Analisi complessa

PARTE REALE PARTE IMMAGINARIA

)

Imm( z

Quelle scritte precedentemente sono derivate parziali, dunque si ha

∂u ∂v ( )

¿+i =f ( )

x , y x , y ' z

( 0 0 0 0 0

∂x ∂x

 x COSTANTE ( )=u ( ) ( )

+iv

Consideriamo la relazione e definiamo il limite del

f z x , y x , y

rapporto incrementale quando y 0

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

+ +iv + −[u + ]

u x , y y x , y y x , y iv x , y

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

lim iy

y 0

Questo rapporto incrementale può essere spezzato in due rapporti incrementali

( ) ( ) ( ) ( )

+ −u + −v

u x , y y x , y v x , y y x , y

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

+

lim i lim

y iy

y 0 y 0 ℜ(z )

PARTE REALE PARTE IMMAGINARIA

)

Imm( z

¿

lim

Nella parte immaginaria la prima del e la al denominatore si

i i

y 0

semplificano.

Quelle scritte precedentemente sono derivate parziali, dunque si ha

1 ∂u ∂v ( )

¿+ =f )

x , y x , y '( z

( 0 0 0 0 0

i ∂y ∂y

Dobbiamo imporre che le parti reali e le parti immaginarie di queste due

espressioni complesse sia uguali, cioè

∂u ∂v

=

∂x ∂ y CONDIZIONI DI

∂ v 1 ∂u CAUCHY - RIEMANN

=

i ∂x i ∂y 1 =−i

Sapendo che la seconda eguaglianza diventa

i −∂u

∂v ∂u ∂ v

=−i =

i 

∂x ∂y ∂x ∂ y

Le condizioni di Cauchy – Riemann impongono delle relazioni o eguaglianze di

e , cioè delle parti reali e immaginarie della funzione complessa. Le

u v

funzioni che soddisfano le condizioni di Cauchy – Riemann sono definite

funzioni olomorfe.

CONDIZIONE SUFFICIENTE DI CAUCHY – RIEMANN

=x +

z i y

2

Siano e . Sia poi un punto di A. Se le funzioni

f : ACC u , v : B R R 0 0 0 ¿

x , y

e sono differenziabili nel punto ( e valgono le equazioni di

u v 0 0

z

Cauchy – Riemann, allora è olomorfa in e vale la relazione

f 0

' ( ) ( ) ( ) ( )

=u +i =v −iu (x )

f z x , y v x , y x , y , y

0 x 0 0 x 0 0 y 0 0 y 0 0

FUNZIONI ELEMENTARI NEL CAMPO COMPLESSO

Esponenziale

z

( )=e

¿ f z

che è definita in tutto il piano complesso. Si può scrivere

z x+iy x Formula di Eulero



=e =e (cosy +isiny)

e z

( )=e

La derivata della funzione risulta essere . La funzione esponenziale

f ' z

gode della proprietà

+

z z z z

=e

e e

1 2 1 2

infatti

z z x x

( ) ( )

=e +isin +

e e cos y y e cos y isin y

1 2 1 2

1 1 2 2

x x ( ) ( )

¿ [cos + +isin + ]

e e y y y y

1 2 1 2 1 2

+ +i( + )

x x y y

¿ e 1 2 1 2

+z

z

¿ e 1 2

PERIODO  2i

+2

z i z 2 i z z

( )

=e =e +isin =e

e e cos 2 k 2 k

Logaritmo ❑ ¿

Poniamo , con e . In accordo con la rappresentazione

u+iv z ≠ 0

z=e

esponenziale di un numero complesso si può scrivere nella forma

z

iArg( z)

z=¿ z∨e

Inoltre, dalle proprietà dell’esponenziale complesso risulta che

❑ x+iy x iy

=e =e

e e

Sostituendo tale relazione nell’equazione di partenza si ottiene

| | ( )

❑ iArg z x iy

=e

z=e z e e

da cui

| | | |

x

=e ( )

z x=ln ⁡ z ( )

iArg z iy

Inoltre l’equazione richiede la definizione di periodicità

=e

e

dell’esponenziale complesso, mediante la quale concludiamo che

( ) +2

iy=iArg z k ik Z

( ) +2

y= Arg z k ❑ (| |) ( )

+i( +2 )

z=e ln z Arg z k kZ

Funzioni goniometriche

Definiamo il seno e il coseno come

−iz

iz −e

e

sin z= 2 i −iz

iz +

e e

cos z= 2

INTEGRAZIONE COMPLESSA ( )=f ( )=u ( )

+iy +iv(x

Consideriamo la funzione complessa e definiamo

f z x x , y , y)

l’integrale di una funzione complessa come

1

∫ ( )

f z dz

❑

Consideriamo il piano complesso e due punti posti su di esso. Il segmento che

congiunge i due punti rappresenta la variazione infinitesima che si può

dz