Problema di analisi complessa 3

Problemi di Analisi Complessa Matematica proposti dal Dott. Ing. Pasquale Cutolo

1

∑ − = −

k

poiché ( 1

) , (3c.2)

2

≥

k 1

ζ − =

e ricordando che: , otteniamo:

( 2 n ) 0

 

2 n

1 ∑ ∑

∑ − −

 

− − − + − −

2 h 1 k 2 h 1

k 2 n

( 1

) ( 2 k 1

) = ( 2

) ( 1

) k

 

−

2 h 1

 

2 ≥ ≥

≥

k 1 h 1 k 1 B

∑ − ζ

− − − − −

k 2 h 1 2 h 2 h 2 h

Ricordando che : ( 1

) k = ( 2 1

) (

1 2 h ) = , abbiamo:

( 2 1

)( )

2 h

≥

k 1   2 h

2 n

1 B

∑

∑ −

 

− − − − − −

2 h 1 2 h

k 2 n

( 1

) ( 2 k 1

) = ( 2

) ( 2 1

) ;

 

−

2 h 1

 

2 2 h

≥

≥

k 1 h 1 +

   

2 n 2 n 1

1 1

   

=

osserviamo che: ; pertanto:

   

− +

2 h 1 2 h

   

2 h 2 n 1 +

 

2 n 1

1 1 ∑

∑ −

 

− − − − − −

2 h 1 2 h

k 2 n

( 1

) ( 2 k 1

) = ( 2

) ( 2 1

) B , e quindi,

  2 h

+ 2 h

 

2 2 n 1 ≥

≥

k 1 h 1

n ∑

∑ + −

− − −

2 n 1 n 1 k 2 n

essendo: = 2 ( 1

) ( 1

) ( 2 k 1

) , abbiamo:

b h

= ≥

h k 1

0 +

 

2 n 1

n

n 1 ∑

∑ −  

− − −

2 h 2 h

2 n n 1

= 2 ( 1

) [ 2 ( 2 1

) B 1 ] (3c.3)

b   2 h

h + 2 h

 

2 n 1

= =

h 1

h 0

La relazione (3c.3) è stata verificata con un programma di matematica.

Punto 2 π π

= =

Ponendo, nella (3c.1), , da cui , abbiamo:

Tan ( x ) t x ArcTan

(t )

1

2 n

u Sinh

[

u ArcTan (

t )] n

π

∞ ∑

∫ + +

π 2 n 1 2 h 1

du = (3c.4)

b [

t ]

h

Sinh (

u / 2

)

0 =

h 0

Derivando la precedente, rispetto a (t), e ponendo dopo, t = 0, troviamo:

1

2 n

u Sinh

[

u ArcTan (

t )] +

2 n 1

lim π u

1

∞ ∞

∫

∫ π 2 n+

1

du

D du = = , da cui:

b

π

→ 0

t

t 0 Sinh (

u / 2

)

Sinh (

u / 2

)

0 0 + +

+ n

2 3

2 2 ( 2 n 1

)! 1

n

2 ( 2 1

)!

∞ ∑

∑

∑

∫ + − −

2 n 1 u / 2 uk

u e e du = = ;

π π

π +

+ n

2 2

1 (

1 2 k )

0 +

+

≥ ≥ ≥

n

2 2

k k

k 0 0 0

k

( )

2

1

∑ − + ζ

= − +

n

( 2 2 )

ricordando che: , otteniamo:

n

[

1 2 ] ( 2 2 )

+

+ n

2 2

k

(

1 2 )

≥

k 0

+ + +

n

2 3

2 ( 2 n 1

)! n

2 ( 2 1

)! +

+ − + ζ

π ζ

− + − +

n n 2 n 2

2 1 ( 2 2 )

= [

1 2 ] ( 2 n 2

) = ;

b n

( 2 1

) ( 2 2 )

π π

0 + +

π

2 n 1 2 n 2

2

ζ + =

( 2 n 2

) B

ma: , e quindi:

+

2 n 2

+

( 2 n 2

)!

1 + +

−

2 n 2 2 n 1

b = (3c.5)

B

( 2 1

) 2 +

0 2 n 2

+

n 1

La relazione (3c.5) è stata verificata con un programma di matematica.