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Analisi Complessa: Introduzione 24/02
Numeri complessi
x2+1=0 cerco la radice ⟹ (x-x1)(x-x2)=0
la soluzione è x1,2 = ±i con i2=-1
ia±ib con a,b∈ℝ si ha che ia ∈ℝ = ℂ numero immaginario
(i⋅a)(i⋅b)=-ab ∈ℝ
voglio che C sia chiuso rispetto alle operazioni base
in generale z = x + iy ∈ ℂ, (x,y) ∈ ℝ
Re z Im z
chiamiamo z̄ ( = z*) = x - iy complesso coniugato di z
|z| = √x2+y2 ∈ ℝ modulo di z
z ⋅ z̄ = (x + iy)(x - iy) = x2+y2 = |z|2 > 0
moltiplicazione
z' = z eiφ = (cosφ + i sinφ) (x + iy) = (x cosφ - y sinφ) + i (x sinφ + y cosφ)
- x' = x cosφ - y sinφ
- y' = x sinφ + y cosφ
z' = • cosφ - sinφ (x) • sinφ cosφ (y)
In generale z ∈ ℂ, α ∈ ℂ
z' = αz = |α| |z| ei(arg α + arg z)
z'' = αz |α||z| ei(arg α - arg z)
ELEVAMENTO A POTENZA E RADICE
- ω = zm = (rz eiφz)m = rm eimφz -> dilatazione di rm-1
- rotazione di (m-1)φz
ω = z1m -> ωm = z |ω| = |z| = ωargeiarg ω
- |ω| = √|z|
- arg ω = arg z + 2kπm
Trasformazioni
- \( z \rightarrow \overline{z} \)
\(\text{Im}\ z\)
\(\text{Re}\)
- \( z \rightarrow \frac{1}{z} = w \)
\( w = \frac{1}{z} = \frac{1}{r e^{i \vartheta}} = r e^{-i \vartheta} \) con \( r = \frac{1}{|z|} \)
tale inversione è composizione di due simmetrie:
- simmetria rispetto a circonf. unitaria
- simmetria rispetto a Re \( z \)
\( |k| = \frac{|1|}{|z|} \) = \(|k|e^{i \alpha_{k}} = \frac{1}{|z|} e^{i \omega_{B}} = \frac{1}{2} \)
\(OZB\ e\ OKB\ sono\ triangoli\ simili\)
sufficienza
u,v differenziabili:
u(x,y) - u(x0,y0) = ∂u⁄∂x(x - x0) + ∂u⁄∂y(y - y0) + α(x,y) |z - z0|v(x,y) - v(x0,y0) = ∂v⁄∂x(x - x0) + ∂v⁄∂y(y - y0) + iφ(x,y) |z - z0|
sommo ora i contributi e ottengo f(z) - f(z0): ∂u⁄∂x (x - x0) + ∂v⁄∂x (y - y0) i + ∂u⁄∂y (y - y0) + ∂v⁄∂y (y - y0) + (α+φβ) |z - z0| = 0(z - z0)
= ∂u⁄∂x [(x - x0) + i(y - y0)] + i∂v⁄∂x [(x - x0) + i(y - y0)]
e faccio il limite → limz → z0 f(z) - f(z0) ⁄ z - z0 = ∂u⁄∂x + ∂v⁄∂y - ∂v⁄∂y - i ∂u⁄∂y
ovvero tale limite esiste ed è ben definito
oss
Posso quindi dire che f'(z0) = ∂f⁄∂x = -i∂f⁄∂y |
⇐ ∂f⁄∂x + i∂f⁄∂y = 0
Implicazione Geometrica
d = x + y = ∇ ⃗ *
dove ∇ ⃗ * (/ /)
d = (, )
d = x + y = ∇ ⃗ *
Soponiamo ora di prendere
γ : (,) = cost
γ : (,) = cost
curve di livello
in quei punti si ha d = d = 0 ⇒ ∇ ⃗ * = 0
tangenti alle curve γ
∇ ⃗ * = 0
ovvero i gradienti sono ortogonali alle curve di livello
Considero ora f = + e calcolo ∇ ⃗•∇ ⃗
∇ ⃗•∇ ⃗ = (/)(/) + (/)(/) = - (/)(/) + (/)(/) = 0
ovvero ∇ ⃗ e ∇ ⃗ sono ortogonali!
definiscono un set di coordinate curvilinee ortogonali
|z₀| = R
cerchio deg. → mappa in z̅₀ w + z₀ w = 1
β(z) = 1/z̅
dove tan φ = Re z₀ / Im z₀
se w ∈ ℝ → w = 1/z̅ + z₀ = 1/2 Re(z₀)
se w ∉ ℝ → w = 1/z̅ - z̅₀ - i / (2 Im(z₀))
Dopo un giro completo attorno a \( z = 0 \)
f(z) non riprende il valore iniziale
è perché giro attorno allo zero
continuità tra una radice e l'altra
Per \( w = z^{\frac{1}{m}} \), \( z = 0 \) e \( z = \infty \) sono punti di diramazione
In un dominio che non contenga curve chiuse attorno all'origine,
neuvo definire m funzioni univoche
corrispondenti alle determinazioni
di \( w = z^{\frac{1}{m}} \)
Rami monodromi della funzioneridodoma \( w = z^{\frac{1}{m}} \)
Esvonentziale
ω = ez continua, derivabile, analitica in C
Si ha dw/dz = ez, ω(0)=1
ω = exeixy = ex(cos y + i sin y)
- Periodicità ω(z + 2πi) = ω(z)
- Zeri ez = 0
- excos y = 0
- exsin y = 0
- Costanti ez = c ha sempre soluzioni
- zk = ln c = ln|c| + iarg c = ln|c| + i(arg c + 2kπ), k ∈ Z
ω ≠ 0 ho inf. controimmagini
ω = 0 non ho controimmagini
es)
- = = −/2 ln = [ || + (arg + 2)] = −2
- = (1 + √3) = (1 + √3) = √2 [ 2 + (3/4 + 2)] =
- = −/2 ln = [ (1 + 2)] =
- = [ √2 + ] = √2/2
- (1 − ) = ln = [/4 + ( 1 + 2)] = 1 + 3/2 [ (3/2 + 2)]
Equazioni Trigonometriche
- cos = + −/2
- cosh = + −/2
- sin = − −/2
- sinh = − −/2
oss)
sin () = −/2 = cosh
ln = −/2 = sinh ()
rule
- ln () = sinh ()
- cos () = cosh ()
derivate
- (cos )′ = −sinh
- (sinh )′ = cos
- (cosh )′ = sinh
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