Analisi Complessa - Esercizi

DATA ORALE

1) Calcolare il seguente integrale dopo aver discusso la convergenza

∫ +∞ x sin(πx) dx.

− 2

1 x

−∞

Utilizzare il risultato precedente per calcolare

∫ −

+∞ (2x 1) sin(πx) dx.

− 2

1 x

−∞

2) Calcolare la serie di Laurent della funzione f (z) 1

sin( )

2z

f (z) = 2

z +1

{z ∈ C | |z|

nella corona circolare C = < 1}. Utilizzare il risultato precedente per calcolare

∫ f (z) dz

|z|=π

3) Risolvere il problema di Cauchy { ′′ ′

− t

y (t) 3y (t) = e χ (t)

[0,1]

′

y(0) = 1, y (0) = 2

dove χ è la funzione caratteristica dell’intervallo [a, b].

[a,b]

4) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione

x sin(πx)

f (x) = 4

x + 1

Prova Scritta di Metodi Matematici per l’Ingegneria – A.A. 2011/12 – giugno 2012

Ingegneria Biomedica, Informatica, Meccanica, Telecomunicazioni

COGNOME .................................................................. NOME ..........................................................

CORSO DI LAUREA .................................................................. N.MATRICOLA..............................

DATA ORALE

1) Calcolare il seguente integrale dopo aver discusso la convergenza

∫ +∞ 1 + cos(2x) dx.

−

2 2 2

(x + 4)(4x π )

−∞

∫

Successivamente calcolare −

+∞ 1 + cos(2x) 3 sin(2x) dx.

−

2 2 2

(x + 4)(4x π )

−∞

2) Calcolare il seguente integrale ∫ −

π sin(2x) 1 dx

3 + cos(2x)

−π

3) Risolvere il problema di Cauchy

{ 00 0 −3(t−2)

− − 3t

y (t) y (t) 12y = e χ (t) + e χ (t)

[0,1] [1,+∞)

0

y(0) = 1, y (0) = 0

dove χ è la funzione caratteristica dell’intervallo [a, b].

[a,b]

4) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione 1

f (x) = 2 2

(x + 2x + 5)

Dedurre dalla trasformata precedente la trasformata della funzione g(x) = cos(2x)f (x)

Prova Scritta di Metodi Matematici per l’Ingegneria – A.A. 2011/12 – luglio 2012

Ingegneria Biomedica, Informatica, Meccanica, Telecomunicazioni

COGNOME .................................................................. NOME ..........................................................

CORSO DI LAUREA .................................................................. N.MATRICOLA..............................

DATA ORALE

1) Calcolare il seguente integrale dopo averne discusso la convergenza

∫ +∞ 2

x dx.

2 2

(x + 4)

−∞

2) Calcolare il seguente integrale ∫ +∞ x

e dx

3x

e + 27

−∞

3) Risolvere il problema di Cauchy

{ ′′ ′

− (t−2)

y (t) 4y (t) + 3y = cos(t)χ (t) + e χ (t)

[0,+∞] [2,+∞)

′

y(0) = 1, y (0) = 1

dove χ è la funzione caratteristica dell’intervallo [a, b].

[a,b]

4) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione x

f (x) = 2 2

(x + 1)(x + 4)

Prova Scritta di Metodi Matematici per l’Ingegneria settembre 2012

Ingegneria Elettronica Biomedica, Informatica, Telecomunicazioni

COGNOME .................................................................. NOME ..........................................................

CORSO DI LAUREA .................................................................. N.MATRICOLA..............................

DATA ORALE 12/9 , 2/10 , 16/10 ,

1) Calcolare il seguente integrale dopo aver discusso la convergenza

∫ +∞ sin(3x) sin(x) dx.

2

x

−∞

2) Calcolare lo sviluppo in serie di Laurent della serie f (z)

−

z 5i

f (z) = −

3 2

z + 3iz 2z

{z | |z| {z | |z

nelle corone circolari C = 1 < < 2} e C = + i| > 2}

1 2

3) Risolvere il problema di Cauchy

{ ′′ ∗

y (t) + 9y = χ (t) χ (t)

[0,3] [0,3]

′

y(0) = 0, y (0) = 1

dove χ è la funzione caratteristica dell’intervallo [a, b].

[a,b]

4) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione

2

x cos(x)

f (x) = 4

x + 1

Prova Scritta di Metodi Matematici per l’Ingegneria – A.A. 2011/12 – febbraio 2013

Biomedica, Meccanica, Telecomunicazioni, Informatica (6 crediti), Informatica (9 crediti),Elettronica,

COGNOME .................................................................. NOME ..........................................................

CORSO DI LAUREA .................................................................. N.MATRICOLA..............................

1) Calcolare il seguente integrale dopo averne discusso la convergenza

∫ −

+∞ cos(πx) 3 sin(πx) dx.

2

x + 2x + 5

−∞

2) Calcolare il seguente integrale complesso

∫ z +5 dx

−

2

(z + 1)[cos(z) 1]

|z−1|=π

3) Risolvere il problema di Cauchy

{ ′′ ′ 2t

y (t) + 4y (t) + 5y = e χ[0, 5](t)

′

y(0) = 1, y (0) = 1

dove χ è la funzione caratteristica dell’intervallo [a, b].

