(x₀)·h] = 0

Osserviamo che f'(x₀) = a+ib = u_x(x₀,y₀) + iv_x(x₀,y₀)

Allora scrivo il numeratore separando la parte reale di f dalla parte immaginaria:

0 = lim_h→0 [(f(x₀+ih)-f(x₀)-f'(x₀)·h]/h =

= lim_h→0 [u(x₀,y₀+ih)-u(x₀,y₀)] + i[v(x₀,y₀+ih)-v(x₀,y₀)]/h +

= [u_x(x₀,y₀) - iv_x(x₀,y₀)] · (h+ih) =

= lim_h→0 [u(x₀,y₀+ih)-u(x₀,y₀)] + i[v(x₀,y₀+ih)-v(x₀,y₀)]/h +

= [u_x(x₀,y₀) hu + u_y(x₀,y₀) ih] + i [h v_x(x₀,y₀)-iu_x(x₀,y₀) ih]

= lim_h→0 u(x₀+h,v₀+ih)-u(x₀,v₀)-∇u(x₀,v₀)·h/h

+ i [v(x₀+ih,y₀)-∇v(x₀,y₀)·h/h]

Sia A = u(x₀+h,v₀+ih)-u(x₀,v₀)-∇u(x₀,v₀)·h

B = v(x₀+ih,v₀+ih)-(v₀,v₀)-∇v(x₀,v₀)·h

Allora lim_h→0 |Ai±B|/h = 0 sse lim_h→0 |A||B|/h = 0 sse lim_h→0 |Ai±B|/|h| = 0

sse lim_h→0 |A|/|h| = 0 e lim_h→0 |B|/|h| = 0 sse u,v differenziabili

Hp f è u+iv con u,v differenziabili in (x₀,x₀) e verificanti C-R

Th f derivabile in z₀ = x₀+iy₀

Poiché u,v sono differenziabili si ha

u(x₀+th₁,y₀+th₂)-u(x₀,y₀) = u_x(x₀,y₀)h₁ + u_y(x₀,y₀)h₂ + ξ(h₁,h₂)

con ξ(h₁,h₂)/√(h₁+h₂) → 0

e^-2t(cos t)² sen²h + 2 senhx cos t) + e^2t(-2i sen x cos x) - 2

cos² z = ^{(eit + eit)2}/₄ = ^{e-ix eix}/₂ e^ic + e^-ic (e^{i(-cos x+isen x)} - ie^{(cos x - i sen x)})

e^t(cos²x - sen²t + 2i sen x cos x) + e^z(-2i sen x cos x) + 2

sen²t + cos²z = [e^-2t/(cos²x - sen² x + 2i sen x cos x)] + e^2t 2i sen x cos z + 1

i j e^-z (cos²x - sen²t + 2i sen x cos x) - e^yz 2i sen x cos z + 2j /(z + x)

Notiamo che questa identità in C non ci dà le stesse informazioni di quello in IR. Innanzitutto osserviamo che z² ≠ 1z² in C. Inoltre in IR si ha

sen²x + cos²x = 1 ci dice che sen e cos sono bounded liimitate (-1,1) in C [(sen)² + (cos)²] - 1 × sen, cos (limitale)

ESEMPIO

Se x = iy ⇒ sen |1| = eⁱ − e^-i/i e se y ⇒ ±0

si ha |sen1| ⇒ ±∞

Cioè, nonostante il modulo del seno vari, continua a valere: [|sen1|]² + |cos1|² = 4

sen z = ^{e-2y + e2x - 2}/₄ ⇒ sen z² = cos²z = -1

cos²z = ^{e2y + e-2x + 2}/₄

Ricordiamo l'enunciato del Teorema di inversione locale di ANALISI II

F:ℝⁿ→ℝⁿ, F ∈ C¹ e J_c(xc) ≠ 0 ⇒ F è invertibile localmente in un intorno di

f(x_c) = w_c ∈ ℝⁿ, F^-1 e ∈ ℂ¹ e

(∂F^-1)_j(w_c) = ¹/_(∂Fixc)(∂x_x)