[a,b]

4) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) dopo aver discusso se ed in che senso e’

trasformabile x sin(3x)

f (x) = 2

4x + 4x + 5

Prova Scritta di Metodi Matematici per l’Ingegneria – A.A. 2011/12 – maggio 2013

Biom., Mecc., Telec., Inform. (6 CFU), Inform. (9 CFU),Elettr. (12 CFU),

COGNOME .................................................................. NOME ..........................................................

CORSO DI LAUREA .................................................................. N.MATRICOLA..............................

1) Calcolare il seguente integrale dopo averne discusso la convergenza

∫ +∞ sin(2πx) dx.

− 2 2

(x 1)(x + 1)

−∞

Opzionale: Successivamente calcolare

∫ −

+∞ 2

2 cos (πx) 1 + 3 sin(2πx) dx.

− 2 2

(x 1)(x + 1)

−∞

2) Calcolare lo sviluppo di Laurent della funzione f (z)

−

3 z

f (z) = 2

(z + i)

{z ∈ C | |z −

nella corona circolare C := 0 < 1| < 1}. Qual e’ la piu’ grande corona circolare in cui vale

1

tale sviluppo? Successivamente calcolare lo sviluppo di Laurent della funzione g(z) sempre in C

1

1

g(z) = sin( )f (z)

−

z 1

Infine dedurre il valore dell’integrale complesso

∫ g(z)dz

|z|=5

3) Risolvere il problema di Cauchy

{ 00 0

− −

t 2t

y (t) 6y (t) + 5y = e χ[0, 1](t) 3e χ[1, 2](t)

0

y(0) = 1, y (0) = 0

dove χ è la funzione caratteristica dell’intervallo [a, b].

[a,b]

4) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) dopo aver discusso se ed in che senso e’

trasformabile 2

cos(x)

f (x) = 2 2

(x + 1)(x + 3)

Prova Scritta di Metodi Matematici per l’Ingegneria – A.A. 2012/13 – giugno 2013

Biomedica, Informatica (6 crediti), Elettronica (12 crediti),

COGNOME .................................................................. NOME ..........................................................

CORSO DI LAUREA .................................................................. N.MATRICOLA..............................

1) Calcolare il seguente integrale dopo averne discusso la convergenza

∫ +∞ (x + 1) sin(x) dx.

2

x(x + 4)

−∞

2) Calcolare il seguente integrale reale dopo averne discusso la convergenza

∫ +∞ 1 dx

−x

2x 2

(e + e )

−∞

Opzionale: successivamente calcolare ∫ +∞ x dx

−x

2x 2

(e + e )

−∞

3) Risolvere il problema di Cauchy

{ ′′ ′ −

y (t) + 3y (t) 10y = tχ[0, 2](t)+

′ −2

y(0) = 1, y (0) =

dove χ è la funzione caratteristica dell’intervallo [a, b].

[a,b]

4) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) dopo aver discusso se ed in che senso e’

trasformabile sin(πx)

f (x) = 2

x(x + 4)

Opzionale: ∫ +∞

∗ 2

Posto g = f f calcolare ĝ e dedurre il valore di f (x)dx

−∞

Prova Scritta di Metodi Matematici per l’Ingegneria luglio 2013

Ingegneria Elettronica Biomedica, Informatica, Telecomunicazioni

COGNOME .................................................................. NOME ..........................................................

CORSO DI LAUREA e ordinamento (vecchio o nuovo) ..................................................................

N.MATRICOLA..............................

DATA ORALE

1) Calcolare il seguente integrale dopo aver discusso la convergenza

Z +∞ sin(πx) dx.

− 2 2

(x 1)(x + 1)

−∞

2) Calcolare il seguente integrale complesso

Z 2

e z dz

2

z + 1

|z−i|= 3

2

P |z|

k=+∞ k

Opzionale: Sia c z lo sviluppo in serie di Laurent della funzione f (z) nella corona > 1:

k

k=−∞

utilizzando il risultato precedente calcolare c .

−1

3) Risolvere il problema di Cauchy

00 0

− 2t

y (t) 4y + 4y = 3e χ (t)

[1,3]

0 −1

y(0) = 2, y (0) =

dove χ è la funzione caratteristica dell’intervallo [a, b].

[a,b]

4) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione dopo aver discusso la trasformabilita’ della

soluzione 2

[sin(πx)]

f (x) = 2 2

(x + 1) (x + 2x + 5)

Prova Scritta di Metodi Matematici per l’Ingegneria – A.A. 2012/13 – dicembre 2013

Biomedica, Informatica (6 crediti), Elettronica (12 crediti),

COGNOME .................................................................. NOME ..........................................................

CORSO DI LAUREA .................................................................. N.MATRICOLA..............................

1) Calcolare il seguente integrale dopo averne discusso la convergenza

∫ +∞ 2

[sin(πx)] dx.

− −

2

(x 2x + 2)(x 1)

−∞ {z ∈ C | |z −

4

2) Calcolare la serie di Lauent di f (z) = sulla corona circolare C := 2i| < 1}. Qual

1

2

z(z +4)

e’ la massima corona su cui vale lo sviluppo? Successivamente calcolare il seguente integrale complesso

∫ ( )

1

f (z) cos dz

−

z 2i

|z−2i|=3

3) Risolvere il problema di Cauchy

{ ′′ ′

− 2t

y (t) 4y (t) + 5y = e χ[1, 2](t)

′ −1

y(0) = 1, y (0) =

dove χ è la funzione caratteristica d